課時55 證明 模擬訓(xùn)練（分值：60分 建議用時：30分鐘） 1．（2018·河南省開封市麗星中學(xué)高三上學(xué)期期中考試,5分）命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”過程應(yīng)用了(　　) A．分析法　　　　　　　　　 B．綜合法 C．綜合法、分析法綜合使用 D．間接證明法 【答案】B 【解析】因?yàn)樽C明過程是“從左往右”，即由條件?結(jié)論． 2．（2018·江西省吉水中學(xué)高三第二次月考,5分）設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，則a＋，b＋，c＋(　　) A．都不大于－2 B．都不小于－2 C．至少有一個不大于－2 D．至少有一個不小于－2 【答案】C 【解析】因?yàn)閍＋＋b＋＋c＋≤－6，所以三者不能都大于－2. 3．（2018·山東濟(jì)寧梁山二中高三12月月考,5分）要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明(　　) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a(chǎn)2＋b2－1－≤0 C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0 【答案】D 【解析】因?yàn)閍2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0. 4．（2018·廣東省順德容山中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考試題,5分）若a＞b＞0，則下列不等式中總成立的是(　　) A．a(chǎn)＋＞b＋ B.＞ C．a(chǎn)＋＞b＋ D.＞ 【答案】A 5．（2018·四川成都樹德協(xié)進(jìn)中學(xué)上學(xué)期期中,5分）①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設(shè)p＋q≥2，②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小于1.用反證法證明時可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.以下結(jié)論正確的是(　　) A．①與②的假設(shè)都錯誤 B．①與②的假設(shè)都正確 C．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯誤 D．①的假設(shè)錯誤；②的假設(shè)正確 【答案】D 【解析】反證法的實(shí)質(zhì)是命題的等價性，因?yàn)槊}p與命題的否定?p真假相對，故直接證明困難時，可用反證法．故選D. 6.（2018·福建省廈門市翔安第一中學(xué)高三12月月考,5分）若a＞0，b＞0，且a≠b，M＝＋，N＝＋，則M與N的大小關(guān)系是(　　) A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N 【答案】A 7．（2018·浙江省十二校新高考研究聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考,5分）在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足_________． 【答案】a2>b2＋c2 【解析】由余弦定理cosA＝<0， 所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2. 8．（2018·湖南省新田一中高三第五次月考試題,5分）設(shè)x，y，z是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若x⊥z，且y⊥z，則x∥y”為真命題的是________(填所有正確條件的代號)． ①x為直線，y，z為平面； ②x，y，z為平面； ③x，y為直線，z為平面； ④x，y為平面，z為直線； ⑤x，y，z為直線． 【答案】①③④ 【解析】①中x⊥平面z，平面y⊥平面z， ∴x∥平面y或x?平面y. 又∵x?平面y，故x∥y成立． ②中若x，y，z均為平面，則x可與y相交，故②不成立． ③x⊥z，y⊥z，x，y為不同直線，故x∥y成立． ④z⊥x，z⊥y，z為直線，x，y為平面可得x∥y，④成立． ⑤x，y，z均為直線可異面垂直，故⑤不成立． 9．（2018·貴州省湄潭中學(xué)高三第五次月考,10分）已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：＜a. 10．（2018·江西省紅色六校高三第一次聯(lián)考,10分）已知三個方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，其中至少有一個方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【解析】若三個方程都無實(shí)根，則，解得－＜a＜－1，故當(dāng)三個方程至少有一個方程有實(shí)根時，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤－或a≥－1}． [新題訓(xùn)練] （分值：10分 建議用時：10分鐘） 11．（5分）已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，試證：“數(shù)列{xn}對任意的正整數(shù)n，都滿足xn>xn＋1，”當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時應(yīng)為(　　) A．對任意的正整數(shù)n，有xn＝xn＋1 B．存在正整數(shù)n，使xn≤xn＋1 C．存在正整數(shù)n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1 D．存在正整數(shù)n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0 【答案】B 【解析】根據(jù)全稱命題的否定，是特稱命題，即“數(shù)列{xn}對任意的正整數(shù)n，都滿足xn>xn＋1”的否定為“存在正整數(shù)n，使xn≤xn＋1”，故選B. 12．（5分）如果a＋b>a＋b，則a、b應(yīng)滿足的條件是________． 4