《（天津專用）2020屆高考數(shù)學一輪復習 考點規(guī)范練21 三角恒等變換（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（天津專用）2020屆高考數(shù)學一輪復習 考點規(guī)范練21 三角恒等變換（含解析）新人教A版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、考點規(guī)范練21　三角恒等變換 一、基礎鞏固 1.已知sin 2α=13,則cos2α-π4=(　　) A.-13 B.13 C.-23 D.23 2.已知2sin 2α=1+cos 2α,則tan 2α=(　　) A.43 B.-43 C.43或0 D.-43或0 3.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,則f(x)的最小正周期和一個單調遞增區(qū)間分別為(　　) A.π,[0,π] B.2π,-π4,3π4 C.π,-π8,3π8 D.2π,-π4,π4 4.(2018全國Ⅱ,理10)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是減函數(shù),則a的最大值是(　　)

2、 A.π4 B.π2 C.3π4 D.π 5.已知α為銳角,若cosα+π6=45,則sin2α+π12的值為(　　) A.17250 B.17350 C.13350 D.225 6.為了得到函數(shù)y=sin 2x+cos 2x的圖象,可以將函數(shù)y=cos 2x-sin 2x的圖象(　　) A.向右平移π4個單位長度 B.向左平移π4個單位長度 C.向右平移π2個單位長度 D.向左平移π2個單位長度 7.已知函數(shù)f(x)=cos4x-π3+2cos22x,將函數(shù)y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標不變,再將所得函數(shù)圖象向右平移π6個單位長度,得到函數(shù)y=g

3、(x)的圖象,則函數(shù)y=g(x)的一個單調遞增區(qū)間為(　　) A.-π3,π6 B.-π4,π4 C.π6,2π3 D.π4,3π4 8.已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),則A=　　　　　,b=　　　　　.? 9.設f(x)=1+cos2x2sinπ2-x+sin x+a2sinx+π4的最大值為2+3,則實數(shù)a=　　　　　.? 10.已知點π4,1在函數(shù)f(x)=2asin xcos x+cos 2x的圖象上. (1)求a的值和f(x)的最小正周期; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)內的單調遞減區(qū)間. 11.已知函數(shù)f(x)=

4、32-3sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為π4. (1)求ω的值; (2)求f(x)在區(qū)間π,3π2上的最大值和最小值. 二、能力提升 12.已知函數(shù)f(x)=cos ωx(sin ωx+3cos ωx)(ω>0),若存在實數(shù)x0,使得對任意的實數(shù)x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2 016π)成立,則ω的最小值為(　　) A.12016π B.14032π C.12016 D.14032 13.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,則cos(α-

5、β)的值等于(　　) A.-12 B.12 C.-13 D.2327 14.已知函數(shù)f(x)=2sinx+5π24cosx+5π24-2cos2x+5π24+1,則f(x)的最小正周期為　　　　　;函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為　　　　　　　　　　.? 15.(2018北京,文16)已知函數(shù)f(x)=sin2x+3sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)若f(x)在區(qū)間-π3,m上的最大值為32,求m的最小值. 三、高考預測 16.已知f(x)=1+1tanxsin2x-2sinx+π4·sinx-π4. (1)若tan α=

6、2,求f(α)的值; (2)若x∈π12,π2,求f(x)的取值范圍. 考點規(guī)范練21　三角恒等變換 1.D　解析由題意得cos2α-π4=12(cosα+sinα)2=12(1+sin2α)=23. 2.C　解析因為2sin2α=1+cos2α, 所以2sin2α=2cos2α. 所以2cosα(2sinα-cosα)=0, 解得cosα=0或tanα=12. 若cosα=0,則α=kπ+π2,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z, 所以tan2α=0. 若tanα=12,則tan2α=2tanα1-tan2α=43. 綜上所述,故選C. 3.C　解析由f(x)=si

7、n2x+sinxcosx =1-cos2x2+12sin2x =12+2222sin2x-22cos2x =12+22sin2x-π4, 則T=2π2=π. 又2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z), ∴kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z)為函數(shù)的單調遞增區(qū)間.故選C. 4.A　解析由題意知f(x)=2cosx+π4,f(x)的部分圖象如圖所示.要使f(x)在[-a,a]上是減函數(shù),則a的最大值為π4. 5.A　解析因為α為銳角,cosα+π6=45, 所以sinα+π6=35,sin2α+π6=2425, cos2α+π6=725, 所以sin2α+π1

