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(新課標(biāo))2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 題組層級快練63 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 文(含解析)

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1、題組層級快練(六十三) 1.若過原點的直線l與雙曲線-=1有兩個不同交點,則直線l的斜率的取值范圍是(  ) A.(-,]     B.(-,) C.[-,] D.(-∞,-]∪[,+∞) 答案 B 解析 ∵-=1,其兩條漸近線的斜率分別為k1=-,k2=,要使過原點的直線l與雙曲線有兩個不同的交點,畫圖可知,直線l的斜率的取值范圍應(yīng)是[0,)∪(-,0]. 2.已知橢圓x2+2y2=4,則以(1,1)為中點的弦的長度為(  ) A.3          B.2 C. D. 答案 C 解析 設(shè)y-1=k(x-1),∴y=kx+1-k. 代入橢圓方程,得x2+2(k

2、x+1-k)2=4. ∴(2k2+1)x2+4k(1-k)x+2(1-k)2-4=0. 由x1+x2==2,得k=-,x1x2=. ∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4-=. ∴|AB|=·=. 3.(2019·遼寧師大附中期中)過點M(-2,0)的直線m與橢圓+y2=1交于P1,P2兩點,線段P1P2的中點為P,設(shè)直線m的斜率為k1(k1≠0),直線OP的斜率為k2,則k1k2的值為(  ) A.2 B.-2 C. D.- 答案 D 解析 設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),則 兩式相減,得+(y1+y2)(y1-y2)=0.

3、 即+2y(y1-y2)=0. ∴k1=-,又∵k2=. ∴k1·k2=-. 4.(2019·衡水中學(xué)調(diào)研)過拋物線x2=4y的焦點作兩條互相垂直的弦AB,CD,則+=(  ) A.2 B.4 C. D. 答案 D 解析 根據(jù)題意,拋物線的焦點為(0,1),設(shè)直線AB的方程為y=kx+1(k≠0),直線CD的方程為y=-x+1,由得y2-(2+4k2)y+1=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得yA+yB=2+4k2,所以|AB|=y(tǒng)A+yB+2=4+4k2,同理|CD|=y(tǒng)C+yD+2=4+,所以+=+=,故選D. 5.(2019·福州外國語學(xué)校適應(yīng)性考試)已知雙曲線C:-=1(a

4、>0,b>0)的焦距為2,拋物線y=x2+與雙曲線C的漸近線相切,則雙曲線C的方程為(  ) A.-=1 B.-=1 C.x2-=1 D.-y2=1 答案 D 解析 由題意可得c=,即a2+b2=5,雙曲線的漸近線方程為y=±x.將漸近線方程和拋物線方程y=x2+聯(lián)立,可得x2±x+=0,由漸近線和拋物線相切可得Δ=-4××=0,即有a2=4b2,又a2+b2=5,解得a=2,b=1,可得雙曲線的方程為-y2=1.故選D. 6.(2019·濰坊考試)已知拋物線y2=4x與直線2x-y-3=0相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,設(shè)OA,OB的斜率分別為k1,k2,則+的值為(  )

5、 A.- B.- C. D. 答案 D 解析 設(shè)A(,y1),B(,y2),易知y1y2≠0,則k1=,k2=,所以+=,將x=代入y2=4x,得y2-2y-6=0,所以y1+y2=2,+=. 7.(2019·石家莊質(zhì)量檢測一)雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1作傾斜角為60°的直線與y軸和雙曲線的右支分別交于A,B兩點,若點A平分線段F1B,則該雙曲線的離心率是(  ) A. B.2+ C.2 D.+1 答案 B 解析 由題意可知A是F1B的中點,O是F1F2的中點(O為坐標(biāo)原點),連接BF2,則OA是△F1BF2的中位線.故

6、OA∥BF2,故F1F2⊥BF2,又∠BF1F2=60°,|F1F2|=2c,∴|BF1|=4c,|BF2|=2c,∴2a=4c-2c,∴e==2+,故選B. 8.(2019·滄州七校聯(lián)考)已知直線l1:y=kx+2(k>0)與橢圓C:+=1相切,且切點為M,F(xiàn)是橢圓C的左焦點,直線l2過點M且垂直于直線l1,交橢圓于另一點N,則△MNF的面積是(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 由可得(3+4k2)x2+16kx+4=0, 因為直線l1與橢圓C相切于點M,所以Δ=(16k)2-4(3+4k2)×4=48(4k2-1)=0, 又k>0,所以k=,M(-1,)

7、, 故l2:y=-2(x+1)+=-2x-, 代入橢圓方程得19x2+8x-11=0, 解得x1=-1,x2=,則y1=,y2=-, 設(shè)l2與x軸的交點為A,則A(-,0), 又F(-1,0),所以△MNF的面積S=|AF|·|y2-y1|=××|--|=.故選D. 9.已知橢圓+=1(a>b>0)的左焦點F(-c,0)關(guān)于直線bx+cy=0的對稱點P在橢圓上,則橢圓的離心率是(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 設(shè)焦點F(-c,0)關(guān)于直線bx+cy=0的對稱點為P(m,n), 則所以 所以m===(1-2e2)c,n===2be2. 因為點P(

8、m,n)在橢圓上,所以+=1,即(1-2e2)2e2+4e4=1,即4e6+e2-1=0,將各選項代入知e=符合,故選D. 10.(2019·福州質(zhì)檢)已知圓C:(x-5)2+(y-)2=8,拋物線E:x2=2py(p>0)上兩點A(-2,y1)與B(4,y2),若存在與直線AB平行的一條直線和C與E都相切,則E的準(zhǔn)線方程為(  ) A.x=- B.y=-1 C.y=- D.x=-1 答案 C 解析 由題意知,A(-2,),B(4,),∴kAB==,設(shè)拋物線E上的切點為(x0,y0), 由y=,得y′=,∴=,∴x0=1,∴切點為(1,), ∴切線方程為y-=(x-1),

