《2020年高考數(shù)學一輪總復習 集合 函數(shù) 導數(shù) 專題19 含參數(shù)導數(shù)題型規(guī)律總結(jié)（3）文（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學一輪總復習 集合 函數(shù) 導數(shù) 專題19 含參數(shù)導數(shù)題型規(guī)律總結(jié)（3）文（含解析）（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題19含參數(shù)導數(shù)題型規(guī)律總結(jié)（3） 一、本專題要特別小心： 1.圖形考慮不周陷阱； 2.思維定式陷阱（與等式有關(guān)的構(gòu)造函數(shù)）； 3. 已知條件中含有導函數(shù)值而無從下手； 4.恒成立中的最值陷阱 5. 含有導函數(shù)的式子中的和差構(gòu)造陷阱 6.與三角函數(shù)有關(guān)的構(gòu)造函數(shù) 7.忽視分母造成解集不完備 8.與指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)有關(guān)的構(gòu)造 二．【知識點】 1.函數(shù)的極值 (1)若可導函數(shù)f(x)在x＝x0處導數(shù)值為0，且在x＝x0處的左邊f(xié)′(x0)＞0，在x＝x0處的右邊f(xié)′(x0)＜0，則f(x)在x＝x0處有極大值. (2)若可導函數(shù)f(x)在x＝x0處導數(shù)值為0，且在x＝x

2、0處的左邊f(xié)′(x0)＜0，在x＝x0處的右邊f(xié)′(x0)＞0，則f(x)在x＝x0處有極小值. (3)可導函數(shù)的極值點導數(shù)為零，但導數(shù)為零的點不一定是極值點，如y＝x3在x＝0處導數(shù)值為零，但x＝0不是極值點. 2.函數(shù)的最值 (1)連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上必有最大值與最小值. (2)最值的求法：先求f(x)在(a，b)上的極值，再將各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值. 3.極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系 (1)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點附近的情況，是在局部對函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個區(qū)間上的整體情況，是函數(shù)在整個區(qū)間上的函

3、數(shù)值的比較. (2)函數(shù)的極值不一定是最值，須與端點函數(shù)值作比較方可確定是否為最值. (3)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值(單峰函數(shù))，則極大值即是[a，b]上的最大值，極小值即是[a，b]上的最小值. 三．【題型方法總結(jié)】 （一）導數(shù)與不等式證明 例1.已知函數(shù)的圖象在處的切線過點． （Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點，．證明：． 【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析 【解析】由題意的定義域是，， 故，，故切線方程是：， 又切線過，故，解得：，故； Ⅰ，當時，，在遞增， 當時，令，解得：或舍， 在遞增，在遞減， 綜上，時，在遞增， 時，

4、在遞增，在遞減； Ⅱ證明：，故， 有兩個極值點，，即有2個相異實根，， ，，即， ， 令，，，， 在遞減，，． 練習1．已知函數(shù)． （1）當時，判斷函數(shù)的單調(diào)性； （2）若關(guān)于的方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明． 【答案】（1）在上單調(diào)遞增；（2）詳見解析. 【解析】（1）時，， 故， 在上單調(diào)遞增． （2）由題意可知有兩解， 設直線與相切，切點坐標為， 則，解得， ，即． ∴實數(shù)的取值范圍是． 不妨設，則， 兩式相加得：， 兩式相減得：， ，故， 要證，只需證， 即證， 令，故只需證在恒成立即可． 令， 則， ∴在上單調(diào)

5、遞增， ， 即在恒成立． ． 練習2．已知函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）設，求證：（參考數(shù)據(jù)：）． 【答案】(1) 單調(diào)遞減區(qū)間為；函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為． ；(2)見證明 【解析】（1）解：， ∴時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增． 所以單調(diào)遞減區(qū)間為；函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為． （2）證明：. ∴ 由（1）得當時，函數(shù)單調(diào)遞增， 函數(shù)在上單調(diào)遞增， 故在單調(diào)遞增． ∵，， 存在，使得. 當時，，當時，， ∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， ∴當時，函數(shù)取得極小值即最小值． ∴ 因為函數(shù)與在上單調(diào)遞減， 所以在上單調(diào)遞減，且， ∴. （二）參數(shù)

6、討論 例2. 已知，設函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，即， （1）當時，， 當時，， 故當時，在上恒成立； 若在上恒成立，即在上恒成立， 令，則， 當函數(shù)單增，當函數(shù)單減， 故，所以。當時，在上恒成立； 綜上可知，的取值范圍是， 故選C。 練習1. 已知函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證： 【答案】（1）見解析（2）見解析 【解析】（1） . 當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增， 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為. 當時，由得；由得， 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

