《（課標專用）天津市2020高考數(shù)學二輪復習 題型練4 大題專項（二）數(shù)列的通項、求和問題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（課標專用）天津市2020高考數(shù)學二輪復習 題型練4 大題專項（二）數(shù)列的通項、求和問題（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、題型練4　大題專項(二)　數(shù)列的通項、求和問題 　題型練第56頁　? 1.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a2=3,S4=16,數(shù)列{bn}滿足a1b1+a2b2+…+anbn=n. (1)求{bn}的通項公式; (2)求數(shù)列bn+1an的前n項和Tn. 解:(1)設首項為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn, 且a2=3,S4=16, 所以a1+d=3,4a1+4×32d=16,解得a1=1,d=2, 所以an=1+2(n-1)=2n-1. 因為a1b1+a2b2+…+anbn=n, 所以1·b1+3·b2+…+(2n-1)bn=n,① 所以當n≥2

2、時,1·b1+3·b2+…+(2n-3)bn-1=n-1,② ①-②得,(2n-1)bn=1, 所以bn=12n-1,當n=1時,b1=1(首項符合通項), 故bn=12n-1. (2)因為bn=12n-1,所以bn+1an=12n+12n-1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1, 所以Tn=121-13+13-15+…+12n-1-12n+1=121-12n+1=n2n+1. 2.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=2an2,n∈N*. (1)證明:數(shù)列{1+log2an}為等比數(shù)列; (2)設bn=n1+log2an,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

3、 (1)證明由an+1=2an2,兩邊取以2為底的對數(shù),得log2an+1=1+2log2an, 則log2an+1+1=2(log2an+1),所以{1+log2an}為等比數(shù)列,首項為2,公比為2,且log2an+1=(log2a1+1)×2n-1=2n. (2)解由(1)得bn=n2n.因為Sn為數(shù)列{bn}的前n項和, 所以Sn=12+222+…+n2n, 則12Sn=122+223+…+n2n+1. 兩式相減得12Sn=12+122+…+12n-n2n+1=1-12n-n2n+1, 所以Sn=2-n+22n. 3.已知等比數(shù)列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=2

4、8,a4+2是a3,a5的等差中項.數(shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{(bn+1-bn)an}的前n項和為2n2+n. (1)求q的值; (2)求數(shù)列{bn}的通項公式. 解:(1)由a4+2是a3,a5的等差中項,得a3+a5=2a4+4, 所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8. 由a3+a5=20,得8q+1q=20, 解得q=2或q=12,因為q>1,所以q=2. (2)設cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列{cn}前n項和為Sn, 由cn=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2,解得cn=4n-1. 由(1)可知an=2n-1, 所以bn+1-bn=(4n

5、-1)·12n-1. 故bn-bn-1=(4n-5)·12n-2,n≥2, bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1) =(4n-5)·12n-2+(4n-9)·12n-3+…+7·12+3. 設Tn=3+7·12+11·122+…+(4n-5)·12n-2,n≥2, 12Tn=3·12+7·122+…+(4n-9)·12n-2+(4n-5)·12n-1, 所以12Tn=3+4·12+4·122+…+4·12n-2-(4n-5)·12n-1, 因此Tn=14-(4n+3)·12n-2,n≥2, 又b1=1,所以bn=15-(4n+

6、3)·12n-2. 4.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公比為q的等比數(shù)列{bn}的首項是12,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40. (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式an,bn; (2)求數(shù)列1anan+1+1bnbn+1的前n項和Tn. 解:(1)設{an}公差為d,由題意得a1+2d=8,a1+2q=3,a1+d+2q=6, 解得a1=2,d=3,q=12,故an=3n-1,bn=12n. (2)∵1anan+1+1bnbn+1=131an-1an+1+1bnbn+1=131an-1an+1+22n+1, ∴Tn=13(12-15)+15-18+…+

7、13n-1-13n+2+8(1-4n)1-4=1312-13n+2+13(22n+3-8)=1322n+3-13n+2-52. 5.已知數(shù)列{an}的各項均不為零.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{an2}的前n項和為Tn,且3Sn2-4Sn+Tn=0,n∈N*. (1)求a1,a2的值; (2)證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列; (3)若(λ-nan)(λ-nan+1)<0對任意的n∈N*恒成立,求實數(shù)λ的所有值. (1)解3Sn2-4Sn+Tn=0,n∈N*,令n=1,得3a12-4a1+a12=0, 因為a1≠0,所以a1=1. 令n=2,得3(1+a2)2-4(1+a2)

8、+(1+a22)=0,即2a22+a2=0, 因為a2≠0,所以a2=-12. (2)證明因為3Sn2-4Sn+Tn=0,① 所以3Sn+12-4Sn+1+Tn+1=0,② ②-①得,3(Sn+1+Sn)an+1-4an+1+an+12=0. 因為an+1≠0,所以3(Sn+1+Sn)-4+an+1=0,③ 所以3(Sn+Sn-1)-4+an=0(n≥2),④ 當n≥2時,③-④,得3(an+1+an)+an+1-an=0, 即an+1=-12an.因為an≠0,所以an+1an=-12. 又由(1)知,a1=1,a2=-12,所以a2a1=-12, 所以數(shù)列{an}是以1

9、為首項,-12為公比的等比數(shù)列. (3)解由(2)知,an=-12n-1. 因為對任意的n∈N*,(λ-nan)(λ-nan+1)<0恒成立, 所以λ的值介于n-12n-1和n-12n之間. 因為n-12n-1·n-12n<0對任意的n∈N*恒成立, 所以λ=0適合. 若λ>0,當n為奇數(shù)時,n-12n<λ

10、,有λ≥2n≥n2n-1, 所以λ>0不符合題意. 若λ<0,當n為奇數(shù)時,n-12n<λ0,n∈N*. (1)若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設雙曲線x2-y2an2=1的離心率為en,且e2=53,證明:e1+e2+…+en>4n-3n3n-1. (1)解由已知,Sn+1=qSn

11、+1,Sn+2=qSn+1+1, 兩式相減得到an+2=qan+1,n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1, 故an+1=qan對所有n≥1都成立. 所以,數(shù)列{an}是首項為1,公比為q的等比數(shù)列. 從而an=qn-1. 由2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,可得2a3=3a2+2, 即2q2=3q+2,則(2q+1)(q-2)=0, 由已知,q>0,故q=2.所以an=2n-1(n∈N*). (2)證明由(1)可知,an=qn-1. 所以雙曲線x2-y2an2=1的離心率en=1+an2=1+q2(n-1). 由e2=1+q2=53,解得q=43. 因為1+q2(k-1)>q2(k-1),所以1+q2(k-1)>qk-1(k∈N*). 于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=qn-1q-1, 故e1+e2+…+en>4n-3n3n-1. 6