《(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 考點(diǎn)集訓(xùn)(三十四)第34講 數(shù)列求和 新人教A版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 考點(diǎn)集訓(xùn)(三十四)第34講 數(shù)列求和 新人教A版(9頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點(diǎn)集訓(xùn)(三十四) 第34講 數(shù)列求和
對應(yīng)學(xué)生用書p237
A組題
1.?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)n-1·(4n-3),則它的前100項(xiàng)之和S100等于( )
A.200B.-200C.400D.-400
[解析]S100=(4×1-3)-(4×2-3)+…-(4×100-3)
=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]
=4×(-50)=-200.
[答案]B
2.?dāng)?shù)列中,a1=2,且an+an-1=+2(n≥2),則數(shù)列前2021項(xiàng)和為( )
A.B.C.D.
[解析]∵an+an-1=+2(n≥2),
∴a-a-2=n,
整理得:-
2、=n,
∴-=n++……+2,又a1=2,
∴=,
可得:==2,
則數(shù)列前2021項(xiàng)和為:
S2021=2
=2=.故選B.
[答案]B
3.已知數(shù)列{an}中,a1=2,=2,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=( )
A.3×2n-3n-3B.5×2n-3n-5
C.3×2n-5n-3D.5×2n-5n-5
[解析]因?yàn)椋?,所以an+1=2an+3,即an+1+3=2(an+3),則數(shù)列{an+3}是首項(xiàng)為a1+3=5,公比為2的等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為an+3=5×2n-1,所以an=5×2n-1-3,分組求和可得數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=5×2n-3n-5.
[
3、答案]B
4.記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=,=+2n,則S100=( )
A.2-B.2-
C.2-D.2-
[解析]根據(jù)題意,由=+2n,得-=2n,
則-=2n-1,-=2n-2,…,-=21,
將各式相加得-=21+22+…+2n-1=2n-2,
又a1=,所以an=n·,
因此S100=1×+2×+…+100×,
則S100=1×+2×+…+99×+100×,
將兩式相減得S100=+++…+-100×,
所以S100=2--100·=2-.
[答案]D
5.已知公差不為零的等差數(shù)列{an}中,a1=1,且a2,a5,a14成等比數(shù)列,{an}
4、的前n項(xiàng)和為Sn,bn=(-1)nSn.則數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n=________.
[解析]由題意,a1=1,{an}是等差數(shù)列,a2,a5,a14成等比數(shù)列,
可得:(1+d)(1+13d)=(1+4d)2,
解得:d=2,
所以an=a1+(n-1)d=2n-1,
Sn=na1+×d=n2.
由bn=(-1)nSn=(-1)n·n2,
所以{bn}的前2n項(xiàng)和T2n=(-12+22)+(-32+42)+…+[-(2n-1)2+(2n)2]=3+7+…+4n-1=n(2n+1).
[答案]n(2n+1)
6.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2-an=
5、1+(-1)n,那么S100的值為________.
[解析]當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an+2-an=0,
所以an=1;
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an+2-an=2,
所以an=n;
故an=
可是S100=50+=2600.
[答案]2600
7.已知等差數(shù)列{an}的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=(-1)n-1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
[解析] (1)因?yàn)镾1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,
S4=4a1+×2=4a1+12,
由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),
解得a1=1
6、,所以an=2n-1.
(2)bn=(-1)n-1=(-1)n-1
=(-1)n-1.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),
Tn=-+…+
-=1-=.
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=-+…-+=1+=.
所以Tn=
8.已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1·a2·a3·…·an=2bn(n∈N*),若{an}為等比數(shù)列,且a1=2,b3=3+b2.
(1)求an和bn;
(2)設(shè)cn=(n∈N*),記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn.
[解析] (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
∵數(shù)列{an}和{bn}滿足a1·a2·a3·…·an=2bn(n∈N*),a1=2,
∴a1=2b1,a1a2
7、=2b2,a1a2a3=2b3,
∴b1=1,a2=2b2-b1=2q>0,a3=2b3-b2=2q2,
又b3=3+b2,∴23=2q2,解得q=2,q=-2(舍).
∴an=2n.
∴2bn=a1·a2·a3·…·an=2×22×…×2n=2,
∴bn=.
(2)cn==-=-=-2,
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn=++…+-
2
=-2
=1--2+=--1.
