《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù) 第14講 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應用練習 文（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù) 第14講 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應用練習 文（含解析）新人教A版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第14講　函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應用 夯實基礎　【p34】 【學習目標】 會運用函數(shù)的知識和函數(shù)思想解決有關函數(shù)的綜合性問題，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力． 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是(　　) 【解析】由于縱坐標是距學校的距離，隨著時間的推移，到學校的距離越來越近，所以不可能是A；開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，所以D錯；對于B，C，我們發(fā)現(xiàn)B中的兩條斜線的斜率相近，沒有體現(xiàn)出“為了趕時間加快速度行駛”，只有C符

2、合題意，故選C. 【答案】C 2．有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示： x 2.01 3 4.01 5.1 6.12 y 3 8.01 15 23.8 36.04 則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關系的函數(shù)模型是(　　) A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1 C．y＝2log2x D．y＝x3 【解析】根據(jù)實驗數(shù)據(jù)第一組(2.01，3)，選項A，C，D顯然不滿足，故選B. 【答案】B 3．據(jù)調查，蘋果園地鐵的自行車存車處在某星期日的存車量為4 000輛次，其中變速車存車費是每輛一次0.3元，普通車存車費是每輛一次0.2元，若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費總收入為y元，則y關

3、于x的函數(shù)關系是(　　) A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000) D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 【解析】y＝0.2x＋(4 000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．故選D. 【答案】D 4．某市用37輛汽車往災區(qū)運送一批救災物資，假設以v km/h的速度直達災區(qū)，已知該市到災區(qū)公路線長400 km，為安全需要，兩汽車間距不得小于 km，那么這批物資全部到達災區(qū)的最短時間是(　　) A. h B．12 h C．6 h

4、 D．24 h 【解析】設全部物資到達災區(qū)所需的時間為t小時， 由題意有，t＝ ＝＋ ≥2 ＝12， 當且僅當＝，即v＝ km/h時，等號成立． 所以最短時間為12 h. 故選B. 【答案】B 【知識要點】 1．幾類函數(shù)模型 函數(shù)模型 函數(shù)解析式 一次函數(shù)模型 f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0) 反比例函數(shù)模型 f(x)＝＋b(k，b為常數(shù)且k≠0) 二次函數(shù)模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0) 指數(shù)函數(shù)模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1) 對數(shù)函數(shù)模型 f(x)＝blogax＋c

5、(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1) 冪函數(shù)模型 f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0) 2.三種函數(shù)模型的性質 　　　函數(shù) 性質　　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增減性 單調遞增 單調遞增 單調遞增 增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩(wěn) 圖象的變化 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與__y軸__平行 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與__x軸__平行 隨n值變化而各有不同 值的比較 存在一個x0，當x>x0時，有l(wèi)ogax

6、二次函數(shù)模型 某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出72件，如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元，0≤x≤30)成正比．已知商品降低2元時，一星期多賣出8件． (1)將一星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)； (2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大，是多少？ 【解析】(1)由題意得＝4，即每降價x元，則多賣出4x件． 設總利潤為f(x)元， 則f(x)＝(30－x－9)(72＋4x) ＝4(x＋18)(－x＋21) ＝4(－x2＋3x＋378) ＝－4x2＋12x＋1 512(0≤x≤30)． 故銷售利潤f(x)表示成

7、x的函數(shù)為f(x)＝－4x2＋12x＋1 512(0≤x≤30)． (2)由(1)得f(x)＝4·(－x2＋3x＋378) ＝4 ＝－4＋9＋1 512 ＝－4＋1 521≤1 521. 所以當x＝時，f(x)取得最大值1 521元． 此時定價為30－＝28.5元． 故定價為28.5元時，一星期的商品銷售利潤最大，是1 521元． 【小結】二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯． 考點2　函數(shù)y＝x＋模型的應用 某貨輪勻速行駛在相距300海里的甲、乙兩地間運輸貨物，運輸成本由燃料費用和其他費用組成．已知該貨輪每小時的燃料費

8、用與其航行速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.5)，其他費用為每小時800元，且該貨輪的最大航行速度為50海里/小時． (1)請將從甲地到乙地的運輸成本y(元)表示為航行速度x(海里/小時)的函數(shù)； (2)要使從甲地到乙地的運輸成本最少，該貨輪應以多大的航行速度行駛？ 【解析】(1)由題意，每小時的燃料費用為0.5x2(0

9、，即x＝40時取等號． 故當貨輪航行速度為40海里/小時時，能使該貨輪運輸成本最少． 【小結】應用函數(shù)y＝x＋模型的關鍵點： (1)明確對勾函數(shù)是正比例函數(shù)f(x)＝ax與反比例函數(shù)f(x)＝疊加而成的． (2)解決實際問題時一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有時可以將所列函數(shù)關系式轉化為f(x)＝ax＋的形式． (3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值時，要注意自變量的取值范圍，及取得最值時等號成立的條件． 考點3　分段函數(shù)模型 某網(wǎng)店經(jīng)營的一種商品進價是每件10元，根據(jù)一周的銷售數(shù)據(jù)得出周銷售量P(件)與單價x(元)之間的關系如下圖所示，該網(wǎng)店與這種商品有關的周開支均為2

