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1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)20110311 二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)： 1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)． 2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：⑴ 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2．⑵ 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)． 二次函數(shù)的基本形式 1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：左圖畫(huà)，右圖畫(huà) 結(jié)論：a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小。 總結(jié)： 的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而

2、減??；時(shí)，有最小值． 向下 軸 時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值． 2. 的性質(zhì)：左圖畫(huà)，右圖畫(huà) 結(jié)論：上加下減。 總結(jié)： 的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值． 向下 軸 時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值． 3. 的性質(zhì)：左圖畫(huà)，右圖畫(huà) 結(jié)論：左加右減。 總結(jié)： 的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì)

3、 向上 X=h 時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值． 向下 X=h 時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值． 4. 的性質(zhì)：左圖畫(huà)，右圖畫(huà) 總結(jié)： 二次函數(shù)圖象的平移 的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 X=h 時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值． 向下 X=h 時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值． 1. 平移步驟： ⑴ 將拋物線解

4、析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； ⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”． 概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”． 三、二次函數(shù)與的比較 請(qǐng)將利用配方的形式配成頂點(diǎn)式。請(qǐng)將配成。 總結(jié)： 從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前者，即，其中． 四、二次函數(shù)圖象的畫(huà)法 五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫(huà)圖

5、.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）. 畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn). 左圖畫(huà)，右圖畫(huà) 五、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為． 當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值． 2. 當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，有最大值． 六、二次函數(shù)解析式的表示方法 1. 一般式：（，，為常數(shù)，）； 2. 頂點(diǎn)式：（

6、，，為常數(shù)，）； 3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）. 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化. 七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項(xiàng)系數(shù) 二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然． ⑴ 當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，的值越大，開(kāi)口越小，反之的值越小，開(kāi)口越大； ⑵ 當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，的值越小，開(kāi)口越小，反之的值越大，開(kāi)口越大． 總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，的正負(fù)決定開(kāi)口方向

7、，的大小決定開(kāi)口的大?。? 2. 一次項(xiàng)系數(shù) 在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱軸． ⑴ 在的前提下， 當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸在軸左側(cè)； 當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸； 當(dāng)時(shí)，，即拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè)． ⑵ 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即 當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)； 當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸； 當(dāng)時(shí)，，即拋物線對(duì)稱軸在軸的左側(cè)． 總結(jié)起來(lái)，在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱軸的位置． 總結(jié)： 3. 常數(shù)項(xiàng) ⑴ 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； ⑵ 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)

8、為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； ⑶ 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)． 總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置． 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的． 二次函數(shù)解析式的確定： 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便．一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況： 1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式； 2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點(diǎn)式； 3. 已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式； 4.

9、已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式． 二、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是． 5. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

10、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是 根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式． 二次函數(shù)與一元二次方程： 1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）： 一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況. 圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： ① 當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點(diǎn)間的距離. ② 當(dāng)時(shí)

11、，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)； ③ 當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有； 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有． 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： ⑴ 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； ⑵ 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； ⑶ 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，，的符號(hào)，或由二次函數(shù)中，，的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； ⑷ 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).