《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第9講 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習(xí) 文（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第9講 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習(xí) 文（含解析）新人教A版（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第9講　二次函數(shù)與冪函數(shù) 夯實(shí)基礎(chǔ)　【p22】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．熟練掌握二次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)及其與一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系． 2．了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖象了解它們的變化情況． 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．函數(shù)y＝－＋2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A．(1，2)B．(1，－2) C．(－1，2)D．(－1，－2) 【解析】∵y＝－＋2＝－＋2， ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－1，2)． 【答案】C 2．冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，4)，則該冪函數(shù)的解析式為(　　) A．y＝2xB．

2、y＝x2C．y＝x＋2D．y＝2x 【解析】設(shè)f(x)＝xα， ∵其圖象過(guò)點(diǎn)(2，4)，∴2α＝4，α＝2，即f(x)＝x2. 故選B. 【答案】B 3．已知函數(shù)f＝x2－2ax－3在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A.B. C.D. 【解析】函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝a，畫出草圖如圖所示． 由圖象可知，函數(shù)在[a，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，只需a≤1，從而a∈(－∞，1]．故選B.【答案】B 4．若冪函數(shù)f＝xm－1在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為________

3、． 【解析】由于函數(shù)為冪函數(shù)，故m2－m－1＝1，解得m＝2，m＝－1，當(dāng)m＝－1時(shí)，函數(shù)在為減函數(shù)，故m＝2. 【答案】2 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 　　　　　函數(shù) 特征 性質(zhì)　　　　 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 圖象 定義域 R R R __{x|x≥0}__ __{x|x≠0}__ 值域 R __{y|y≥0}__ R __{y|y≥0}__ __{y|y≠0}__ 奇偶性 __奇__ __偶__ __奇__ __非奇非偶__ __奇__ 單調(diào)性 __增__ _

4、_(－∞，0)減， (0，＋∞)增__ __增__ __增__ __(－∞，0)和 (0，＋∞)減__ 公共點(diǎn) (1，1) 　　2.二次函數(shù)解析式的三種形式 (1)一般式：f(x)＝__ax2＋bx＋c(a≠0)__； (2)頂點(diǎn)式：f(x)＝__a(x－m)2＋n(a≠0)__； (3)零點(diǎn)式：f(x)＝__a(x－x1)(x－x2)(a≠0)__． 3．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) f(x)＝ax2＋bx＋c a>0 a<0 圖象 定義域 x∈R 值域 單調(diào)性 在 上遞減， 在 上遞增 在 上遞增， 在

5、 上遞減 奇偶性 b＝0時(shí)為偶函數(shù)，b≠0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 圖象特點(diǎn) ①對(duì)稱軸：x＝－； ②頂點(diǎn)： 典例剖析　【p23】 考點(diǎn)1　冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) (1)函數(shù)y＝的圖象是(　　) 【解析】函數(shù)y＝可化為y＝x3，當(dāng)x＝時(shí)，求得y＝<，選項(xiàng)B，D不合題意，可排除選項(xiàng)B，D；當(dāng)x＝2時(shí)，求得y＝8>2，選項(xiàng)A不合題意，可排除選項(xiàng)A，故選C. 【答案】C (2)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)．若f(m)＝3，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.B．±C．±9D．9 【解析】依題意有2＝4α，得α＝，

6、所以f(x)＝x， 當(dāng)f(m)＝m＝3時(shí)，m＝9. 【答案】D (3)已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且f(a＋1)10－2a>0，解不等式得實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 【答案】D (4)設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是________． 【解析】∵y＝x(x>0)為增函數(shù)，∴a>c. ∵y＝(x∈R)為減函數(shù)，∴c>b. ∴a>c>b. 【答案】a>c>b

7、 【小結(jié)】(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式． (2)若冪函數(shù)y＝xα(α∈R)是偶函數(shù)，則α必為偶數(shù)．當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般將其先化為根式，再判斷． (3)若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α>0；若在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α<0. 考點(diǎn)2　二次函數(shù)的解析式的求法 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式． 【解析】法一(利用一般式)：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由題意得解得 ∴所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.

8、 法二(利用頂點(diǎn)式)：設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝＝. ∴m＝.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8. ∴y＝f(x)＝a＋8. ∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用零點(diǎn)式)： 由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1， 故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數(shù)有最大值ymax＝8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍)． ∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【小結(jié)】求二次函數(shù)解

9、析式的方法 考點(diǎn)3　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 已知函數(shù)f＝x2－2ax＋5. (1)若f的定義域和值域均是，求實(shí)數(shù)a的值； (2)若f在區(qū)間上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x∈，都有f≤0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【解析】(1)∵f＝x2－2ax＋5＝＋， ∴f在上單調(diào)遞減，又a>1， ∴f在上單調(diào)遞減， ∴∴∴a＝2. (2)∵f在區(qū)間上是減函數(shù)， ∴， ∴a≥2. ∴≥，f≥f， ∴x∈時(shí)，f＝f， 又∵對(duì)任意的x∈，都有f≤0， ∴f≤0，即1－2a＋5≤0，∴a≥3. 【小結(jié)】涉及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)要抓住開口、對(duì)稱軸、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)． 考點(diǎn)4　二次函數(shù)的最值求

