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2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 5 第4講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) 理(含解析)

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1、第4講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) [基礎(chǔ)題組練] 1.函數(shù)y=|cos x|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是(  ) A.[-,]  B.[0,π] C.[π,] D.[,2π] 解析:選D.將y=cos x的圖象位于x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱翻折到x軸上方,x軸上方(或x軸上)的圖象不變,即得y=|cos x|的圖象(如圖).故選D. 2.關(guān)于函數(shù)y=tan(2x-),下列說法正確的是(  ) A.是奇函數(shù) B.在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減 C.(,0)為其圖象的一個(gè)對稱中心 D.最小正周期為π 解析:選C.函數(shù)y=tan(2x-)是非奇非偶函數(shù),A錯(cuò);在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增,B錯(cuò);

2、最小正周期為,D錯(cuò);由2x-=,k∈Z得x=+,當(dāng)k=0時(shí),x=,所以它的圖象關(guān)于(,0)對稱,故選C. 3.如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對稱,那么|φ|的最小值為(  ) A. B. C. D. 解析:選A.由題意得3cos(2×+φ)=3cos(+φ+2π)=3cos(+φ)=0, 所以+φ=kπ+,k∈Z. 所以φ=kπ-,k∈Z,取k=0, 得|φ|的最小值為. 4.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)對任意x都有f(+x)=f(-x),則f()的值為(  ) A.2或0 B.-2或2 C.0 D.-2或0 解析:選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(

3、x)=2sin(ωx+φ)對任意x都有f(+x)=f(-x),所以該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對稱,因?yàn)樵趯ΨQ軸處對應(yīng)的函數(shù)值為最大值或最小值,所以選B. 5.(2019·山西晉城一模)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+)的圖象的一個(gè)對稱中心為(,0),其中ω為常數(shù),且ω∈(1,3).若對任意的實(shí)數(shù)x,總有f(x1)≤f(x)≤f(x2),則|x1-x2|的最小值是(  ) A.1 B. C.2 D.π 解析:選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2sin(ωx+)的圖象的一個(gè)對稱中心為(,0),所以ω+=kπ,k∈Z,所以ω=3k-1,k∈Z,由ω∈(1,3),得ω=2.由題意得|x1-x2|的最小值為

4、函數(shù)的半個(gè)周期,即==. 6.(2019·廣州市綜合檢測(一))已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是奇函數(shù),且在上單調(diào)遞減,則ω的最大值是(  ) A.   B.   C.   D.2 解析:選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=cos(ωx+φ)是奇函數(shù),0≤φ≤π,所以φ=,所以f(x)=cos=-sin ωx,因?yàn)閒(x)在 上單調(diào)遞減,所以-×ω≥-且×ω ≤,解得ω≤,又ω>0,故ω的最大值為. 7.(2019·高考北京卷)函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是________. 解析:因?yàn)閒(x)=sin22x=,所以f(x)的最小正周期T==. 答案:

5、8.(2019·昆明調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=sin ωx的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對稱,且f(x)在[0,]上為增函數(shù),則ω=________. 解析:將點(diǎn)(,0)代入f(x)=sin ωx,得sinω=0,所以ω=nπ,n∈Z,得ω=n,n∈Z.設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T,因?yàn)閒(x)在[0,]上為增函數(shù),所以ω>0,≥,所以T≥π,即≥π,所以ω≤2.所以n=1,ω=. 答案: 9.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx-)+1(x∈R)的圖象的一條對稱軸為x=π,其中ω為常數(shù),且ω∈(1,2),則函數(shù)f(x)的最小正周期為________. 解析:由函數(shù)f(x)=2sin(ωx-)+1(

6、x∈R)的圖象的一條對稱軸為x=π,可得ωπ-=kπ+,k∈Z, 所以ω=k+,又ω∈(1,2),所以ω=,從而得函數(shù)f(x)的最小正周期為=. 答案: 10.(2019·成都模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+).若x1x2<0,且f(x1)-f(x2)=0,則|x2-x1|的取值范圍為________. 解析:如圖,畫出f(x)=sin(2x+)的大致圖象, 記M(0,),N(,),則|MN|=.設(shè)點(diǎn)A,A′是平行于x軸的直線l與函數(shù)f(x)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)(A,A′位于y軸兩側(cè)),這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為x1,x2,結(jié)合圖形可知,|x2-x1|=|AA′|∈(|MN|,+∞)

