2、 C＝sin2A，則△ABC的形狀是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 【解析】因?yàn)閟in Bsin C＝sin2A，所以＝， 也就是a2＝bc，所以b2＋c2＝2bc， 從而b＝c，故a＝b＝c，△ABC為等邊三角形． 故選C. 【答案】C 3．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，則a＝__________． 【解析】因b

3、C＝，則sin B＝____________． 【解析】解法一：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得c2＝1＋4－2×1×2×＝4，∴c＝2， 故△ABC為等腰三角形． 如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作BC的高線AE， 在Rt△ABE中，AE＝＝＝， ∴sin B＝＝＝. 解法二：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得 c2＝1＋4－2×1×2×＝4，∴c＝2. ∵cos C＝，∴sin C＝＝. 又由正弦定理＝得sin B＝＝sin C＝. 【答案】 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．判斷三角形的形狀特征 必須從研究三角形的邊與邊的關(guān)系或角的關(guān)系入手，充分利用正、余弦定理進(jìn)

4、行轉(zhuǎn)化，即化邊為角或化角為邊，邊角統(tǒng)一． ①等腰三角形：a＝b或A＝B. ②直角三角形：b2＋c2＝a2或A＝90°. ③鈍角三角形：a2＞b2＋c2或A＞90°. ④銳角三角形：若a為最大邊，則滿(mǎn)足a2＜b2＋c2(A為最大角，則A＜90°)． 2．在△ABC中常用的一些基本關(guān)系式 ①A＋B＋C＝π； ②＝－； ③sin(B＋C)＝sin A， cos(B＋C)＝－cos A， tan(B＋C)＝－tan A； ④sin ＝cos ，cos ＝sin ； ⑤tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C； ⑥三角形中等邊對(duì)等角，大邊對(duì)大角，反

5、之亦然；三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊． ⑦△ABC為正三角形的充要條件是A，B，C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列． 典 例 剖 析　【p62】 考點(diǎn)1　三角形形狀的判定 (1)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c.若a2＋b2－c2<0，則三角形ABC是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形【解析】由余弦定理得cos C＝<0，∴角C為鈍角，即三角形ABC為鈍角三角形，故選D. 【答案】D (2)在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)s

6、in C，試判斷△ABC的形狀． 【解析】(a2＋b2)(sin Acos B－cos Asin B)＝(a2－b2)(sin Acos B＋cos Asin B)， sin Acos B(a2＋b2－a2＋b2)＝cos Asin B(a2－b2＋a2＋b2)， sin Acos B·b2＝cos Asin B·a2， sin Acos B·＝cos Asin B·， ∴sin Asin B·(sin Bcos B－sin Acos A)＝0， sin 2A＝sin 2B， ∴A＝B或2A＋2B＝180°， 故三角形為等腰三角形或直角三角形． 【小結(jié)】(1)判斷三角形形狀的

7、方法： ①化邊：通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀． ②化角：通過(guò)三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論． (2)判斷三角形的形狀的基本思想是：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一．即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用恒等變換得出內(nèi)角的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用角的化簡(jiǎn)變形得出三邊的關(guān)系． 考點(diǎn)2　三角形中的求值問(wèn)題 在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin A＋sin B＝2sin C，a＝2b. (1)證明：△ABC是鈍角三角形； (2)若S△ABC＝，求c的值．

8、 【解析】(1)因?yàn)閟in A＋sin B＝2sin C，由正弦定理得a＋b＝2c， 又a＝2b，可得b＝c，a＝c， 所以cos A＝＝＝－<0， 所以A為鈍角，故△ABC為鈍角三角形． (2)由cos A＝－，得sin A＝， 所以S△ABC＝bcsin A＝×c2×＝，解得c＝4. 【小結(jié)】(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解題時(shí)要根據(jù)具體題目合理運(yùn)用，有時(shí)需要交替使用； (2)在三角形中求角，往往選擇先求該角的余弦值，然后利用余弦函數(shù)在(0，π)上的單調(diào)性求角； (3)正、余弦定理能實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，在解題時(shí)一定要重視． 考點(diǎn)3　有關(guān)三角形中的最值(或范圍)問(wèn)題

9、 如圖，扇形AOB中，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)P引平行于OB的直線與OA交于點(diǎn)C，設(shè)∠AOP＝θ，求△POC面積的最大值及此時(shí)θ的值．【解析】因?yàn)镃P∥OB，所以∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∠OCP＝120°. 在△POC中，由正弦定理得＝， ∴＝ 所以CP＝sin θ. 又＝，∴OC＝sin(60°－θ)． 因此△POC的面積為 S(θ)＝CP·OCsin 120° ＝·sin θ·sin(60°－θ)× ＝sin θsin(60°－θ)＝sin θ ＝，θ∈(0°，60°)． 所以當(dāng)θ＝30°時(shí)，S(θ)取得最大值為. 【能

10、力提升】 已知函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋c(ω>0，ω∈R，c是實(shí)數(shù)常數(shù))的圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)是，與該最高點(diǎn)最近的一個(gè)最低點(diǎn)是. (1)求函數(shù)f(x)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間； (2)在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且·＝－ac，角A的取值范圍是區(qū)間M，當(dāng)x∈M時(shí)，試求函數(shù)f(x)的取值范圍． 【解析】(1)∵f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋c， ∴f(x)＝2sin＋c. ∵和分別是函數(shù)圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)， ∴解得 ∴f(x)＝2sin－1. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

11、 ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. (2)∵在△ABC中，·＝－ac， ∴accos(π－B)＝－ac，cos B＝，0

12、角函數(shù)求值及三角恒等式證明等．以正弦、余弦定理為知識(shí)框架，以三角形為主要依托，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題考查應(yīng)用．要注意根據(jù)條件的特點(diǎn)靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理．一般考慮兩個(gè)方向進(jìn)行變形，一個(gè)方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正弦定理、余弦定理結(jié)合使用；另一個(gè)方向是角，走三角變形之路，主要是利用正弦定理． 走 進(jìn) 高 考　　【p63】 1．(2018·天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知bsin A＝acos. (1)求角B的大小； (2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． 【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B， 又由bsin A＝acos， 得asin B＝acos，即sin B＝cos， 可得tan B＝. 又因?yàn)锽∈(0，π)，可得B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝. 由bsin A＝acos，可得sin A＝. 因?yàn)閍