8、2=sin2α+π6-π4 =2425×22-725×22=17250,故選A. 6.A　解析∵y=sin2x+cos2x =222sin2x+22cos2x =2cos2x-π8, y=cos2x-sin2x =222cos2x-22sin2x =2cos2x+π8 =2cos2x+π4-π8, ∴只需將函數(shù)y=cos2x-sin2x的圖象向右平移π4個單位長度可得函數(shù)y=sin2x+cos2x的圖象. 7.B　解析∵函數(shù)f(x)=cos4x-π3+2cos22x=cos4x-π3+1+cos4x=12cos4x+32sin4x+1+cos4x=32cos4x+32sin

9、4x+1=3sin4x+π3+1, ∴y=g(x)=3sin2x+1. 由2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2,k∈Z, 得kπ-π4≤x≤kπ+π4,k∈Z, 當k=0時,得-π4≤x≤π4,故選B. 8.2　1　解析因為2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2x+π4+1,所以A=2,b=1. 9.±3　解析f(x)=1+2cos2x-12cosx+sinx+a2sinx+π4 =cosx+sinx+a2sinx+π4 =2sinx+π4+a2sinx+π4 =(2+a2)sinx+π4. 依題意有2+a2=2+3,則a=±3. 10.解(1)函數(shù)

10、f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x. ∵f(x)的圖象過點π4,1, ∴1=asinπ2+cosπ2,可得a=1. ∴f(x)=sin2x+cos2x =2sin2x+π4. ∴函數(shù)的最小正周期T=2π2=π. (2)由2kπ+π2≤2x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z, 可得kπ+π8≤x≤5π8+kπ,k∈Z. ∴函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為kπ+π8,5π8+kπ,k∈Z. ∵x∈(0,π),當k=0時,可得f(x)的單調遞減區(qū)間為π8,5π8. 11.解(1)f(x)=32-3sin2ωx-sinωxcosωx =32-3·1-co

11、s2ωx2-12sin2ωx =32cos2ωx-12sin2ωx =-sin2ωx-π3. 因為f(x)的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為π4, 即T=4×π4=π, 又ω>0,所以ω=1. (2)由(1)知f(x)=-sin2x-π3. 因為π≤x≤3π2, 所以5π3≤2x-π3≤8π3, 所以-32≤sin2x-π3≤1. 因此-1≤f(x)≤32, 故f(x)在區(qū)間π,3π2上的最大值和最小值分別為32,-1. 12.C　解析由題意可得,f(x0)是函數(shù)f(x)的最小值,f(x0+2016π)是函數(shù)f(x)的最大值. 又f(x)=cosωx(sinω

12、x+3cosωx) =12sin2ωx+3·1+cos2ωx2 =sin2ωx+π3+32, 所以要使ω取最小值,只需保證在區(qū)間[x0,x0+2016π]上為一個完整的單調遞增區(qū)間即可. 故2016π=12·2πωmin,求得ωmin=12016,故ω的最小值為12016,故選C. 13.D　解析∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π). ∵cosα=13, ∴cos2α=2cos2α-1=-79, ∴sin2α=1-cos22α=429. 又α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π), ∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223, ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+

13、β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=-79×-13+429×223=2327. 14.π　kπ-π3,kπ+π6(k∈Z)　解析f(x)=2sinx+5π24cosx+5π24-2cos2x+5π24+1 =sin2x+5π12-cos2x+5π12 =2sin2x+5π12cosπ4-cos2x+5π12sinπ4 =2sin2x+5π12-π4 =2sin2x+π6. ∴f(x)的最小正周期T=2π2=π. 因此f(x)=2sin2x+π6. 當2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z), 即kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)時, ∴

14、函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是kπ-π3,kπ+π6 (k∈Z). 15.解(1)因為f(x)=1-cos2x2+32sin2x=32sin2x-12cos2x+12=sin2x-π6+12,所以f(x)的最小正周期為T=2π2=π. (2)由(1)知f(x)=sin2x-π6+12. 因為x∈-π3,m, 所以2x-π6∈-5π6,2m-π6. 要使f(x)在-π3,m上的最大值為32, 即sin2x-π6在-π3,m上的最大值為1. 所以2m-π6≥π2,即m≥π3. 所以m的最小值為π3. 16.解(1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sinx+π4·co

15、sx+π4 =1-cos2x2+12sin2x+sin2x+π2 =12+12(sin2x-cos2x)+cos2x =12(sin2x+cos2x)+12. 由tanα=2,得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45. cos2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=1-tan2α1+tan2α=-35. 所以f(α)=12(sin2α+cos2α)+12=35. (2)由(1)得f(x)=12(sin2x+cos2x)+12=22sin2x+π4+12. 由x∈π12,π2, 得2x+π4∈5π12,5π4. 所以-22≤sin2x+π4≤1, 所以0≤f(x)≤2+12, 所以f(x)的取值范圍是0,2+12. 9