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1、壽險精算學,教材,指定教材 王曉軍，壽險精算學，中國人民大學出版社，2005。 參考資料 Kellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991. Bowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，1997.,背景知識,保險的基本概念 精算學及其應用領域 壽險精算學的基本思想 精算師 精算師職業(yè)資格考試,保險的概念,保險的概念 投保人根據合同約定，向保險人支付保險費，保險人對于合同約定的可能發(fā)生事故因其發(fā)生所造成的財產損失承擔賠償保險金責任，或者當被保險人死亡、傷殘、疾病或者達到約定年齡、期限時

2、承擔給付保險金責任的商業(yè)保險行為。 關鍵概念 保險合同 可保風險,保險合同 保險單，是投保人與保險人約定保險權利義務的協(xié)議。,保險分類,人身保險 壽險 健康險 意外險,財產保險 車險 房屋保險 火災險 信用險 知識產權保險,人身保險,人身保險是以人的生命和身體為保險標的的保險，保險事故是人的生、老、病、死、殘等。 人身保險是比人壽保險更廣的概念，但目前在保險市場上經營人身保險業(yè)務的保險公司名稱都是人壽保險公司。,保險法規(guī)定,財產保險業(yè)務，包括財產損失保險，責任保險，信用保險等保險業(yè)務 人身保險業(yè)務包括人壽保險，健康保險，意外傷害保險等業(yè)務。 同一保險人不得同時兼營財產保險業(yè)務和人身保險業(yè)務。

3、但是，經營財產保險業(yè)務的保險公司經保險監(jiān)督管理機構核定，可經營短期健康保險業(yè)務和意外傷害保險業(yè)務。,保險中為什么需要精算，精算是什么？,精算學及其應用領域,精算學概念 以概率論和數理統(tǒng)計為基礎，與經濟學、金融學及保險理論相結合的具有應用性和交叉性的學科。 應用領域 保險領域 社會保障領域 投資領域 所有與風險評估，控制相關領域,精算學是評價風險和制定經濟安全方案的方法體系。 風險：是一種不確定性，風險的發(fā)生可能造成損失，通常風險指不確定性不利的一面。（如：書中3面的例子） 保險經營的對象是風險，所以需要精算學。,保險中精算的工作,確定保險費率 計算準備金 再保險中分出量和自留量的確定 保險基金

4、的投資運營,壽險精算學基本思想,損失補償思想 不能阻止風險發(fā)生，但能將風險帶來的損失降低最小 事先防范風險 凈均衡思想 自助互助性 大數定律,保險的基本運作,以一年定期壽險為例：自保單生效之日起，如果被保險人在1年之內去世，則保險人向保單的受益人給付保單規(guī)定的保險金，否則合同在一年后自動失效。 保單組（除保單當事人以外，所有其他條件都一樣的保單構成的一個整體）：保險人簽發(fā)了10000份條件相同的保單（封閉型保單組）,保單組中條件： 保險金額100,000 被保險人投保年齡 50 保費繳納方式 躉交保費 死亡給付假設 保單年度末進行,對保單組 0時刻：保險人指定保費（毛保費，包括給 付成本，費用

5、和利潤） 投保人向保險人繳費保費 1時刻：保險人將所收到的保費中很大一部 分返回給若干出險保單 投保人中少數出險的得到索賠，賠 付額就是保險額，通常是保費的數 倍，沒出險的得不到任何賠付，推出利息 共同體。,保費=？（保險人的工作） 首先，統(tǒng)計調查，死亡概率0.0043 假設僅考慮純保費，100,000*0.0043=430 保險人：0時刻出售10,000張保單，收入 430*10000=4300，000,保險人：1時刻若預期死亡率與實際死亡率 相等，死了10,000*0.0043=43，總 賠付=100,000*43=4300,000=純保 費收入 保險公司無利潤也無損失 但實際上在0時刻，

6、未來1年內死亡人數是一個隨機變量，實際死亡人數43，則保費收入給付支出，對保險人的不利偏差，在死亡率風險上產生了一個損失。,若實際死亡人數給付支 出，保險人獲得承保利潤。 保險人的風險：索賠數超過了保險人的預期，即隨機變量的不利偏差。,投保人： 1時刻單個投保人中發(fā)生索賠和未 發(fā)生索賠的投保人之間發(fā)生了轉 移支付。 整個保單組由大數定律幾乎可以 確定收支平衡,保險的基本特性（書6面）,自助互助 保費的返還性 大數定律的保證 保險產品的保障性功能,精算師,精算師 金融、保險、投資和風險管理的工程師。 精算師的職責 保證風險經營的財務穩(wěn)健性 對風險和損失的預先評價 對風險事件做出預先的財務安排,精

7、算管理和控制系統(tǒng),精算師職業(yè)資格考試,精算師執(zhí)業(yè)資格認證 考試體系 北美、英國、日本、中國 認可標準 1998年，歐共體精算協(xié)會顧問團公布了歐洲精算培訓核心大綱，以此建立歐洲國家精算師互相資格認可 1998年國際師精算協(xié)會通過了國際精算教育指南和培訓大綱，要求至少到2005年以后正是會員的資格符合教學大綱的要求 2000年，北美精算學會，英國精算學會對各自的教育大綱進行修改，向國際精算師協(xié)會推薦的教育體系靠攏 2000年底，開始中國精算師資格考試，2004年，中國精算師分壽險和非壽險兩個方向考試。,課程結構,利息理論基礎 生命表基礎 凈保費計算 凈責任準備金計算 產品定價 責任準備金評估 案例

8、分析,第二部分 生命表函數與生命表構造,第二部分,生命表函數(3.2節(jié)),參數壽命分布,有關分數年齡的假設,多重損失模型和多損因表,生命表 理論,3.2節(jié) 生存函數,定義 意義：新生兒能活到 歲的概率。 與分布函數的關系： 與密度函數的關系： 新生兒將在x歲至z歲之間死亡的概率：,剩余壽命,定義：已經活到x歲的人（簡記(x)），還能繼續(xù)存活的時間，稱為剩余壽命，記作T(x)。 分布函數 ：,基本函數,剩余壽命的生存函數 ： 特別：,基本函數,：x歲的人至少能活到x+1歲的概率 ：x歲的人將在1年內去世的概率 ：X歲的人將在x+t歲至x+t+u歲之間去世的概率,整值剩余壽命,定義： 未來存活的完

