《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題07 三角化簡的技巧與方法 文（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題07 三角化簡的技巧與方法 文（含解析）（18頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題07 三角化簡的技巧與方法 一、本專題要特別小心： 1.角的范圍問題 2. 角的一致性問題 3. 三角化簡形式、名稱、角的一致原則 4.角成倍角的余弦之積問題 5.“1”的妙用 6.輔助角的替換作用 7. 角的范圍對函數(shù)性質(zhì)的影響 8. 用已知角表示未知角問題 二．方法總結(jié)： 1.三角函數(shù)的求值主要有三種類型，即給角求值、給值求值、給值求角. 2.三角函數(shù)式的證明應(yīng)從消去等式兩端的差異去思考，或“從左證到右”或“從右證到左”或“從兩邊到中間”去具體操作. 3.證明三角函數(shù)式恒等式，首先觀察條件與結(jié)論的差異，從解決差異入手，確定從結(jié)論開始，通過變換將已知表達(dá)式代入

2、得出結(jié)論，或變換已知條件得出結(jié)論，常用消去法等. 三【題型方法】 （一）用已知角表示未知角 1．（2018年全國卷II文）已知，則__________． 【答案】. 【解析】：， 解方程得. 練習(xí)1．已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P（）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 . 【解析】（Ⅰ）由角的終邊過點(diǎn)得， 所以. （Ⅱ）由角的終邊過點(diǎn)得， 由得. 由得， 所以或. 點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的兩種類型： (1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非

3、特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù). (2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異. ①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用； ②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的. 練習(xí)2．已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因?yàn)?，，所以? 因?yàn)?，所以? 因此，． （2）因?yàn)闉殇J角，所以． 又因?yàn)?，所以? 因此． 因?yàn)椋裕? 因此，． 點(diǎn)睛：應(yīng)用三角公式解決問題的三個變換角度 (1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”. (2)變名：通

4、過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等. (3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等. 練習(xí)3．已知的內(nèi)角滿足，則的最大值為______． 【答案】 【解析】 的內(nèi)角滿足，且，即 為鈍角， ，又， ，即 ，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故的最大值為 ，故答案為. （二）“1”的變通 例2. 已知f(x)＝sin2x－2sin·sin. (1)若tan α＝2，求f(α)的值； (2)若x∈，求f(x)的取值范圍.

5、【答案】（1） ； （2）. 【解析】(1)f(x)＝(sin2x＋sin xcosx)＋2sin·cos ＝＋sin 2x＋sin ＝＋ (sin 2x－cos 2x)＋cos 2x ＝ (sin 2x＋cos 2x)＋. 由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝. cos 2α＝＝＝－. 所以f(α)＝ (sin 2α＋cos 2α)＋＝. (2)由(1)得f(x)＝ (sin 2x＋cos 2x)＋＝sin＋. 由x∈，得≤2x＋≤. ∴－≤sin≤1，0≤f(x)≤， 所以f(x)的取值范圍是. 練習(xí)1. 已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B

6、 【解析】，故選B。 （三）降冪公式的靈活應(yīng)用 例3. 已知函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）求函數(shù)在上的零點(diǎn). 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1） 令，得， ∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. （2）由，得：. ∴，∴， ∵，∴， 即函數(shù)在上的零點(diǎn)是. 練習(xí)1.cos475°-sin475°的值為（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意，可知 ． 故選：A． 練習(xí)2. 已知f(x)= sin(x+ )cos(x+ )+ (x+ )- (||<),若f(0)= ,a=f(),b=f(），c=f（），則（ ）

7、 A．a(chǎn)

8、 （五）輔助角公式的靈活應(yīng)用 例5.，，若不論取何值，對任意總是恒成立，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴； 對任意總是恒成立，即恒成立； 等價于在恒成立，即對任意恒成立，設(shè)，， ∵，∴，∴， ，∴，故選D. 點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題等函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大；對于不論取何值，對任意總是恒成立，等價于，求三角函數(shù)的最大值需通過三角運(yùn)算公式將其化簡為，最后利用分離參數(shù)的思想求參數(shù)的取值范圍. 練習(xí)1. ．已知，則______． 【答案】 【解析】由得： 整理得： 本