10、法 已知函數(shù)f＝x2＋x－3. (1)當(dāng)a＝2，x∈時(shí)，求函數(shù)f的值域； (2)若函數(shù)f在[－1，3]上的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值． 【解析】(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f＝x2＋3x－3，x∈，對(duì)稱軸x＝－∈， ∴f＝f＝－，f＝f＝15， ∴函數(shù)f的值域?yàn)? (2)函數(shù)f的對(duì)稱軸為x＝－. ①當(dāng)－≤1，即a≥－時(shí)，f＝f＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，滿足題意； ②當(dāng)－>1，即a<－時(shí)，f＝f＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，滿足題意． 綜上可知a＝－或a＝－1. 【小結(jié)】二次函數(shù)最值問題的三種類型及解題思路： (1)類型：①對(duì)稱軸、區(qū)間都是給定的；②對(duì)稱

11、軸動(dòng)、區(qū)間固定；③對(duì)稱軸定、區(qū)間變動(dòng)． (2)思路：抓“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸． 考點(diǎn)5　三個(gè)二次的綜合應(yīng)用 已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且不等式f(x)<2x的解集為(－1，2)． (1)若方程f(x)＋3a＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最小值不大于－3a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【解析】∵f(x)<2x的解集為(－1，2)， ∴ax2＋(b－2)x＋c<0的解集為(－1，2)， ∴a>0，且方程ax2＋(b－2)x＋c＝0的兩根為－1和2， 即 ∴f(x)＝ax2＋(2－a)x－

12、2a(a>0)． (1)∵方程f(x)＋3a＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，即ax2＋(2－a)x＋a＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根， ∴Δ＝(2－a)2－4a2＝03a2＋4a－4＝0, ∴a＝－2(舍)或a＝， ∵a>0，∴a＝，∴f(x)＝x2＋x－. (2)f(x)＝ax2＋(2－a)x－2a ＝a＋， ∵a>0，∴f(x)的最小值為， 則≤－3a，3a2＋4a－4≤0， 解得－2≤a≤， ∵a>0，∴0

13、方面分析： ①開口方向； ②對(duì)稱軸位置； ③判別式； ④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)． 【能力提升】 已知函數(shù)f(x)＝x2－1，g(x)＝a|x－1|. (1)若當(dāng)x∈R時(shí)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)求函數(shù)h(x)＝|f(x)|＋g(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值． 【解析】(1)不等式f(x)≥g(x)對(duì)任意x∈R恒成立， 即x2－1≥a|x－1|(*)對(duì)任意x∈R恒成立． ①當(dāng)x＝1時(shí)，(*)顯然成立，此時(shí)a∈R； ②當(dāng)x≠1時(shí)，(*)可變形為a≤， 令φ(x)＝＝ 因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí)，φ(x)>2，當(dāng)x<1時(shí)，φ(x)>－2， 所以φ(x)

14、>－2，故此時(shí)a≤－2. 綜合①②，得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]． (2)h(x)＝ ①當(dāng)－≤0，即a≥0時(shí)，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(0)＝a＋1， (x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3. 此時(shí)，h(x)max＝a＋3. ②當(dāng)0<－≤1，即－2≤a<0時(shí)，(－x2－ax＋a＋1)max＝h＝＋a＋1，(x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3. 此時(shí)h(x)max＝a＋3. ③當(dāng)1<－≤2，即－4≤a<－2時(shí)，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0， (x2＋ax－a－1)max＝max{h(1)，h(2)}＝max{0，3＋a}＝

15、 此時(shí)h(x)max＝ ④當(dāng)－>2，即a<－4時(shí)，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0， (x2＋ax－a－1)max＝h(1)＝0. 此時(shí)h(x)max＝0. 綜上，h(x)max＝ 方法總結(jié)　【p24】 1．二次函數(shù)、一元二次不等式和一元二次方程是一個(gè)有機(jī)的整體，要深刻理解它們之間的關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)方程的思想、方法將它們進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，這是準(zhǔn)確迅速解決此類問題的關(guān)鍵． 2．對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在[m，n]上的最值的研究是本講內(nèi)容的重點(diǎn)，對(duì)如下結(jié)論必須熟練掌握： (1)當(dāng)x＝－∈[m，n]時(shí)，是它的一個(gè)最值，另一個(gè)最值在區(qū)間端點(diǎn)取得． (2)當(dāng)

16、x＝－[m，n]時(shí)，最大值和最小值分別在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處取得． (3)二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值問題的處理，常常要利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想． 3．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當(dāng)a＞0且Δ＜0時(shí)f(x)＞0恒成立；當(dāng)a＜0且Δ＜0時(shí)f(x)＜0恒成立． 4．二次函數(shù)問題大多通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解，同時(shí)注意分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化． 走進(jìn)高考　　【p24】 1．(2017·浙江)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m(　　) A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān) C．與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān) D．與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān) 【解析】因?yàn)樽钪翟趂(0)＝b，f(1)＝1＋a＋b，f＝b－中取，所以最值之差一定與b無(wú)關(guān)，選B. 【答案】B - 9 -