9、整年數，簡記 概率函數,剩余壽命的期望與方差,期望剩余壽命： 剩余壽命的期望值(均值),簡記 剩余壽命的方差,整值剩余壽命的期望與方差,期望整值剩余壽命： 整值剩余壽命的期望值(均值),簡記 整值剩余壽命的方差,死亡效力,定義： 的瞬時死亡率，簡記 死亡效力與生存函數的關系,死亡效力,死亡效力與密度函數的關系 死亡效力表示剩余壽命的密度函數,有關壽命分布的參數模型,De Moivre模型(1729) Gompertze模型(1825),有關壽命分布的參數模型,Makeham模型(1860) Weibull模型(1939),參數模型的問題,至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個常用模型

10、的擬合效果不令人滿意。 使用這些參數模型推測未來的壽命狀況會產生很大的誤差 壽險中通常不使用參數模型擬合壽命分布，而是使用非參數方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。 在非壽險領域，常用參數模型擬合物體壽命的分布。,生命表起源,生命表的定義 根據已往一定時期內各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表. 生命表的發(fā)展歷史 1662年,Jone Graunt,根據倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單,寫過生命表的自然和政治觀察。這是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,根據Breslau城出生與下葬統(tǒng)計表對人類死亡程度的估計，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類

11、死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。 生命表的特點 構造原理簡單、數據準確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數方法）,3.1節(jié) 生命表的構造,原理 在大數定理的基礎上，用觀察數據計算各年齡人群的生存概率。（用頻數估計頻率） 常用符號 新生生命組個體數： 年齡： 極限年齡：,生命表的構造(3.1節(jié)),個新生生命能生存到年齡X的期望個數： 個新生生命中在年齡x與x+n之間死亡的期望個數： 特別：n=1時，記作,生命表的構造,個新生生命在年齡x至x+t區(qū)間共存活年數： 個新生生命中能活到年齡x的個體的剩余壽命總數：,例1：,已知 計算下面各值： （1） （2）20歲的人在

12、5055歲死亡的概率。 （3）該人群平均壽命。,例1答案,生命表實例（美國全體人口生命表）,3.5節(jié) 生命表的編制,生命表編制的一般方法 實際同批人生命表 假設同批人生命表 選擇終極生命表 在人口分析中，可以按性別、地區(qū)、種族等對人口進行分類，分別編制反映各類人口死亡規(guī)律的生命表。 保險精算中反映死亡規(guī)律的經驗生命表與人口生命表是不同的，因保險只提供給符合健康標準的人。,選擇-終極生命表,選擇-終極生命表構造的原因 需要構造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。 需要構造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失 選擇-終極生命表的使用,選擇-終極表

13、實例,3.3節(jié) 有關分數年齡的假設,使用背景: 生命表提供了整數年齡上的壽命分布,但有時我們需要分數年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個整數生存數據,選擇某種分數年齡的生存分布假定， 估計分數年齡的生存狀況 基本原理:插值法 常用方法 均勻分布假定(線性插值) 常數死亡力假定(幾何插值) Balducci假定(調和插值),三種假定,均勻分布假定(線性插值) 常數死亡力假定(幾何插值) Balducci假定(調和插值),三種假定下的生命表函數,例2,已知 分別在三種分數年齡假定下，計算下面各值：,例2答案,例2答案,例2答案,第二部分,生命表函數,參數壽命分布,有關分數年齡的假設,多重損失

14、模型和多減因表（第四章）,生命表 理論,使用背景,如果被保險人投保壽險且在繳費期間死亡，那就意味著他將獲得保險賠付而且不再繳納保險費了。就此人而言，保險人遭受到了損失。在前面章節(jié)中我們都是討論在以死亡為唯一損失變量時，各種保險要素的確定。 在實際中，除了死亡這個損失變量，我們可能還會遇到其它的提前終止繳費的損失變量，比如，壽險中，被保險人退保；勞動力計劃中，雇員辭職、殘疾或者退休等，都會對單一考慮死亡因素時的繳納賠付之間的平衡構成影響。多重損失模型就是在這種背景下產生的。,多損失模型的構造,兩變量模型 多種損失模型的實質就是一個兩變量模型。變量一是狀況終止的時間 ，在壽險場合它可以表示為剩余壽

15、命； 變量二是狀況終止的原因 ，這是一個離散隨機變量，比如在壽險場合，我們可以令 表示死亡， ，表示退保。,相關函數,聯(lián)合密度函數 邊際分布函數,事件的概率,多重損失函數（一）,由原因j引起且損失發(fā)生在時間t之前的概率 由原因j引起的損失發(fā)生的概率,多重損失函數（二）,的密度函數 的分布函數,多重損失函數（三）,由各種原因引起且損失發(fā)生在時間t之前的概率 損失不會發(fā)生在時間t之前的概率,多重損失函數（四）,x+t時刻由原因j造成的損失效力 x+t時刻由所有原因造成的總損失效力,多重損失函數（五）,給定損失時間t，J的條件概率函數,例3,考慮2個損失原因的多重損失模型，其損失效力分別為： 計算該

16、模型的聯(lián)合、邊際、條件概率密度函數。 計算,例3答案（一）,例3答案,例3答案,多減因隨機殘存組定義,考察一組a歲的 個生命，每一個生命的終止（損失）時間與原因的分布由下列聯(lián)合概率密度函數確定：,隨機殘存組函數,：在年齡 x與x+n之間因原因j而離開的成員的期望個數 ：在年齡 x與x+n之間因各種原因而總共離開的成員的期望個數,隨機殘存組函數,：原先 個a歲成員在x歲時的殘存數隨機變量的期望,確定性殘存組的定義,總的損失效力可以看作總的損失率，而不作為條件密度函數。則一組 個a歲成員隨著年齡的增加按決定性損失效力 演變 ，則原先 個a歲成員在x歲時的殘存數為,確定性殘存組函數,：在年齡 x與x

17、+1之間因各種原因而離開的成員數 ：現在x歲，將來因為原因j而終結的個體數,確定性殘存組函數,：因原因j而引起的損失效力 ：各種原因引起的總損失效力,絕對損失率,單重損失函數定義 稱為絕對損失率，是指原因j在 的決定過程中不與其它損失原因競爭。它也稱為凈損失率（net probabilities of decrement）或獨立損失率(independent rate of decrement)。,基本關系,常數損失效力假定,假定條件 等價推出,關系式,均勻分布假定,假定條件 等價推出,關系式,聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布 可得,利用上面的關系可以推導多減因表的減因概率與聯(lián)合單減因表的減因概率