9、即2x-2py-1=0, ∵切線2x-2py-1=0與圓C相切,∴圓心C(5,)到切線的距離為2,即=2, ∴31p2+18p-49=0,∴(p-1)(31p+49)=0,∵p>0,∴p=1. ∴拋物線x2=2y的準(zhǔn)線方程為y=-,故選C. 11.(2019·廣東七校聯(lián)考)過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,若|AF|=3,則|BF|=________. 答案  解析 ∵p=2,+=, ∴+=1,∴|BF|=. 12.(2019·武漢市武昌高三調(diào)考)過拋物線C:y2=4x的焦點F的直線l與拋物線C交于P,Q兩點,與準(zhǔn)線交于點M,且=3,則||=_______

10、_. 答案  解析 過點P作PP1垂直準(zhǔn)線于P1, 由=3,得|PM|=2|PF|. 又由拋物線的定義知|PF|=|PP1|,所以|PM|=2|PP1|. 由三角形相似,得===,所以|PP1|=,所以||=. 13.(2019·天星聯(lián)考二)已知拋物線y2=4x的焦點為F,其準(zhǔn)線與x軸交于點A,過A作直線l與拋物線交于M,N兩點,則|FM|2+|FN|2的取值范圍為________. 答案 (8,+∞) 解析 拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),其準(zhǔn)線x=-1與x軸交于A(-1,0),顯然直線l的斜率存在且不為0,設(shè)l的方程為y=k(x+1),k≠0,與y2=4x聯(lián)立并化簡整

11、理得x2+(2-)x+1=0,Δ=(2-)2-4>0,即>1,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-2,x1x2=1. 方法一:由拋物線的定義知,|FM|=x1+1,|FN|=x2+1,則|FM|2+|FN|2=(x1+1)2+(x2+1)2=(x1+x2)2-2x1x2+2(x1+x2)+2=(-2)2+2(-2)=(-1)2-1>8,即|FM|2+|FN|2的取值范圍為(8,+∞). 方法二:由兩點間的距離公式,知|FM|2+|FN|2=(x1-1)2+y12+(x2-1)2+y22=(x1-1)2+4x1+(x2-1)2+4x2=(x1+x2)2-2x1x2+2(x1

12、+x2)+2=(-2)2+2(-2)=(-1)2-1>8,即|FM|2+|FN|2的取值范圍為(8,+∞). 14.(2019·河南洛陽第一次統(tǒng)考)已知拋物線C:x2=2py(y>0),過焦點F的直線交C于A,B兩點,D是拋物線的準(zhǔn)線l與y軸的交點. (1)若AB∥l,且△ABD的面積為1,求拋物線C的方程; (2)設(shè)M為AB的中點,過M作l的垂線,垂足為N,證明:直線AN與拋物線相切. 答案 (1)x2=2y (2)略 解析 (1)∵AB∥l,∴|FD|=p,|AB|=2p. ∴S△ABD=p2=1.∴p=1. ∴拋物線C的方程為x2=2y. (2)證明:設(shè)直線AB的方程為y

13、=kx+, 聯(lián)立得x2-2kpx-p2=0.① 設(shè)方程①的兩根分別為x1,x2,則x1+x2=2kp,x1x2=-p2. 設(shè)A(x1,),B(x2,). 設(shè)M(kp,k2p+),N(kp,-). ∴kAN=====. 又∵x2=2py,∴y′=. ∴拋物線x2=2py在點A處的切線斜率k=. ∴直線AN與拋物線相切. 15.拋物線y2=4x的焦點為F,過點F的直線交拋物線于A,B兩點. (1)若=2,求直線AB的斜率; (2)設(shè)點M在線段AB上運動,原點O關(guān)于點M的對稱點為C,求四邊形OACB面積的最小值. 答案 (1)±2 (2)4 解析 (1)依題意知F(1,0)

14、,設(shè)直線AB的方程為x=my+1. 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去x,得 y2-4my-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-4.① 因為=2,所以y1=-2y2.② 聯(lián)立①和②,消去y1,y2,得m=±. 所以直線AB的斜率是±2. (2)由點C與原點O關(guān)于點M對稱,得M是線段OC的中點. 從而點O與點C到直線AB的距離相等,所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB. 因為2S△AOB=2×·|OF|·|y1-y2| ==4, 所以當(dāng)m=0時,四邊形OACB的面積最小,最小值是4. 16.(2019·河北唐山一中期

15、末)已知拋物線C:x2=2py(p>0),圓O:x2+y2=1. (1)若拋物線C的焦點F在圓上,且A為C和圓O的一個交點,求|AF|; (2)若直線l與拋物線C和圓O分別相切于點M,N,求|MN|的最小值及相應(yīng)p的值. 答案 (1)-1 (2)2  解析 (1)由題意得F(0,1),∴C:x2=4y. 解方程組得yA=-2,∴|AF|=-1. (2)設(shè)M(x0,y0),則切線l:y=(x-x0)+y0,整理得x0x-py-py0=0. 由|ON|=1,得|py0|==. ∴p=且y02-1>0. ∴|MN|2=|OM|2-1=x02+y02-1=2py0+y02-1=+y02-1=4++(y02-1)≥8,當(dāng)且僅當(dāng)y0=時等號成立. ∴|MN|的最小值為2,此時p=. 8

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