《（新課改地區(qū)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)及其應(yīng)用 2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí) 新人教B版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課改地區(qū)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)及其應(yīng)用 2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí) 新人教B版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用 核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析 考點(diǎn)一　利用圖象刻畫實(shí)際問題? 1.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖 根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是 (　　) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份 D.各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn) 【解析】選A.由題圖可知,2014年8月到9月的月接待游客量在減少,則A選項錯誤,故選A. 2.如圖所示,一直角墻角,兩邊

2、的長度足夠長,在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是a(m)(08時,由于函數(shù)在[a,12]上為減函數(shù), 所以當(dāng)x=a時,矩形面積取最大值Smax=f(a)=a(16-a). 3.某地一年的氣溫

3、Q(t)(單位:℃)與時間t(月份)之間的關(guān)系如圖所示,已知該年的平均氣溫為10℃,令C(t)表示時間段[0,t]的平均氣溫,下列四個函數(shù)圖象中,最能表示C(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系的是 (　　) 【解析】選A.若增加的數(shù)大于當(dāng)前的平均數(shù),則平均數(shù)增大;若增加的數(shù)小于當(dāng)前的平均數(shù),則平均數(shù)減小.因為12個月的平均氣溫為10℃,所以當(dāng)t=12時,平均氣溫應(yīng)該為10℃,故排除B;因為在靠近12月份時其溫度小于10℃,因此12月份前的一小段時間內(nèi)的平均氣溫應(yīng)該大于10℃,排除C;6月份以后增加的溫度先大于平均值后小于平均值,故平均氣溫不可能出現(xiàn)先減小后增加的情況,故排除D. 4.(2020

4、·廣州模擬)某罐頭加工廠庫存芒果m(kg),今年又購進(jìn)n(kg)新芒果后,欲將芒果總量的三分之一用于加工芒果罐頭.被加工為罐頭的新芒果最多為f1(kg),最少為f2(kg),則下列選項中最能準(zhǔn)確描述f1,f2分別與n的關(guān)系的是 (　　) 【解析】選A.要使得被加工為罐頭的新芒果最少,盡量使用庫存芒果,即當(dāng)≤m,n≤2m時,f2=0,當(dāng)n>2m時,f2=-m=>0,對照圖象舍去C,D; 要使得被加工為罐頭的新芒果最多,則盡量使用新芒果,即當(dāng)≤n,n≥時f1=,當(dāng)>n,n<時f1=n,因為<2m,所以A符合題意. 　判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法 (1)構(gòu)建函數(shù)模型法:

5、當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時,先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖象. (2)驗證法:根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn),結(jié)合圖象的變化趨勢,驗證是否吻合,從中排除不符合實(shí)際的情況,選擇出符合實(shí)際情況的答案. 考點(diǎn)二　已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題? 【典例】1.某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系是y=3 000 +20x-0.1x2(0

6、系f(x)= 已知某家庭2016年前三個月的煤氣費(fèi)如表: 月份 用氣量 煤氣費(fèi) 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14元 三月份 35 m3 19元 若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣,則其煤氣費(fèi)為 (　　) A.11.5元 B.11元 C.10.5元 D.10元 3.某農(nóng)場種植一種農(nóng)作物,為了解該農(nóng)作物的產(chǎn)量情況,現(xiàn)將近四年的年產(chǎn)量f(x)(單位:萬斤)與年份x(記2015年為第1年)之間的關(guān)系統(tǒng)計如下: x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.62 7.00 8.86 則f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一:①

7、f(x)=ax+b;②f(x)=2x+a; ③f(x)=x2+b.則你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型的序號是________.? 【解題導(dǎo)思】 序號 聯(lián)想解題 1 由銷售收入不小于總成本,想到銷售收入≥總成本 2 由f(x)的解析式考慮用待定系數(shù)法求A,B,C的值 3 由三個模擬函數(shù)選擇,想到逐個驗證求解 【解析】1.選C.設(shè)利潤為f(x)萬元,則f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x- 3 000(0

8、,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f(x)= 所以f(20)=4+(20-5)=11.5. 3.若模型為②,則f(1)=2+a=4,解得a=2,于是f(x)=2x+2,此時f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,與表格中的數(shù)據(jù)相差太大,不符合;若模型為③,則f(1)=1+b=4,解得b=3,于是f(x)=x2+3,f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19,此時,與表格中的數(shù)據(jù)相差太大,不符合; 若模型為①,則根據(jù)表中數(shù)據(jù)得 解得a=,b=,經(jīng)檢驗是最適合的函數(shù)模型. 答案:① 　求解已知函數(shù)模型解決

9、實(shí)際問題的關(guān)鍵 (1)認(rèn)清所給函數(shù)模型,弄清哪些量為待定系數(shù). (2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定系數(shù). (3)利用該函數(shù)模型,借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題,并進(jìn)行檢驗. 1.(2020·中山模擬)據(jù)統(tǒng)計,一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位:min)為f(x)=(A,c為常數(shù)).已知某工人組裝第4件產(chǎn)品用時30 min,組裝第A件產(chǎn)品用時15 min,那么c和A的值分別是 (　　) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 【解析】選D.由題意可知4

10、何時刻A,B兩種菌的個數(shù)乘積均為定值1010,為了簡單起見,科學(xué)家用PA=lg nA來記錄A菌個數(shù)的資料,其中nA為A菌的個數(shù),現(xiàn)有以下幾種說法: ①PA≥1;②若今天的PA值比昨天的PA值增加1,則今天的A菌個數(shù)比昨天的A菌個數(shù)多10;③假設(shè)科學(xué)家將B菌的個數(shù)控制為5萬,則此時5