18、的關系。（見書79面） 如果具備直接計算多減因表每個減因概率的數據資料，可以直接編制多減因表，如果直接編制所需的資料缺乏時，可以通過聯(lián)合單減因表，用上面給出的關系式求出多減因概率。,壽險精算學（三） 壽險產品介紹,內容,傳統(tǒng)個人壽險和年金產品,1,投資類保險產品,2,附加保險,3,團體保險,4,傳統(tǒng)壽險和年金產品,人身險,定期壽險,意外險,終身壽險,兩全保險,健康保險,生存年金,投資類保險產品,分紅產品,投連產品,萬能產品,常見附加險產品,團體保險概念,團體：5人以上,用一張保單 對一團體的人提供保障,同一險種,團體保險,團體保險特點,管理方式和費用不同,團險種類,第六章 凈保費,人壽保險的分

19、類,受益金額是否恒定 定額受益保險 變額受益保險 保單簽約日和保障期期始日是否同時進行 非延期保險 延期保險,保障標的不同 人壽保險（狹義） 生存保險 兩全保險 保障期是否有限 定期壽險 終身壽險,純保費厘定的基本假定,三個基本假定條件: 同性別、同年齡、同時參保的被保險人的剩余壽命是獨立同分布的。 被保險人的剩余壽命分布可以用經驗生命表進行擬合。 保險公司可以預測將來的最低平穩(wěn)收益（即預定利率）。,凈保費厘定原理,原則 保費凈均衡原則 解釋 所謂凈均衡原則，即保費收入的期望現時值正好等于將來的保險賠付金的期望現時值。它的實質是在統(tǒng)計意義上的收支平衡。是在大數場合下，收費期望現時值等于支出期望

20、現時值,基本符號, 投保年齡。 人的極限年齡 保險金給付函數。 貼現函數。 保險給付金在保單生效時的現時值,死亡即刻賠付,死亡即刻賠付的含義 死亡即刻賠付就是指如果被保險人在保障期內發(fā)生保險責任范圍內的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險賠付。它是在實際應用場合，保險公司通常采用的理賠方式。 由于死亡可能發(fā)生在被保險人投保之后的任意時刻，所以死亡即刻賠付時刻是一個連續(xù)隨機變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的剩余壽命。,死亡年末賠付,死亡即刻賠付的含義 如果被保險人在保障期內發(fā)生保險責任范圍內的死亡，保險公司將在死亡發(fā)生的當年年末給予保險賠付。,由于賠付時刻都發(fā)生在

21、事件發(fā)生的當年年末，死亡年末時刻是一個離散隨機變量，它距離保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數。所以死亡年末賠付方式是保險精算師在厘定躉交保費時通常先假定的理賠方式。,主要險種的躉繳凈保費的厘定,n年期定期壽險 終身壽險 延期m年的終身壽險 n年期生存保險 n年期兩全保險 延期m年的n年期的兩全保險 遞增終身壽險 遞減n年定期壽險,基本函數關系 記k為被保險人整值剩余壽命，則,n年期定期壽險 死亡年末賠付,符號： 厘定：,現值隨機變量的方差,公式 記 等價方差為,終身壽險 死亡年末賠付,符號： a.定義：從投保開始到

22、終身的死亡保險 b.假定：（x）的人x歲投保，一單位元死亡末賠付 c.基本函數關系：記k為被保險人的整值剩余壽命,d. 精算現值（純保費厘定） e.方差： VarZ=,f.關系式： 上式左邊：x歲的 個人投保終身壽險的躉繳凈保費 上式右邊：x歲到生命表最大年齡w-1歲上所有死亡年末1單位元賠付支出的,延期m年的n年定期壽險,a.假定：（x）的人x歲投保，從x+m年到x+m+n止，死亡賠付1單位元 b.基本函數關系：記k為被保險人的整值剩余壽命 符號：,d. 精算現值（純保費厘定） 證：,延期m年的終身壽險,a.假定：（x）的人x歲投保，從x+n年到被保險人終身止，死亡賠付1單位元 b.基本函數

23、關系：記k為被保險人的整值剩余壽命,c.符號 d.精算現值（純保費厘定） e.關系式：,n年期的兩全保險,a.定義：定期壽險+純生存保險 純生存保險：n年滿期被保險人仍然存活為給付條件的保險 現值r.v. 則兩全保險的現值r.v.,b.精算現值：,延期m年的n年期兩全保險,標準變額壽險,定義：保險契約規(guī)定的賠付額隨死亡時間的變動而不同。 賠付額： or 符號： 標準遞增的終身壽險的精算現值 標準遞增的n年定期壽險精算現值 標準遞增的n年兩全保險精算現值 標準遞減的n年定期壽險精算現值,標準遞增的終身壽險 相當于每年買一個終身壽險的精算現值,2.標準遞增的n年定期壽險 相當于每年買一個終身壽險,

24、意義：0-n年每年買一個終身壽險的精算現值-n個在第n年買的終身壽險的精算現值,3 標準遞增的n年兩全保險 4標準遞減的n年定期壽險,一般變額壽險(終身壽險) 現金隨機變量: 精算現值:,死亡年末給付躉繳純保費公式歸納,常用計算基數,計算基數引進的目的：簡化計算 常用基數：,用計算基數表示常見險種的躉繳純保費,例: (x):35歲，保險金額5000元，25年定期壽險，求保單的躉繳純保費，i=6%。,例：（x）:35歲，買離散型保額5000元的30年兩全保險，求該保單的躉繳純保費，i=6%。,例（x）：30歲，買離散型的遞增30年定期保險，保險利益為：第1年內死亡，給付1000元，第二年內死亡，

25、給付1100元，第三年內死亡，給付1200，.在第30個保單 年度內死亡，給付3900元，求躉繳保費。,例（x）：30歲，買離散型的遞減20年定期保險，保險利益為：第1年內死亡，給付5000元，第二年內死亡，給付4900元，第三年內死亡，給付4800，.在第20個保單 年度內死亡，給付3100元，求躉繳保費。,例6.1 某人在40歲時投保了3年期10000元定期壽險，保險金在死亡年末賠付，根據中國人壽保險業(yè)生命表（1990-1993）（男女混合）和利率5%計算躉繳凈保費。,例6.2 某人在40歲時買了保險額為20000元的終身壽險，假設他的生存函數可以表示為 死亡賠付在死亡年末，i=10%，求

