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1、概率論知識點總結(jié)第一章隨機事件及其概率第一節(jié)基本概念隨機實驗：將一切具有下面三個特點：（1）可重復性（2）多結(jié)果性（3）不確定性的試驗或觀察稱為隨機試驗，簡稱為試驗，常用E 表示。隨機事件：在一次試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情（結(jié)果）稱為隨機事件，簡稱為事件。不可能事件：在試驗中不可能出現(xiàn)的事情，記為。必然事件：在試驗中必然出現(xiàn)的事情，記為。樣本點：隨機試驗的每個基本結(jié)果稱為樣本點，記作.樣本空間：所有樣本點組成的集合稱為樣本空間.樣本空間用表示.一個隨機事件就是樣本空間的一個子集?；臼录吸c集，復合事件多點集一個隨機事件發(fā)生，當且僅當該事件所包含的一個樣本點出現(xiàn)。事件的關(guān)系與運算（就是

2、集合的關(guān)系和運算）包含關(guān)系：若事件A 發(fā)生必然導致事件B 發(fā)生，則稱B 包含 A，記為AB或BA。相等關(guān)系：若AB且BA，則稱事件A 與事件 B 相等，記為AB。事件的和：“事件 A 與事件 B 至少有一個發(fā)生”是一事件，稱此事件為事件A 與事件 B 的和事件。記為AB。事件的積：稱事件“事件 A 與事件 B 都發(fā)生”為 A 與 B 的積事件，記為A B 或 AB。事件的差：稱事件“事件 A 發(fā)生而事件B 不發(fā)生”為事件 A 與事件 B 的差事件,記為AB。用交并補可以表示為BABA?；コ馐录喝绻?A，B 兩事件不能同時發(fā)生，即AB，則稱事件A 與事件 B 是互不相容事件或互斥事件。互斥時B

3、A可記為 AB。對立事件：稱事件“A 不發(fā)生”為事件 A 的對立事件（逆事件），記為A。對立事件的性質(zhì)：BABA,。事件運算律：設(shè)A，B，C 為事件，則有（1）交換律：AB=B A，AB=BA（2）結(jié)合律：A(BC)=(A B)C=A BC A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A(BC)(AB)(AC)A(B C)(AB)(AC)=ABAC（4）對偶律（摩根律）：BABABABA第二節(jié)事件的概率概率的公理化體系：（1）非負性：P(A)0；（2）規(guī)范性：P()1（3）可數(shù)可加性：nAAA21兩兩不相容時精選學習資料 -名師歸納總結(jié)-第 1 頁，共 6 頁)()()()(2121nnAPA

4、PAPAAAP概率的性質(zhì)：（1）P()0（2）有限可加性：nAAA21兩兩不相容時)()()()(2121nnAPAPAPAAAP當 AB=時 P(AB)P(A)P(B)（3）)(1)(APAP（4）P(AB)P(A)P(AB)（5）P（AB）P(A)P(B)P(AB)第三節(jié)古典概率模型1、設(shè)試驗E 是古典概型,其樣本空間 由 n 個樣本點組成,事件 A 由 k 個樣本點組成.則定義事件 A 的概率為nkAP)(2、幾何概率：設(shè)事件A 是 的某個區(qū)域，它的面積為(A)，則向區(qū)域 上隨機投擲一點，該點落在區(qū)域A 的概率為)()()(AAP假如樣本空間 可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，則事件A

5、的概率仍可用上式確定，只不過把 理解為長度或體積即可.第四節(jié)條件概率條件概率：在事件B 發(fā)生的條件下，事件A 發(fā)生的概率稱為條件概率，記作P(A|B).)()()|(BPABPBAP乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)全概率公式：設(shè)nAAA,21是一個完備事件組，則P(B)=P(iA)P(B|iA)貝葉斯公式：設(shè)nAAA,21是一個完備事件組,則)|()()|()()()()|(jjiiiiABPAPABPAPBPBAPBAP第五節(jié)事件的獨立性兩個事件的相互獨立：若兩事件A、B 滿足 P(AB)=P(A)P(B)，則稱 A、B 獨立，或稱A、B 相互獨立.三個事件的相

6、互獨立：對于三個事件A、B、C，若 P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，則稱 A、B、C 相互獨立精選學習資料 -名師歸納總結(jié)-第 2 頁，共 6 頁三個事件的兩兩獨立：對于三個事件A、B、C，若 P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，則稱 A、B、C 兩兩獨立獨立的性質(zhì)：若A 與 B 相互獨立，則A與 B，A 與B，A與B均相互獨立總結(jié)：1.條件概率是概率論中的重要概念，其與獨立性有密切的關(guān)系，在不具有獨立性的場合，它將扮演主要的角色。2.乘法公式

7、、全概公式、貝葉斯公式在概率論的計算中經(jīng)常使用，應(yīng)牢固掌握。3.獨立性是概率論中的最重要概念之一，應(yīng)正確理解并應(yīng)用于概率的計算。第二章一維隨機變量及其分布第二節(jié)分布函數(shù)分布函數(shù)：設(shè)X 是一個隨機變量，x 為一個任意實數(shù)，稱函數(shù))(xXPxF為 X 的分布函數(shù)。如果將X 看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那么分布函數(shù)F(x)的值就表示X 落在區(qū)間,(x內(nèi)的概率分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）單調(diào)不減；（2）右連續(xù)；（3）1)(,0)(FF第三節(jié)離散型隨機變量離散型隨機變量的分布律：設(shè)kx(k=1,2,)是離散型隨機變量X 所取的一切可能值，稱kkpxXP為離散型隨機變量X 的分布律，也稱概率分布.當離散性隨機變量取