7、,即|x2-x1|∈(,+∞). 答案:(,+∞) 11.已知函數(shù)f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x-2. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)當(dāng)x∈時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值和最小值. 解:f(x)=sin 2x+cos 2x=sin. (1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 則kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. (2)因?yàn)閤∈, 所以≤2x+≤, 所以-1≤sin≤ , 所以-≤f(x)≤1,所以當(dāng)x∈時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為1,最小值為-. 12.(2019·安徽池州一模)已知函數(shù)f(x)=cos2

8、ωx+sin ωxcos ωx-(ω>0)的最小正周期為π. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間; (2)若f(x)>,求x的取值集合. 解:(1)f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx-=(1+cos 2ωx)+sin 2ωx-=cos 2ωx+sin 2ωx=sin(2ωx+).因?yàn)橹芷跒椋溅?,所以ω?,故f(x)=sin(2x+).由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[+kπ,+kπ],k∈Z. (2)f(x)>,即sin(2x+)>,由正弦函數(shù)的性質(zhì)得+2kπ<2x+<+2kπ,k∈Z,解得-+kπ

9、

10、,所以f(x)在單調(diào)遞減,故②不正確;f(x)在[-π,π]的圖象如圖所示,由圖可知函數(shù)f(x)在[-π,π]只有3個(gè)零點(diǎn),故③不正確;因?yàn)閥=sin|x|與y=|sin x|的最大值都為1且可以同時(shí)取到, 所以f(x)可以取到最大值2,故④正確.綜上,正確結(jié)論的編號(hào)是①④.故選C. 優(yōu)解:因?yàn)閒(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),故①正確,排除B;當(dāng)

11、時(shí)取到,所以f(x)的最大值為2,故④正確.故選C. 2.(2019·高考全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn).下述四個(gè)結(jié)論: ①f(x)在(0,2π)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn) ②f(x)在(0,2π)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn) ③f(x)在單調(diào)遞增 ④ω的取值范圍是 其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(  ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④ 解析:選D.如圖,根據(jù)題意知,xA≤2π

12、得≤ω<,所以④正確;當(dāng)x∈(0,)時(shí),<ωx+<+,因?yàn)椤堞?,所以+<<,所以函數(shù)f(x)在(0,)單調(diào)遞增,所以③正確. 3.(應(yīng)用型)(2019·唐山模擬)已知函數(shù)f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),f()+f()=0,且f(x)在區(qū)間(,)上遞減,則ω=________. 解析:因?yàn)閒(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+), 由+2kπ≤ωx+≤+2kπ,k∈Z, 得+≤x≤+,因?yàn)閒(x)在區(qū)間(,)上遞減,所以(,)?[+,+],從而有 解得12k+1≤ω≤,k∈Z, 所以1≤ω≤,因?yàn)閒()+f()=0, 所以x==為f(x)=2s

13、in(ωx+)的一個(gè)對稱中心的橫坐標(biāo), 所以ω+=kπ(k∈Z),ω=3k-1,k∈Z, 又1≤ω≤, 所以ω=2. 答案:2 4.(創(chuàng)新型)(2019·蘭州模擬)已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,當(dāng)x∈[0,]時(shí),-5≤f(x)≤1. (1)求常數(shù)a,b的值; (2)設(shè)g(x)=f(x+)且lg g(x)>0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間. 解:(1)因?yàn)閤∈[0,], 所以2x+∈[,], 所以sin(2x+)∈[-,1], 所以-2asin(2x+)∈[-2a,a], 所以f(x)∈[b,3a+b],又因?yàn)椋?≤f(x)≤1, 所以b=-5,3

14、a+b=1,因此a=2,b=-5. (2)由(1)得f(x)=-4sin(2x+)-1, g(x)=f(x+)=-4sin(2x+)-1 =4sin(2x+)-1, 又由lg g(x)>0,得g(x)>1, 所以4sin(2x+)-1>1, 所以sin(2x+)>, 所以2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z, 其中當(dāng)2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z時(shí), g(x)單調(diào)遞增,即kπ

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