26、這一保單的精算現值。,1、n年定期壽險,定義 保險人只對被保險人在投保后的n年內發(fā)生的保險責任范圍內的死亡給付保險金的險種，又稱為n年死亡保險。 假定： 歲的人，保額1元n年定期壽險 基本函數關系,6.1.2節(jié) 死亡時刻賠付,符號： 厘定：,方差公式 記 （相當于利息力翻倍以后求n年期壽險的躉繳保費） 所以方差等價為,終身壽險,符號：,兩全保險,符號： 精算現值：,如何利用生命表計算死亡時刻的壽險現值？以終身壽險為例,死亡時刻賠付躉繳凈保費的厘定,死亡均勻分布假設下,分析： 有何解釋？,假設死亡發(fā)生在每個年齡的中間 平均來說這種賠付比在年末賠付早半年，,則在復利假設下,復利： 類似的在單利假設

27、下,對定期壽險和兩全保險也有類似的近似計算：,例6.3:某人在30歲時投保了50000元30年兩全保險,預定利率為6%,根據中國人壽保險業(yè)經驗生命表(1990-1993)求躉繳凈保費.,例6.4:在例6.3中,如果契約規(guī)定在投保前10年死亡賠付50000元,后20年死亡賠付30000元,滿期存活給付20000元,求躉繳凈保費,4變額年金 （1）死亡時賠付的標準遞增變額年金 ：t時刻的賠付額 ：死亡時賠付的終身遞增壽險精算現值,（2）賠付額連續(xù)遞增死亡時賠付,5 賠付發(fā)生在單位時間的等分點處（以終身壽險為例） ：把死亡發(fā)生年劃分成m個相等的部分，死亡給付在死亡發(fā)生的那部分期末進行的終身壽險精算現

28、值。 現值隨機變量： ，其中 為（x）在死亡年所活過的分數年部分，K為整值余壽,另外,例：（死亡時賠付的延遲終身壽險）保險金額為1單位的延期5年的終身壽險，(x)歲的人的死亡力 ，利息力 ，Z為現值隨機變量，求,練習：1 （x）:40歲的人，投保標準連續(xù)型的遞減的10年定期保險；i=6%，保險利益如下圖，求死力均勻分布下的躉交純保費。,例：(x)的未來壽命T=T(x)的密度函數 利息力為 ，給付1個單位保額的終身壽險的現值變量為Z，計算（1）躉交純保費 （2）Z的方差 （3）求 的分位數,躉繳純保費遞推公式,公式一： 證明：,理解(x)的單位金額終身壽險在第一年末的價值等于(x)在第一年死亡的

29、情況下1單位的賠付額,或生存滿一年的情況下凈躉繳保費 。,躉繳純保費遞推公式,公式二： 解釋： 直觀意義： 可以分解為在x+1歲上為x歲上投保的人準備 的現值和為在xx+1歲上死亡的被保險人準備另外的 現值之和。,躉繳純保費遞推公式,公式三： 解釋： 個x歲的被保險人所繳的躉繳保費之和經過一年的積累，當年年末可為所有的被保險人提供次年的凈躉繳保費 ，還可以為所有在當年去世的被保險人提供額外的 。,躉繳純保費遞推公式,公式四： 解釋 (y)的躉繳純保費等于其未來所有年份的保險成本的現時值之和。,躉繳純保費遞推公式,公式五：連續(xù)型終身壽險躉交純保費的微分方程,證明： 其中 ， 而 隨機變量T(x)

30、在 條件下的條件密度函數為：,則 故,上式中令 綜上,第6.2節(jié) 生存年金的精算現值,生存年金的定義： 以被保險人存活為條件，間隔相等的時期（年、半年、季、月）支付一次保險金的保險類型 分類 初付年金/延付年金 連續(xù)年金/離散年金 定期年金/終身年金 非延期年金/延期年金,生存年金與確定性年金的關系,確定性年金 支付期數確定的年金（利息理論中所講的年金） 生存年金與確定性年金的聯(lián)系 都是間隔一段時間支付一次的系列付款 生存年金與確定性年金的區(qū)別 確定性年金的支付期數確定 生存年金的支付期數不確定（以被保險人生存為條件）,生存年金的用途,被保險人保費交付常使用生存年金的方式 某些場合保險人保險理

31、賠的保險金采用生存年金的方式，特別在： 養(yǎng)老保險 傷殘保險 撫恤保險 失業(yè)保險,6.2.1節(jié) 純粹的生存保險,定義：現齡x歲的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末獲得生存賠付的保險。 也就是我們在第三章講到的n年期純生存保險。單位元數的n年期生存保險的躉繳純保費為 在生存年金研究中習慣用 表示該保險的精算現值,1 經濟解釋： 該式說明為了保證n年末每個存活的人能得到1元，在x歲投保時必須每人繳費 。,例如：（x）:20歲，存活到60歲將得到1000元，i=6% 可理解為 ,每人繳 ，年后形成資金 ，在歲之間死的106321人在滿期時沒有支付，死者的繳付費用由生存者分享，這種情況稱為生存者利益

32、，或生者利。,：利率和生存者利益下n年的積累系數 其中 是利息積累因子， 是生存積累因子。,3 證明： 表明(x)的n年折現系數可以分為先折現到x+t歲再折現到x歲兩步完成。,4 證明：從上式直接得到 表明：在利率和生存者利下，先從x+t折現到x歲再累積到x+n歲，等于x+t歲直接累積到x+n歲。,6.2.2節(jié) 生存年金的精算現值,現時值支付法計算步驟 Step1:求出時刻t時給付年金的數額 Step2:確定時刻t 給付數額的精算現值 Step3：對給付年金的精算現值按所有可能的給付時間進行相加或積分,總額支付法計算步驟 Step1:求出從開始支付至死亡或停止支付這段時間t內所有年金給付額的現