B組題
1.已知函數(shù)f=n2cos,且an=f+f,則a1+a2+…+a100=( )
A.-100B.0C.100D.10200
[解析]a1=-1+22,a2=22-32,a3=-32+42,a
8、4=42-52,…,所以a1+a3+…+a99=+…+=++…+=5050,a2+a4+…+a100=+…+=-(2+3+…+100+101)=-5150,所以a1+a2+…+a100=5050-5150=-100.
[答案]A
2.已知數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,且an>0,6Sn=a+3an,n∈N*,bn=,若?n∈N*,k>Tn恒成立,則k的最小值是( )
A.B.C.49D.
[解析]當(dāng)n=1時(shí),6a1=a+3a1,
解得a1=3或a1=0.
由an>0,得a1=3.
由6Sn=a+3an,得6Sn+1=a+3an+1.
兩式相減得6an+1=
9、a-a+3an+1-3an.
所以(an+1+an)(an+1-an-3)=0.
因?yàn)閍n>0,所以an+1+an>0,an+1-an=3.
即數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,
所以an=3+3(n-1)=3n.
所以bn=
==.
所以Tn=
=<.
要使?n∈N*,k>Tn恒成立,只需k≥.故選B.
[答案]B
3.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,?n∈N*,2Sn=a+an.令bn=,設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則在T1,T2,T3,…,T100中有理數(shù)的個(gè)數(shù)為________.
[解析]∵2Sn=a+an,①
∴2Sn+1=a+an+1,②
10、
②-①,得2an+1=a+an+1-a-an,
a-a-an+1-an=0,(an+1+an)(an+1-an-1)=0.
又∵{an}為正項(xiàng)數(shù)列,∴an+1-an-1=0,
即an+1-an=1.
在2Sn=a+an中,令n=1,可得a1=1.
∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.
∴an=n,
∴bn=
=
==-,
∴Tn=1-+-+…+-+-
=1-,
要使Tn為有理數(shù),只需為有理數(shù),
令n+1=t2,∵1≤n≤100,
∴n=3,8,15,24,35,48,63,80,99,共9個(gè)數(shù).
∴T1,T2,T3,…,T100中有理數(shù)的個(gè)數(shù)為9.
11、
[答案]9
4.已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=3,若an+2+2an+1+an=0對任意n∈N*都成立,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=________.
[解析]a1=1,a2=3,an+2+2an+1+an=0對任意n∈N*都成立,
可得:an+2+an+1=-(an+1+an),a2+a1=4.
則數(shù)列{an+1+an}是等比數(shù)列,首項(xiàng)為4,公比為-1.
∴an+1+an=4×(-1)n-1.
n=2k-1時(shí),∵a2k+1+a2k=4×(-1)2k-1=-4,Sn=S2k+1-(a2k+1+a2k)=a1+(a2+a3)+…+(a2k+a2k+1)-(a2k+a2k+
12、1)=1+(-4)×=5-4k=3-2n.
n=2k時(shí),∵a2k-1+a2k=4×(-1)2k-2=4.
Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2k-1+a2k)=4k=2n,
∴Sn=
[答案]
5.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1=2,且4Sn=an·an+1,在數(shù)列{bn}中,b1=,且bn+1=,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Bn=+,cn=(n∈N*),求{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
[解析] (1)當(dāng)n=1時(shí),由題意,得a2=4.
當(dāng)n≥2時(shí),4Sn=an·an+1,4Sn-1=an-1·an,
兩式相減,得4an=an(an+
13、1-an-1).
∵an≠0,∴an+1-an-1=4,
∴{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)是分別以4為公差的等差數(shù)列.
當(dāng)n=2k-1,k∈N*時(shí),an=a2k-1=4k-2=2n;
當(dāng)n=2k,k∈N*時(shí),an=a2k=4k=2n.
∴an=2n(n∈N*).
(2)由已知得=-,
即=-,
∴-=-,
-=-,
…
-=-,∴=.
∴bn=(n≥2),n=1時(shí)也適合,
∴bn=(n∈N*),
∴Bn=+=n+1,
∴cn=.
∴Tn=++…++,①
Tn=++…++,②
①-②,得
Tn=++…+-=-
=1--=1-,
∴Tn=2-.
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