9、題正確結(jié)果： 練習(xí)2. __________． 【答案】32. 【解析】因?yàn)? 所以 故答案為： （六）與的關(guān)系 例6. (1)已知，，求的值； (2)已知，，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)結(jié)合已知條件可知，只需求得的值即可，因此可以考慮將已知等式兩邊平方，得到，從而，再由可知，從而；（2）已知條件中給出了與的三角函數(shù)值，結(jié)合問題，考慮到，因此考慮采用兩角和的正切公式進(jìn)行求解，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，結(jié)合已知條件中給出的角的范圍易得，，進(jìn)而求得. 試題解析：（1）∵，∴， 3分 ∴， 4分

10、 又∵，∴，，∴， ∴； 7分 （2）∵且，∴，， 9分 ∵，∴， 又∵，∴，∴， ， 11分 ∴. 練習(xí)1.若是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】試題分析：因?yàn)闉槿切巫钚?nèi)角，所以，設(shè)，則，，所以，，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為。 練習(xí)2.已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵， ∴，即， ∴； （2）∵， 又∵，∴，， 則． （七）角的一致性 例7.

11、 已知函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn). （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）. (2). 【解析】（1）函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)等價于關(guān)于的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根. 所以，即 整理得，即. （2）因?yàn)? 所以，解得， 又，所以 由（1）得，且，所以， 所以 由，，知 故. 練習(xí)1. （1）化簡：． （2）若、為銳角，且，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式將其化簡．（2）根據(jù)、為銳角，且，可知，也為銳角．根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式可求得的值．由兩角和差公式可求得． 試題解析：解：（1） ．

12、 （2）因?yàn)椤殇J角，且， ， 所以， ∴． （八）三角化簡與數(shù)列綜合 例8. 已知數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足（為常數(shù)），且，設(shè)函數(shù)，記 ，則數(shù)列的前17項(xiàng)和為（　?。? A． B． C．11 D．17 【答案】D 【解析】因?yàn)椋? 由，得， 數(shù)列為等差數(shù)列； ， . 則數(shù)列的前17項(xiàng)和為. 故選：D． 練習(xí)1. 設(shè)等差數(shù)列滿足：，公差．若當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，則首項(xiàng)的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 得 ， ， 則， 由， 對稱軸方程為， 由題意當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列的前n項(xiàng)

13、和取得最大值， ，解得， 首項(xiàng)的取值范圍是. 故選：D. 練習(xí)2.設(shè)等差數(shù)列滿足，公差，若當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，則首項(xiàng)的取值范圍是________. 【答案】 【解析】 ,數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，所以有，而，所以，因此， ，對稱軸為：，由題意可知：當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值， 所以，解得，因此首項(xiàng)的取值范圍是. （九）向量與三角函數(shù)綜合 例9. 已知是銳角三角形的外接圓的圓心，且，若，則（ ） A． B． C． D．不能確定 【答案】A 【解析】設(shè)外接圓半徑為，則, 可化為， 可知與的夾角為，與的夾

14、角為， 與的夾角為，， 對與左右分別與作數(shù)量積，可得： ， 即， ， ，即，，且， ，故選A. 練習(xí)1. 如圖，已知是半徑為，圓心角為的扇形，是該扇形弧上的動點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形，其中在線段上，在線段上，記為, （1）若的周長為，求的值； （2）求的最大值，并求此時值 【答案】（1）；（2） 【解析】 試題分析：（1）由條件利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出三角形的周長，利用三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行化簡進(jìn)行求解；（2）結(jié)合向量的數(shù)量積公式，結(jié)合三角函數(shù)的帶動下進(jìn)行求解. 試題解析：（1）， 由，得， 平方得，即， 解得（舍）或，則 . （2）由， 得，

15、 ∴， 則, ， ∵，∴， ∴當(dāng)，即時，有最大值. （十）三角換元 例10. 如果圓上任意一點(diǎn)都能使成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，即 ，即，又，得到，則，故選C. 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查圓的參數(shù)方程、利用輔助角公式求最值以及不等式恒成立問題，屬于難題. 求最值問題往往先將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù):配方法、換元法、不等式法、三角函數(shù)法、圖像法、函數(shù)單調(diào)性法求解，利用三角函數(shù)法求最值，首先將參數(shù)換元，然后利用輔助角公式及三角函數(shù)的有界性求解即可. 練習(xí)1. 在直角三角形中，，，，若，動點(diǎn)滿足，則的最小值是______． 【答案】 【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系， 由題意可得：， 據(jù)此可得：，，， 則：， ，其中， 當(dāng)時，取到最小值. 練習(xí)2. 函數(shù)的值域是__________． 【答案】 【解析】由，得，可設(shè)，則，，時取最大值），函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧? 18