33、值，這一現值只與利率有關 Step2:將求出的現值乘以相應的死亡概率或概率密度 Step3：對第二部得到的結果按所有可能的死亡時間t進行相加或積分,終身生存年金,a.定義：支付期沒有限制，只要被保險人存活，每隔一定時期發(fā)生一次支付。 b.符號： -(x)的每年1單位元首付終身生存年金 -(x)的每年1單位元末付終身生存年金,c.精算現值： 可證明,d.類似地期末付終身生存年金的精算現值,定期生存年金,e 與 的關系： 證明： 表明：年齡為(x)的生存者在利率為i下只要繳納1元即可享受期初付d元的終身生存年金，一旦死亡還可在死亡的年度末獲得1元的死亡收益金。,定期生存年金,符號 -(x)的每年1

34、單位元n年定期期首付生存年金的精算現值。 符號 -(x)的每年1單位元n年定期期末付生存年金的精算現值。,期首付現值隨機變量 期首付精算現值 類似地,與 的關系：,延期生存年金 定義：n年延期生存年金是從計算時點起延遲n年開始收付的生存年金。 -(x)的n年延期每年1單位元首付終身生存年金的精算現值 -(x)的n年延期每年1單位元末付終身生存年金,精算現值 關系式,類似的有,延期定期生存年金,-(x)的n年延期m年定期每年1單位元首付生存年金的精算現值，是從x+n到x+n+m的生存年金。 -(x)的n年延期m年定期每年1單位元末付生存年金,現值隨機變量 精算現值,常見險種的生存年金現值總結,常

35、見險種的生存年金現值總結,等額年金計算基數公式,例6.6（116面）對于(30)的從60歲起每年6000元的生存年金，預定利率為6%，根據中國人壽保險業(yè)經驗生命表（1990-1993）求保單的躉交凈保費,例6.7（116面）假設30歲開始購買從60歲起的生存年金保險，契約規(guī)定，在被保險人6069歲時每年的給付額為6000元，7079歲時每年的給付額為7000元，80歲以后每年給付額為8000元，在預定利率為6%下，根據中國人壽保險業(yè)經驗生命表（1990-1993）求保單的躉交凈保費,例6.8（117面）某30歲的人投保養(yǎng)老年金保險，保險契約規(guī)定，如果被保險人存活到60歲，則確定給付10年年金；

36、若被保險人在6069歲間死亡，有其知指定的收益人繼續(xù)領取，直到領滿10年為止；如果被保險人在70歲仍然存活，則從70歲起一生存為條件得到年金。如果年金每年支付一次，一次支付6000元，預定利率為6%，根據中國人壽保險業(yè)經驗生命表（1990-1993）求保單的躉交凈保費,例6.9（117面）某人在30歲時購買了從60歲起每年給付10000元的生存年金，以后每年給付額以4%的比例增長，在利率4%時，根據中國人壽保險業(yè)經驗生命表（1990-1993）求保單的躉交凈保費,練習,已知 假定91歲存活給付5，92歲存活給付10，求：該生存年金在90歲的凈保費,解：,連續(xù)生存年金,定義：以生存為條件的連續(xù)支

37、付年金。 實際中得年金都是離散年金，當支付間隔足夠短時，可以用連續(xù)年金近似。,終身生存年金,符號： 現值隨機變量,c.精算現值,d.關系式 (i) (ii) 證明：,（iii）,定期生存年金,a.符號： b現值隨機變量 c.精算現值,延期生存年金,a.符號： b現值隨機變量,c.精算現值 d.關系式,延期定期生存年金,a.符號： b現值隨機變量,c.精算現值 d.關系式,例：設死亡力 ，利息力 ，求（1）終身生存年金的精算現值 ，（2）終身生存年金現值 的標準差，（3）,年付次生存年金的精算現值,1符號 ：（x）的每年給付1元，一年給付m此的期首付終身生存年金 2.現值,3.計算 無法從生命表

38、直接獲得，只能做近似計算。,在死亡均勻分布假設下 則 令 則,很小時,同理可推導如下關系式 (x)的n年延期每年單位元，1年m次收付的期首期末付終身生存年金 (x)的n年定期1年m次收付的期首期末付生存年金,例6.10.(30)買得從60歲起每年6000元的生存年金，每月支付一次，求躉交凈保費的近似值。（在死亡力均勻分布假設）,例：（x）：30歲，60歲起每月支付500元的生存年金，在60前死亡，在死亡末給付1000元，求躉交 凈保費。,練習：(x):45歲，每月領取800元的期初付25年定期生存年金的精算現值（i=6%）在死亡均勻分布條件下的近似值。 練習：i=6%,在死亡均勻分布假設條件下

39、，計算60歲起退休者每月領取1000元的期初終身生存年金的精算現值。,變額生存年金,一般變額生存年金 ：(x)的n年定期生存年金。 若一年給付m次，期首付 若一年給付m次，期末付,等差遞增生存年金 終身首付標準遞增年金 終身末付標準遞增年金 期首付n年定期標準遞增年金 期末付n年定期標準遞增年金,等差遞減生存年金,期首付n年定期標準遞減年金 期末付n年定期標準遞減年金,比例變額生存年金,定義：首付額等比例遞增，如某些給付確定型養(yǎng)老金計劃和社會養(yǎng)老保險，期給付額在一個基礎水平上按一個規(guī)定的比例增長，這個規(guī)定的比例有時是價格指數或社會平均工資增長指數。,(x)的n年定期期首付生存年金,生存年金的遞

40、推公式,上式簡單變形可得到：,6.3 均衡凈保費,純保費計算的歷史發(fā)展 自然保費：根據被保險人的出險概率和保險金額計算保費 均衡純保費：把自然保費在長期內均衡，平均化，在保費繳付期內每隔一定時期繳付相等 數額的保險費,凈均衡計算原理 平衡原理：以預定年利率和預定死亡率為基礎，根據未來給付保險金額，使得未來給付保險金額現值的期望值等于繳納保費的精算現值。 由該原理，均衡保費的交付以被保險人存活為條件，實際上是個生存年金，設保險金的現值為A，每次凈保費為P，每次一單位元的純生存年金為 ，則,幾類壽險的年繳保費,終身壽險的年繳凈保費 (x)的死亡年末賠付1單位元的終身壽險，保費每年1次終身繳付，年繳