7、，單調(diào)減區(qū)間為. （2）因為是方程的兩個不等實根，所以.不妨設， 則，， 兩式相減得, 即. 又，當時，；當時，. 故只要證明即可，即證， 即證,即證. 設，令，則, 則在為增函數(shù)，又, 所以時，總成立，得證. （三）導數(shù)與數(shù)列 例3. 已知函數(shù). （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）證明：（，且）. 【答案】（Ⅰ）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（Ⅱ）見證明 【解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，. ∵在上，，在上，. ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ∴，即，當且僅當時取等號. 從而，，，…，， ∴， ∴， ∴. 練習1. 設函數(shù)，對

8、于，都有成立. （Ⅰ）求實數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）證明：（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明 【解析】（Ⅰ）， 當時，由，得，由，得， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. ，都成立，. 又， 所以由，得.； 的取值范圍是. （Ⅱ）當時，，即. .當時，. 令，則.且時，. ， . ； 即恒成立. 練習2.已知函數(shù)，. （1）若，在上恒成立，求的取值范圍； （2）設數(shù)列，為數(shù)列的前項和，求證：； （3）當時，設函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點，，過線段的中點作軸的垂線分別交，于點，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求

9、出的橫坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）不存在. 【解析】（1）當時，，即， 設，則. 若，顯然不滿足題意； 若，則時，恒成立， 所以在上為減函數(shù)，有在上恒成立； 若，則時，，時， 所以在上單調(diào)遞增． ∵，∴時，，不滿足題意． 綜上，時在上恒成立． （2）由（1）得在上恒成立， 令有，， 則， ∴， 即. （3），設點的坐標是，，且， 則點的中點坐標為， 在點處的切線斜率為， 在點處的切線斜率為， 假設在點處的切線與在點處的切線平行，則，即. 所以 ， 所以. 設，則，.　① 令，，則. 因為，所以，所以在

10、上單調(diào)遞增． 故，則. 這與①矛盾，假設不成立． 故不存在點，使在點處的切線與在點處的切線平行． （四）三角函數(shù)的導數(shù) 例4. 已知函數(shù)，， （I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （II）若在恒成立，求的取值范圍； （III）當，時，證明： 【答案】（I）見解析（II）（III）見解析 【分析】（I）求導后，當時，恒成立，可知單調(diào)遞增；當時，求出的解，從而可判斷出的符號，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（II）當時，可知；當時，，利用導數(shù)求解出使，的最大值，從而；當時，，可得，綜合上述結(jié)果，可求得；（III）由（II）可知只需證得在上恒成立即可；構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可證得結(jié)果，從而原不等式成立.

11、 【解析】（I）由題意知： （1）當時，恒成立 在定義域上單調(diào)遞增 （2）當時，令，解得： 則，，變化情況如下表： 極小值 的單調(diào)減區(qū)間為：，單調(diào)增區(qū)間為： （II）（1）當時，原不等式化為：恒成立，可知 （2）當時，則，令 則 令，則 當時，，則 在上單調(diào)遞減 即 在上單調(diào)遞減 當時， 綜上所述： （III）（1）當時，，則 由（II）可得時， 則只需證明：成立 令 當時， 在上單調(diào)遞增

12、 （五）極值點偏移 例5. 已知函數(shù). （1）試討論的單調(diào)區(qū)間； （2）若時，函數(shù)的圖像與軸交于，兩點，且，求證：. 【答案】（1）見解析；（2）見證明 【解析】（1） ①當時，， 在上是增函數(shù). ②當時，由得. 當時，； 當時，， 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. （2）由（1）可知：當時，1是的極值點， 構(gòu)造函數(shù)， 在上單調(diào)遞增，所以, 又，， 又 又在是增函數(shù)， 練習1．已知函數(shù)，其中，，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù). （I）判斷函數(shù)的單調(diào)性； （II）設， 是函數(shù)的兩個零點，求證：； （III）當，時，試比較與的

13、大小并證明你的結(jié)論. 【答案】（I）在上遞減，在上遞增.（II）見解析（III）答案見解析. 【解析】（I），， ①當時，，，∴，∴在上遞減； ②當時，，，∴，∴在上遞增. 綜上可知，在上遞減，在上遞增. （II）不妨設，由題意及（I）可知，，，且， 令，， 則 ， 即，∴， ，∴ ， ， 由（I）知在上遞增，∴，∴. （III）當，時，， 在上遞減，在上遞增.. ，，令，得， 所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減. . 綜上所述，當且僅當時等號成立. 練習2.已知函數(shù)有兩個極值點，. （1）求的取值范圍； （2）求證：. 【答案】（1）（2）見證明 【解析】（1）因為， 所以， 令，則， 當時，不成立； 當時，，令， 所以，當時，，當時，， 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 又因為，當時，，當時，， 因此，當時，有2個極值點， 即的取值范圍為. （2）由（1）不妨設，且， 所以，所以， 要證明，只要證明， 即證明， 設，即要證明在上恒成立， 記，， 所以在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以，即，即. 16