11、0.3,所以50)的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型,“對勾”函數(shù)模型的單調(diào)區(qū)間及最值如下 (1)該

12、函數(shù)在(-∞,-]和[,+∞)上單調(diào)遞增,在[-,0)和(0,]上單調(diào)遞減. (2)當(dāng)x>0時,x=時取最小值2, 當(dāng)x<0時,x=-時取最大值-2. 初等函數(shù)模型及其應(yīng)用 【典例】(2019·馬鞍山模擬)某高校為提升科研能力,計劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入.若該高校2018年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1 300萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長12%,則該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開始超過2 000萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) (　　) A.2020年 B.2021年 C.2022年 D.2023年

13、 【解析】選C.若2019年是第1年,則第n年全年投入的科研經(jīng)費(fèi)為1 300×1.12n萬元,由1 300×1.12n>2 000,可得lg 1.3+nlg 1.12>lg 2,所以n×0.05>0.19,得n>3.8,即n≥4,所以第4年,即2022年全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開始超過2 000萬元,故選C. 每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長12%,說明每年經(jīng)費(fèi)是上一年的多少倍? 提示:說明每年經(jīng)費(fèi)是上一年的1.12倍. 對勾函數(shù)模型及其應(yīng)用 【典例】為了降低能源損耗,某體育館的外墻需要建造隔熱層,體育館要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)

14、用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=(0≤x≤10,k為常數(shù)),若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬元,設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和. (1)求k的值及f(x)的表達(dá)式. (2)隔熱層修建多厚時,總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小?并求最小值. 【解析】(1)當(dāng)x=0時,C=8, 所以k=40, 所以C(x)=(0≤x≤10), 所以f(x)=6x+=6x+(0≤x≤10). (2)由(1)得f(x)=2(3x+5)+-10. 令3x+5=t,t∈[5,35], 則y=2t+-10≥2-10=70(當(dāng)且僅當(dāng)2t=,即t=20時等號成立

15、),此時x=5, 因此f(x)的最小值為70. 所以隔熱層修建5 cm厚時,總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,最小值為70萬元. 對勾函數(shù)求最值應(yīng)注意什么? 提示:對勾函數(shù)求最值一定要注意該函數(shù)的單調(diào)性,然后再求最值. 分段函數(shù)模型及其應(yīng)用 【典例】(2020·銀川模擬)大氣溫度y(℃)隨著距離地面的高度x(km)的增加而降低,當(dāng)在高度不低于11 km的高空時氣溫幾乎不變.設(shè)地面氣溫為22℃,大約每上升1 km大氣溫度降低6℃,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________. ? 【解析】由題意知,y是關(guān)于x的分段函數(shù),x=11為分界點(diǎn),易得其解析式為y= 答案:y= 實(shí)際問題中分段

16、函數(shù)的適用條件是什么? 提示:實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出,而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成,如出租車計價與路程之間的關(guān)系,應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解. 1.要制作一個容積為16 m3,高為1 m的無蓋長方體容器,已知該容器的底面造價是每平方米20元,側(cè)面造價是每平方米10元,則該容器的最低總造價是________元.? 【解析】設(shè)長方體容器底面矩形的長、寬分別為x m,y m,則y=, 所以容器的總造價為z=2(x+y)×1×10+20xy=20+20×16, 由基本不等式得, z=20+20×16 ≥40+320=480, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4,即底面是邊長

17、為4 m的正方形時,總造價最低. 答案:480 2.(2019·北京高考)李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進(jìn)行促銷:一次購買水果的總價達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%. ①當(dāng)x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付________元;? ②在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為________.? 【解析】①價格為60+80=140元,達(dá)到120元,少付1

18、0元,所以需支付130元. ②設(shè)促銷前總價為a元,a≥120, 李明得到金額l(x)=(a-x)×80%≥0.7a,0≤x≤120,即x≤恒成立, 又最小值為=15,所以x最大值為15. 答案:①130　②15 1.(2019·深圳模擬)某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業(yè)額相等,甲食堂的營業(yè)額逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的營業(yè)額也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知本年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等,則本年5月份 (　　) A.甲食堂的營業(yè)額較高 B.乙食堂的營業(yè)額較高 C.甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同 D.不能確定甲、乙哪個食堂的營業(yè)額較高 【解析】選A.設(shè)甲、乙

19、兩食堂1月份的營業(yè)額均為m,甲食堂的營業(yè)額每月增加a(a>0),乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x,由題意可得,m+8a=m×(1+x)8,則5月份甲食堂的營業(yè)額y1=m+4a,乙食堂的營業(yè)額y2=m×(1+x)4=,因為-=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故本年5月份甲食堂的營業(yè)額較高. 2.一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元,此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元,年產(chǎn)量為x(x∈N*)件.當(dāng)x≤20時,年銷售總收入為(33x-x2)萬元;當(dāng)x>20時,年銷售總收入為260萬元.記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為________,該工廠的年產(chǎn)量為________件時,所得年利潤最大(年利潤=年銷售總收入-年總投資).? 【解析】年銷售總收入減去年總投資即可得到年利潤,年總投資為(x+100)萬元,故函數(shù)關(guān)系式為 y= 當(dāng)020時,y<140. 故年產(chǎn)量為16件時,年利潤最大. 答案:y=　16 10