41、付額記為,(x)的死亡時刻賠付1單位元的終身壽險，保費每年1次終身繳付，年繳付額記為,(x)的死亡年末賠付1單位元的終身壽險，保費每年1次n年繳清，年繳付額記為,(x)的死亡時刻賠付1單位元的終身壽險，保費每年1次n年繳清，年繳付額記為,定期壽險年繳凈保費 (x)的死亡年末賠付1單位元的n年定期壽險，保費每年1次t年繳清,年繳付額記為,(x)的死亡時刻賠付1單位元的n年定期壽險，保費每年1次t年繳清,年繳付額記為,兩全保險年繳凈保費 (x)的死亡年末賠付1單位元的n年兩全保險，保費每年1次t年繳清,年繳付額記為,(x)的死亡時刻賠付1單位元的n年兩全保險，保費每年1次t年繳清,年繳付額記為,延

42、期年金年繳凈保費 （x）的n年延期期首付生存年金，保費每年1次t年繳清,年繳付額記為,例1：設 ，其中 ，求,例：（x）:30歲簽發(fā)了一份死亡年末賠付終身壽險，保險金額為20000元，求： （1）普通終身壽險的年繳純保費 （2）20年限期繳費終身壽險的年繳純保費 （3）65歲繳清終身壽險的年繳純保費,練習：設年齡為25歲的人，買15年定期壽險，保險金額為1000元，求年繳純保費。 練習：（x）:25歲，購買保險金額為1000元的半連續(xù)式壽險保單，i=6%，計算（1）普通終身壽險，（2）35歲定期壽險，（3）35年兩全保險，（4）35年限期繳費終身壽險。,例6.13 證明 證： 經濟含義：(x)

43、歲時的1元等于從x歲開始每年初的終身生存年金，也等于(x)存活年每年初1元預付利息d和(x)死亡年年末的1元給付現值之和。（x）死亡年末的1元給付又等于每年初 的生存年金，這樣，在每年初的 等于每年初的 。,（2） 代入(1)即得。 經濟含義：假設一個x歲的人借了躉交凈保費 購買1元終身壽險，若在他的有生之年每年初還 ，在死亡年末從1元保險金中歸還 ，則正好還清 。這相當于對(x)每年繳 的保費獲得在死亡年末的 的保險金，因此1元保險金的每年保費為 即,常見險種的完全離散凈均衡保費總結,完全連續(xù)年繳凈均衡保費的厘定 （以終身人壽保險為例）,條件：（x）死亡即刻給付1單位的終身人壽保險，被保險人

44、從保單生效起按年連續(xù)交付保費。（給付連續(xù)，繳費也連續(xù)） 厘定過程：,常見險種的完全連續(xù)凈均衡保費總結,6.3.5節(jié) 一年多次繳費的凈保費,符號 一年m次繳費各類壽險年繳凈保費 見表6-1（130面），將前面各種一年1次繳費壽險的年繳凈保費公式中的 改為,延期生存年金的均衡保費 年金支付在期首的終身生存年金，延期n年，年金現值 支付方式：n年繳清，每年m次（繳費不延期） 則,年金支付在期末的終身生存年金，延期n年，年金現值 支付方式：n年繳清，每年m次（繳費不延期） 則,的分析 一年分m次繳費，平均繳費時間晚于年初繳費，使保險人得到保費利息減少；一年分m次繳費，被保險人死后一年內其他時間不再繳費

45、，平均來說少于年初繳付方式下的保費，綜上為得到相同的保險金額，應有,例：(50)買了一份保險金額為10000元的20年普通兩全壽險的保單，每年真是繳付保費兩次，i=6%, 在死亡均勻分布假設下計算全離散和半連續(xù)方式下的年繳純保費。,例2.（40）簽發(fā)一張保險金額為5000元的全離散式25年的定期壽險，在死亡均勻分布假設下計算（1）普通年繳純保費；（2）季繳純保費; (3)月繳純保費,例3. (20)歲的人，購買保險金額為50000元的保單，i=6%，在死亡均勻分布假設下計算（1）全離散式普通終身壽險，（2）半連續(xù)式65歲繳清的終身壽險，（3）全離散式65歲滿清的普通兩全保險的月繳純保費,6.3

46、.6節(jié) 比例凈保費,定義：對一定時期繳付一次保費的期繳保費保單，投保人會認為期初的繳費應該為接下來的一期提供擔保，如果在期初繳費后不久被保險人出險，保險人不僅應按保險合同實施賠付，還應該按比例退還從出險到下次預計繳費期間的保費部分。實踐中有的保單規(guī)定在保險賠付時退還從死亡到下次預計繳費期間的凈保費。,如一年 兩次保費的比例凈保費,符號：（以終身壽險為例） （x）的比例保費方式的終身繳付的1元死亡年末賠付終身壽險的保費 ：年繳保費，每次繳付,比例保費的估計 保費的退還是在死亡年末，一年分為了m個等份，在1個小等份內，用X表示某個等分區(qū)間內的死亡時間，它在 上均勻分布，在一個小區(qū)間的左端點交了保費

47、 ，則在死亡年末應退還 的保費。則死亡年末退還的平均保費為：,則死亡賠付同時退還 的現值為 退還發(fā)生在年末，同死亡賠付一起進行，就相當于賠付額為 的終身壽險。,比例期初年金：是在被保險人死亡時退還從死亡到下次預計年金收付期間的部分收付的年金 上式左邊是每年支付m次，一年支付總額為1單位元期首付n年定期年金現值，右邊是n年連續(xù)支付年支付額為,記 ：（x）的每年1單位元，1年支付m次的期首付m次的期首付比例年金現值,例：求,比例保費的計算 ：死亡時賠付的n年定期兩全保險，保費在h年內定期比例繳費,6.3.7節(jié) 退還保費保單的凈保費,在保險實踐中，有些保單規(guī)定在被保險人死亡時退還過去已繳凈保費的累積

48、，這種退還還通常有兩種不同的規(guī)定，一種是不計利息退還過去已繳凈保費的累積，一種是以規(guī)定的利息累積退還過去已繳凈保費部分。,例6.15（135面）對(x)的n年定期壽險，如果被保險人在保險期內死亡，除了賠付10000元外，還退還過去已繳凈保費的累積。假設保險賠付發(fā)生在死亡年年末，保費每年繳費一次，n年付清，計算下面情況下的年繳均衡凈保費。 （1）退還的保費部分不計利息 （2）退還的保費部分以不同于保單預定利率i的利率j復利累積 （3）退還的保費部分以保單定價預定利率復利累積。,例6.16 對(x)的從x+n歲起每年1單位元生存年金，保險費在n年內每年繳付一次，如果被保險人在n年內死亡，則退還過去