8、值有限且概率的規(guī)律不明顯時，常用表格形式表示分布律。分布律的性質(zhì)：（1）10kp；（2）1kp離散型隨機變量的概率計算：（1）已知隨機變量X 的分布律，求X 的分布函數(shù)；xxkkxPxXPxF)()(（2）已知隨機變量X 的分布律,求任意隨機事件的概率；（3）已知隨機變量X 的分布函數(shù)，求X 的分布律)0()(kkkxFxFxXP三種常用離散型隨機變量的分布：1.（01）分布：參數(shù)為p 的分布律為pXPpXP10,12.二項分布：參數(shù)為n，p 的分布律為knkknppCkXP)1(，nk,2,1,0。例如n 重獨立重復實驗中，事件A 發(fā)生的概率為p，記 X 為這 n 次實驗中事件A 發(fā)生的次數(shù)

9、，則 XB（n，p）3.泊松分布：參數(shù)為 的分布率為ekkXPk!，,2,1,0k。例如記 X 為某段事精選學習資料 -名師歸納總結(jié)-第 3 頁，共 6 頁件內(nèi)電話交換機接到的呼叫次數(shù)，則XP（）第四節(jié)連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量概率密度f(x)的性質(zhì)（1）f(x)0（2）1)(dxxf，0)(aadxxfaXP（3）badxxfbXaPbXaPbXaPbXaP)(（4）xdxxfxFxFxf)()(),()(連續(xù)型隨機變量的概率計算：（1）已知隨機變量X 的密度函數(shù)，求X 的分布函數(shù)；xdxxfxF)()(（2）已知隨機變量X 的分布函數(shù)，求X 的密度函數(shù)；)()(xFxf（3）已知隨機變量

10、X 的密度函數(shù),求隨機事件的概率；badxxfbXaP)(（4）已知隨機變量X 的分布函數(shù)，求隨機事件的概率；)()(aFbFbXaP三種重要的連續(xù)型分布：1均勻分布：密度函數(shù)elsebxaabxf01)(，記為XUa，b.2.指數(shù)分布：密度函數(shù)000)(xxexfx，記為 XE（）3.正態(tài)分布：密度函數(shù)222)(21)(xexf，記為),(2NXN（0，1）稱為標準正態(tài)分布.標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布，然后再計算概率.)()()()(abaFbFbXaP第五節(jié)隨機變量函數(shù)的分布離散型：在分布律的表格中直接求出；連續(xù)型：尋找分布函數(shù)間的

11、關(guān)系，再求導得到密度函數(shù)間的關(guān)系；注意分段函數(shù)情況可能需要討論，得到的結(jié)果也可能是分段函數(shù)。)()()()(yGFyGXPyXgPyYPyFY精選學習資料 -名師歸納總結(jié)-第 4 頁，共 6 頁第三章多維隨機變量及其分布第一節(jié)二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù),),(yYxXPyxF，表示隨機點落在以（x，y）為頂點的左下無窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率。聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）分別關(guān)于x 和 y 單調(diào)不減；（2）分別關(guān)于x 和 y 右連續(xù)；（3）F(-,y)=0,F(x,-)=0,F(-,-)=0 F(+,+)=1第二節(jié)二維離散型隨機變量聯(lián)合分布律：ijjipyYxXP,聯(lián)合分布律的性質(zhì)：0ijp

12、；1ijijp第三節(jié)二維連續(xù)性隨機變量聯(lián)合密度：yxduvufdvyxF),(),(聯(lián)合密度的性質(zhì)：0),(yxf；1),(2Rdxdyyxf；DdxdyyxfDyxP),(),(第四節(jié)邊緣分布二維離散型隨機變量的邊緣分布律：在表格邊緣，對應(yīng)概率相加求出；二維連續(xù)性隨機變量的邊緣密度：先求出邊緣分布函數(shù)，在求導求出邊緣密度第六節(jié)隨機變量的獨立性獨立性判斷：（1）若YX,取值互不影響，可認為相互獨立；（2）根據(jù)獨立性定義判斷)()(),(yFxFyxFYX離散型可用jiijppp?連續(xù)型可用)()(),(yfxfyxfYX獨立性的應(yīng)用：（1）判斷獨立性；（2）已知獨立性，由邊緣分布確定聯(lián)合分布第

13、四章隨機變量的數(shù)字特征離散型隨機變量數(shù)學期望的計算kkkpxEX，kkkpxgXgE)()(連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的計算dxxxfEX)(，dxxfxgXgE)()()(精選學習資料 -名師歸納總結(jié)-第 5 頁，共 6 頁方差的計算：2)(EXXEDX，)()(22XEXEDX數(shù)學期望的性質(zhì)（1）E(C)=C（2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)（4）當X,Y 獨立時，E(X Y)=E(X)E(Y)方差的性質(zhì)（1）D(C)=0（2）D(CX)=2CD(X)（3）若X,Y 相互獨立，則D(X Y)=D(X)+D(Y)常見分布的數(shù)學期望和方差兩點分布，二項分布，泊松分布，均勻分布，正態(tài)分布，指數(shù)分布精選學習資料 -名師歸納總結(jié)-第 6 頁，共 6 頁