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1、課后限時集訓12 函數與方程 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．設f(x)＝ln x＋x－2，則函數f(x)的零點所在的區(qū)間為(　　) A．(0,1)　　 B．(1,2)　　 C．(2,3)　　 D．(3,4) B　[∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0， ∴f(1)·f(2)＜0， ∵函數f(x)＝ln x＋x－2的圖像是連續(xù)的，且為增函數， ∴f(x)的零點所在的區(qū)間是(1,2)．] 2．函數f(x)＝的零點個數為(　　) A．3 B．2 C．7 D．0 B　[法一：(直接法)由f(x)＝0得 或 解得x＝－2

2、或x＝e. 因此函數f(x)共有2個零點． 法二：(圖像法)函數f(x)的圖像如圖所示，由圖像知函數f(x)共有2個零點．] 3．已知a是函數f(x)＝2x－logx的零點，若0＜x0＜a，則f(x0)的值滿足(　　) A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0 C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符號不確定 C　[f(x)在(0，＋∞)上是增函數， 若0＜x0＜a， 則f(x0)＜f(a)＝0.] 4．已知函數f(x)＝x－(x＞0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零點分別為x1，x2，x3，則(　　) A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3

3、C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2 C　[作出y＝x與y1＝，y2＝－ex，y3＝－ln x的圖像如圖所示，可知選C. ] 5．(2019·長沙模擬)已知函數f(x)＝則使方程x＋f(x)＝m有解的實數m的取值范圍是(　　) A．(1,2) B．(－∞，－2] C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞) D　[當x≤0時，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；當x＞0時，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即實數m的取值范圍是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故選D.] 二、填空題 6．函數f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)

4、上存在一個零點，則實數a的取值范圍是________． 　[∵函數f(x)的圖像為直線， 由題意可得f(－1)f(1)＜0， ∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1， ∴實數a的取值范圍是.] 7．若函數f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2和3，則不等式af(－2x)＞0的解集是________． 　[∵f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2，3. ∴－2，3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根， 由根與系數的關系知 ∴ ∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0， 即－(4x2＋2x－6)＞0?2x2＋x－3＜0， 解集為.] 8．(2019·漳州

5、模擬)已知函數f(x)＝若函數g(x)＝f(x)－m有三個零點，則實數m的取值范圍是________． 　[作出函數f(x)的圖像如圖所示． 當x≤0時，f(x)＝x2＋x＝2－≥－，若函數f(x)與y＝m的圖像有三個不同的交點，則－＜m≤0，即實數m的取值范圍是.] 三、解答題 9．已知函數f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點． (1)求m的值． (2)求函數的零點． [解]　(1)因為f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0僅有一個實根． 設2x＝t(t＞0)，則t2＋mt＋1＝0. 當Δ＝0時，即m2－4＝0， 所以m＝

6、±2， 當m＝－2時，t＝1； 當m＝2時，t＝－1(不合題意，舍去)． 所以2x＝1，x＝0符合題意． 當Δ＞0時，即m＞2或m＜－2， t2＋mt＋1＝0有兩正或兩負根， 即f(x)有兩個零點或沒有零點． 所以這種情況不符合題意． 綜上可知：當m＝－2時，f(x)有唯一零點． (2)由(1)可知，該函數的零點為0. 10．設函數f(x)＝(x＞0)． (1)作出函數f(x)的圖像； (2)當0＜a＜b，且f(a)＝f(b)時，求＋的值； (3)若方程f(x)＝m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍． [解]　(1)如圖所示． (2)因為f(x)＝＝ 故f(

7、x)在(0,1]上是減函數，而在(1，＋∞)上是增函數． 由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b， 且－1＝1－，所以＋＝2. (3)由函數f(x)的圖像可知，當0＜m＜1時，函數f(x)的圖像與直線y＝m有兩個不同的交點，即方程f(x)＝m有兩個不相等的正根． 1．若定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數y＝f(x)－log3|x|的零點有(　　) A．多于4個 B．4個 C．3個 D．2個 B　[因為偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，故函數的周期為2.當x∈[0,1]時，f(x)

8、＝x，故當x∈[－1,0]時，f(x)＝－x.函數y＝f(x)－log3|x|的零點的個數等于函數y＝f(x)的圖像與函數y＝log3|x|的圖像的交點個數．在同一個坐標系中畫出函數y＝f(x)的圖像與函數y＝log3|x|的圖像，如圖所示． 顯然函數y＝f(x)的圖像與函數y＝log3|x|的圖像有4個交點，故選B.] 2．已知當x∈[0,1]時，函數y＝(mx－1)2的圖像與y＝＋m的圖像有且只有一個交點，則正實數m的取值范圍是(　　) A．(0,1]∪[2，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞) C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞) B　[在同一直角

9、坐標系中，分別作出函數f(x)＝(mx－1)2＝m22與g(x)＝＋m的大致圖像．分兩種情形： (1)當0＜m≤1時，≥1，如圖①，當x∈[0,1]時，f(x)與g(x)的圖像有一個交點，符合題意． ①　　　　　　　　?、? (2)當m＞1時，0＜＜1，如圖②，要使f(x)與g(x)的圖像在[0,1]上只有一個交點，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)． 綜上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．故選B.] 3．已知f(x)是奇函數并且是R上的單調函數，若函數y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數λ＝________. －　[依

10、題意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1個解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1個解， ∴2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解， 故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.] 4．已知函數f(x)＝－x2－2x，g(x)＝ (1)求g(f(1))的值； (2)若方程g(f(x))－a＝0有4個實數根，求實數a的取值范圍． [解]　(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，則原方程化為g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)內有2個不同的解， 則原方程有4個解等價于函數y＝g

11、(t)(t＜1)與y＝a的圖像有2個不同的交點，作出函數y＝g(t)(t＜1)的圖像(圖略)，由圖像可知，當1≤a＜時，函數y＝g(t)(t＜1)與y＝a有2個不同的交點，即所求a的取值范圍是. 1．已知函數f(x)＝若關于x的方程f(x)＝kx－恰有4個不相等的實數根，則實數k的取值范圍是________． 　[若關于x的方程f(x)＝kx－恰有4個不相等的實數根，則f(x)的圖像和直線y＝kx－有4個交點．作出函數f(x)的圖像，如圖，故點(1,0)在直線y＝kx－的下方．所以k·1－＞0，解得k＞. 當直線y＝kx－和y＝ln x相切時，設切點橫坐標為m，則k＝＝，所以m＝.此時，k＝＝，f(x)的圖像和直線y＝kx－有3個交點，不滿足條件，故要求的k的取值范圍是.] 2．已知定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x－4)＝f(x)，且在區(qū)間[0,2]上f(x)＝x，若關于x的方程f(x)＝logax有三個不同的實根，求a的取值范圍． [解]　由f(x－4)＝f(x)知，函數的周期為4，又函數為偶函數，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)， 所以函數圖像關于x＝2對稱，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三個不同的根，則滿足 解得＜a＜，故a的取值范圍是(，)． 6