49、已繳凈保費的累積，計算年繳凈保費。,毛保費構成,凈保費,保險費用,保險費用簡介,保險費用的定義 保險公司支出的除了保險責任范圍內的保險金給付外，其它的維持保險公司正常運作的所有費用支出統(tǒng)稱為經營費用。這些費用必須由保費和投資收益來彌補。 保險費用的范圍： 稅金、許可證、保險產品生產費用、保單銷售服務費用、合同成立后的維持費、投資費用等,保險機構費用開支的一種分類方案,毛保費,毛保費的定義 保險公司實際收取的保費為用于保險金給付的純保費和用語各種經營費用開支的附加費用之和，即毛保費，簡記為G。 毛保費的厘定原則 基本原則：精算等價原則 毛保費精算現值=純保費精算現值+附加費用精算現值 =各種給付

50、的精算現值+各種費用支出的 精算現值,注意事項,在確定附加費用時，一般只考慮保險費用，而以投資費用沖銷投資收益，體現在保費計算中則適當降低預定收益率，即預定利率。 附加費用中要考慮通貨膨脹或通貨緊縮的趨勢。,例2,（30）購買了保險金額為2萬元的半連續(xù)型終身壽險保單，按下表所列各項費用，根據精算等價原理計算年繳純保費和年繳毛保費。（i=6%） 已知,未來保險費用的分配,答案,保單費用,定義：有一部分附加費用只與保單數目有關，與保險金額或保險費無關，這部分費用稱為保單費用，如準備新保單、建立會計記錄、郵寄保費通知的費用等。 保險實務一般規(guī)定： 壽險費率一般是指每千元保額的保費。,毛保費分析,毛保

51、費可分為三部分： 第一部分：跟保險金額有關的費用，如承保費用等 第二部分：跟保費數額有關的費用。如代理人傭金、保險費稅金等 第三部分：只與保單數目有關的費用（保單費用）。如準備新保單、建立會計記錄、郵寄保費通知單等。,毛保費構成公式,解釋,G(b)：保險金額為b元的毛保費 a：保險成本中與保險金額相關的部分，其中純保費是它的主要部分 c：每份保單分攤的費用，即單位保單費用。 f：與毛保費數額相關的費用在毛保費中所占比例。,費率函數,費率函數的定義 ：,第七章 責任準備金,責任準備金產生的原因,0,t,未來 責任,未來 收入,w,未來 責任,未來 收入,差值,責任準備金,責任準備金產生原因,凈保

52、費厘定原則：凈均衡原則，保證了以保單發(fā)行日為參照點保險公司的未來保費收入現時值和未來保險賠付的現時值相等。 但除了保單發(fā)行日以外，以保障期內任意某個時刻為參照點，未來收支的現時值都有可能不平衡。,壽險業(yè)務的長期性和不確定性要求保險公司為未來的給付責任積累起足夠的資產，所以壽險負債評估是精算部最重要的工作之一。其中責任準備金的評估是該項工作的核心 責任準備金的作用包括 保障保單所有人的合理利益 保證壽險公司的償付能力 保證合理的釋放壽險業(yè)務的利潤,責任準備金的作用（1）,責任準備金是壽險公司最為重要的負債，一般占所有負債的80到90，和總資產的比例也可能超過80。 債權給出了債權人對債務人的資產

53、的索取權，具體到壽險公司，可以這么說：壽險公司管理和積累起來的資產是一塊蛋糕，而某個時刻的責任準備金說明的是在這個時刻有效保單應該分到的蛋糕大小。 對個別保單來說，就是評估的責任準備金，如果用保單組的概念來描述，就是保單組的責任準備金總和。,責任準備金的作用（2）,評估責任準備金的主要目的是保證保單所有人的利益，監(jiān)管機構原則上應該代表保單所有人的利益，所以會要求保險公司持有和責任準備金相當的資產以保證償付能力。 責任準備金是在清算假設下進行的評估，要理解這句話，可以考慮下述問題：如果在這個時刻保險公司破產，那么有效保單應該得到多少利益？這個問題沒有唯一正確的答案，責任準備金給出的是比較合理的答

54、案。,對責任準備金評估工作的監(jiān)管,責任準備金的過去法計算公式可以對此作出合理解釋，從公式可以看到，責任準備金的評估結果依賴于所使用的評估方法和評估假設 監(jiān)管最嚴格的國家，監(jiān)管機構會規(guī)定適用的準備金評估方法和評估假設并要求保險公司遵照執(zhí)行 在監(jiān)管較松的國家，會規(guī)定確定評估假設的程序和方法，允許精算師在一定范圍內選擇他自己認為合適的評估假設。,凈責任準備金的定義,定義： 保險公司在任意時刻對每個仍在保障范圍內的被保險人的未盡責任現時值，就稱為凈責任準備金。 或者說是每個現存被保險人將來的受益現值，所以也稱為受益責任準備金。 實質 責任準備金是現存被保險人未來受益與未來繳費現時值之差,例1,設保險公

55、司發(fā)行某保單，被保險人的整值剩余壽命K的概率函數為 該保單在被保險人死亡年末給付1，年利率6%。根據凈均衡保費原則確定： （1）在躉繳保費場合，確定在各年期末責任準備金。 （2）在凈均衡保費場合，確定在各年期末責任準備金。,例1答案,躉繳保費場合 期繳保費場合,凈責任準備金的確定,1 未來法：從未來看，責任準備金是未來的凈責任=未來給付現金未來凈保費現值 2 過去法：從過去看，過去凈保費收入大于賠付支出的部分=過去的凈保費收入-過去給付的保險金終值,責任準備金的其它確定方法： 保費差公式（premium-difference formula），責任準備金等于剩余繳費期內保費差的精算現值。 繳清

56、保險公式（paid-up insurance formula）：責任準備金等于部分受益的精算現值。,7.2.1將來法,前瞻虧損的期望即該時刻的凈責任準備金 現值隨機變量： =時刻t未來給付現值變量未來凈保費現值變量,終身壽險給付準備金：,設(x+k)的整值余壽為J，J的概率密度為， 若保費是每年一次終身繳付，則,責任準備金 將 代入得,將 代入得 將 代入得,終身壽險，死亡年末給付1單位元，保險費在h年內繳付,終身壽險，死亡年末給付1單位元，保險費一年繳付m次，終身繳付,終身壽險，死亡年末給付1單位元，保險費一年繳付m次, h年限期繳費,終身壽險，死亡時賠付，每年一次的終身繳費,終身壽險，死亡