10、5元． (1)根據(jù)周銷售量圖寫出P(件)與單價x(元)之間的函數(shù)關系式； (2)寫出利潤y(元)與單價x(元)之間的函數(shù)關系式；當該商品的銷售價格為多少元時，周利潤最大？并求出最大周利潤． 【解析】(1)①設當x∈時， P＝k1x＋b1，代入點，， 得k1＝－2，b1＝50， ②設當x∈時， P＝k2x＋b2，代入點(20，10)，(28，2), 得k2＝－1，b2＝30, 故周銷量P(件)與單價x(元)之間的函數(shù)關系式為 P＝ (2)y＝P·－25 ＝ ①當x∈時， y＝－2＋， 所以x＝時， ymax＝； ②當x∈時， y＝－＋75， 可知y＝－＋75

11、在x∈單調遞減，所以y<75. 由①②可知，當x＝時， ymax＝， 故當該商品的銷售價格為17.5元時，周利潤最大為87.5元. 【小結】解決分段函數(shù)模型問題注意： (1)實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成； (2)構造分段函數(shù)時，要力求準確、簡捷，做到分段合理、不重不漏； (3)分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)． 【能力提升】 某濕地公園內(nèi)有一條河，現(xiàn)打算建一座橋將河兩岸的路連接起來，剖面設計圖紙如下： 其中，點A、E為x軸上關于原點對稱的兩點，曲線段BCD是橋的主體，C為橋頂，且曲線段BCD在圖紙上

12、的圖形對應函數(shù)的解析式為y＝(x∈[－2，2])，曲線段AB、DE均為開口向上的拋物線段，且A、E分別為兩拋物線的頂點，設計時要求：保持兩曲線在各銜接處(B、D)的切線的斜率相等． (1)求曲線段AB在圖紙上對應函數(shù)的解析式，并寫出定義域； (2)車輛從A經(jīng)B到C爬坡，定義車輛上橋過程中某點P所需要的爬坡能力為：MP＝(該點P與橋頂間的水平距離)×(設計圖紙上該點處的切線的斜率)，其中MP的單位：米．若該景區(qū)可提供三種類型的觀光車：①游客踏乘；②蓄電池動力；③內(nèi)燃機動力．它們的爬坡能力分別為0.8米，1.5米，2.0米．又已知圖紙上一個單位長度表示實際長度1米，試問三種類型的觀光車是否都可

13、以順利過橋？ 【解析】(1)據(jù)題意，拋物線段AB與x軸相切，且A為拋物線的頂點，設A(a，0)(a<－2)，則拋物線段AB在圖紙上對應函數(shù)的解析式可設為y＝λ(x－a)2(a≤x≤－2)(λ>0)，其導函數(shù)為y′＝2λ(x－a)． 由曲線段BD在圖紙上的圖象對應函數(shù)的解析式為y＝(x∈[－2，2])， 又y′＝，且B(－2，1)，所以曲線在B點處的切線斜率為， 因為點B為銜接點，則解得 所以曲線段AB在圖紙上對應函數(shù)的解析式為y＝(x＋6)2(－6≤x≤－2)． (2)設P(x，y)是曲線段AC上任意一點， ①若P在曲線段AB上，則通過該點所需要的爬坡能力 (MP)1＝(－x)

14、·(x＋6)＝－[(x＋3)2－9](－6≤x≤－2)． 令y1＝－[(x＋3)2－9](－6≤x≤－2)， 所以函數(shù)y1＝－[(x＋3)2－9](－6≤x≤－2)在區(qū)間[－6，－3]上為增函數(shù)，在區(qū)間[－3，－2]上是減函數(shù)， 所以[(MP)1]max＝(米) . ②若P在曲線段BC上，則通過該點所需要的爬坡能力 (MP)2＝(－x)·＝(－2≤x≤0)， 令t＝x2，t∈[0，4]，則(MP)2＝，t∈[0，4]． 記y2＝，t∈[0，4]， 當t＝0時，y2＝0，而當0

15、max＝1(米)， 所以由①，②可知：車輛過橋所需要的最大爬坡能力為米， 又因為0.8<<1.5<2，所以“游客踏乘”的車輛不能順利通過該橋，而“蓄電池動力”和“內(nèi)燃機動力”的車輛可以順利通過該橋． 【小結】本題考查應用問題的解法，關鍵是理解題意，找到模型． 方 法 總 結　【p36】 解函數(shù)應用問題的四步驟 (1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇函數(shù)模型； (2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的函數(shù)模型； (3)解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學結論； (4)還原：將數(shù)學結論還原為實際意義的問題． 走 進 高 考　　【p36】 1．(2017·江蘇)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________． 【解析】總費用為4x＋×6＝4≥4×2＝240，當且僅當x＝，即x＝30時等號成立． 【答案】30 - 7 -