57、時賠付，保費每年一次，h年限期繳清,定期壽險,兩全保險,延期年金給付準備金,保費在延期的時間內交完，如養(yǎng)老保險。,例7.1（146面）某人在20歲時投保了50000元40年兩全保險，保險費在40年內均衡繳付，預定利率為6%，根據中國人壽保險業(yè)經驗生命表（1990-1993）的資料，求投保第10年末的責任準備金。,7.2.2 過去法,過去凈保費終值-過去賠付金終值。以終身壽險為例 1 對(x)的1單位元死亡年末賠付終身壽險，賠付方式為每年一次，終身繳付。 第k年末的過去凈保費終值為 第k年末的過去的賠付金在投保時的終值為 則第k年末的給付準備金為,2. (x)的死亡年末賠付1單位的終身壽險，繳費

58、改為h年內定期繳付 當 時，在這些時間點上不再有保費收入，則保費累積值為,當 時有保費收入，又有保險金支出，計算公式同終身繳付的相同 類似可得其他情形下過去法給付準備金的計算公式,n年繳付的n年兩全保險,k=n時沒有保費收入，而在k=n時總有1元的保險賠付 注：,(x)的1單位元n年延期生存年金,保險費在n年內定期繳付，繳費時期與年金生效時期不一致,實際中根據具體問題進行選擇，已交清保費最好用將來法，還未開始繳付的時期用過去法。,例7.2 某人30歲投保了從60歲起每月1000元的生存年金，保費從投保起在30年內每月繳付一次，預定利率6%，根據中國人壽保險也經驗生命表（1990-1993），按

59、過去法計算在投保第10年末和第40年末的責任準備金。,7.4節(jié) 會計年度末給付準備金,一相關定義 保險年度：是從保險契約成立日為起點的年度，即從契約成立日到下年同一日為一年。 會計年度：又稱業(yè)務年度，等同于日歷年度，會計年度末的給付準備金是保險公司在年度決算日的累積給付準備金，它可以由保險年度末給付準備金推算出來。 保單在某保單年度的期末責任準備金：該保單年度終了時，次年度保費尚未交付時的準備金。 保單在某保單年度的期初責任準備金：該保單年度開始時，本保單年度的保險費已繳付的責任準備金。,二會計年度準本金的計算,經過一系列公式變形可得到會計年度末給付準本金的計算公式,7.5節(jié) 修正的凈保費給付

60、準備金的一般方法,均衡保費每次繳付的保費相同，但保險公司的利潤，費用支出，補償保險給付的資金數量上與金額到達率在時間上不一致。均衡凈保費給付準備金是在不考慮費用支出和費用結果的情況下對準備金的估計，所以保險公司會從每一期保費中提取一部分作為準備金留下的保費用于費用支出以及利潤。,問題：費用支出不是均均勻的，保單第一年需要大量的費用，遠遠超過了均衡凈保費的基礎上附加保費部分,解決方案：費用支出占用一部分凈保費，少提給付準備金，再從以后各年收取的營業(yè)費用中逐年歸還，以補足第一年應提取的準備金數額，見圖,修正責任準備金原理階梯保費值,原始等額凈保費,修正后階梯保費,修正前等額保費：P,P,，P,修正

61、后階梯保費：， P,由均衡凈保費的價值等于調整后的實際凈保費的價值（收支平衡原理）：,由調整后的凈保費，采用與均衡凈保費給付準備金相同的計算方法，計算修正的給付準備。 由將來法，對m年兩全保險，繳費期為n年，凈保費調整期為k年，t年末的修正給付準備金如下：,tk時進入了費調整期，t年末的給付準備金就是均衡凈保費的給付準備金。,完全初年修正責任準備金,Full preliminary term(FTP) 條件：第一年的修正凈保費為第一年的死亡受益現值 則有,美國保險監(jiān)督官標準,產生背景：FPT適用于低費率保單，如果是高費率保單，第一年沖銷的費用就過多了。 美國保險監(jiān)督官標準： 如果是低保費保單：

62、 采用FPT調節(jié) 如果是高保費保單： ，則,加拿大修正制,條件： ，其中 為第一年費用按均衡保費衡量的額外補貼，有 其中： a150凈均衡保費 b新契約費 c仍然提供的管理費用及保單持有人分紅時在第二年及以后年中可收回費用的精算現值。,現金價值,現金價值（Cash Value）的概念 現金價值的作用 退保 分紅 貸款,資產負債理論,什么是資產負債匹配 資產主導資產負債管理 負債主導資產負債管理,資產份額的原理,期交保費和躉交保費產品在各個保單年度中的保險基金的變化過程 年初 交納保費、扣除費用 年中 保險人投資保險基金以獲利 年末 退保保單支付退保金、死亡保單支付保險金、滿期則支付滿期給付 如

63、此周而復始，直至所有保單失效,資產份額原理（圖示）,保費,資產份額假設,影響資產份額的因素包括 死亡率 退保率 費用 投資收益率,資產份額的數據來源,死亡率生命表 退保率行業(yè)數據或公司經驗數據 費用公司的營業(yè)預算或經驗數據 投資收益率投資部門的研究結果,資產份額公式（團體型）,團體型公式更易于理解,，,，,利源分析的公式,通過比較差異和合并同類項，得到利差分解公式,利源分析的四差,死差損益 因為經驗死亡率不同于假設死亡率而造成的利潤差異；增加利潤稱為死差益，否則稱為死差損 費差損益 因為經驗費用率不同于假設費用率造成的利潤差異；增加利潤稱為費差益，否則稱為費差損 利差損益 因為經驗投資收益率不同于假設收益率造成的利潤差異；增加利潤稱為利差益，否則稱為利差損 退保差損失,利源分析的公式（6）,(1)中計算的是因為投資收益率的差異產生的利潤差異，簡稱利差損益；如果這項小于0，則認為出現利差損，反之出現利差益； (2)中計算的是因為費用的差異，同樣有費差損和費差益； (3)中計算的是因為退保率差異造成的利潤差異，一般稱為退保損益； (4)中計算的是因為死亡率差異造成的利潤差異，同樣會出現死差損和死差益。,多重生命函數的定義及作用,多元生命函數的定義：涉及多個生命剩余壽命的函數。 作用 養(yǎng)老金給付場合 合伙人聯(lián)保場合 遺產稅計算場合,連生狀