《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復(fù)數(shù) 第27講 平面向量的概念及線性運算練習(xí) 文（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復(fù)數(shù) 第27講 平面向量的概念及線性運算練習(xí) 文（含解析）新人教A版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第27講　平面向量的概念及線性運算 夯實基礎(chǔ)　【p63】 【學(xué)習(xí)目標】 1．理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念． 2．理解向量的加法和減法及幾何意義． 3．掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件． 【基礎(chǔ)檢測】 1．已知兩點A(4，1)，B(7，－3)，則與向量同向的單位向量是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．± B. C. D. 【解析】因為A、B兩點的坐標為A(4，1)，B(7，－3)， 所以＝(3，－4)， 所以||＝5， 所以與向量同向的單位向量為. 故選C. 【答案】C 2．如圖，在△ABC中，B

2、E是邊AC的中線，O是BE邊的中點，若＝a，＝b，則＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 【解析】由題意，在△ABC中，BE是邊AC上的中線，所以＝， 又因為O為BE的中點， 所以＝(＋)＝＋＝a＋b，故選B. 【答案】B 3．下列命題中： ①a∥b?存在唯一的實數(shù)λ∈R，使得b＝λa； ②若e為單位向量，且a∥e，則a＝±|a|·e； ③|a·a·a|＝|a|3； ④若a與b共線，b與c共線，則a與c共線； ⑤若a·b＝b·c且b≠0，則a＝c. 其中正確命題的序號是(　　) A．①⑤ B．②③ C．②③④ D．①④⑤ 【解析

3、】對于①，根據(jù)共線向量的定理可知，當a≠0時此命題才正確，所以此命題錯誤；對于②，根據(jù)共線向量和單位向量的定義可知，兩向量共線方向相反或相同，所以此命題正確；對于③，根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)a·a＝a2＝|a|2知道此命題正確；對于④，向量的平行不具有傳遞性，當b≠0時才滿足傳遞性，所以此命題錯誤；對于⑤，由已知得(a－c)·b＝0且b≠0，則a與c相等或不相等，因為當(a－c)⊥b也正確，所以此命題錯誤，所以選B. 【答案】B 4．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________． 【解析】由已知得a＋λb＝－k(b－3a)， ∴解得 【答案】－

4、 【知識要點】 1．向量的有關(guān)概念 (1)向量：__既有大小又有方向的量__叫向量．一般用a，b，c，…來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母來表示，如：.向量的大小，即向量的長度(或稱模)，記作||. (2)零向量：__長度為零__的向量，記作0，其方向是任意的．我們規(guī)定：零向量和任何向量平行． (3)單位向量：__長度等于1個__單位長度的向量．與非零向量a同向的單位向量為，與a反向的單位向量為－. (4)相等向量：長度相等且__方向相同__的向量．相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為a＝b. (5)平行向量：方向__相同或相反__的非零向量，叫作共線向量，因此任何平行向量經(jīng)

5、過平移后，總可以移到同一條直線上． 2．向量的加、減運算． (1)向量加、減法的定義． 求兩個向量和的運算叫作向量的加法； 若__b＋x＝a__，則向量x叫作a與b的差． (2)向量加、減法的幾何意義． ①向量加法的幾何意義 向量的加法符合平行四邊形法則和__三角形法則__． 如圖所示的向量＝a＋b. ②向量減法的幾何意義 向量的減法符合__三角形法則__．如圖所示的向量＝a－b(以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點的向量)． ③常用結(jié)論 M為△AOB邊AB的中點，則＝(＋)． (3)①線段中點的向量表示：若M是線段AB的中點，O是平面內(nèi)任一點，則＝

6、. ②向量加法的多邊形法則：有限個向量a1，a2，…，an相加，可以從點O出發(fā)，逐一作向量＝a1，＝a2，…，An－1An＝an，則向量是這些向量的和，即 a1＋a2＋…＋an＝＋＋…＋An－1An＝(向量加法的多邊形法則)． 當An和O重合時(即上述折線OA1A2…An成封閉折線時)，和向量為零向量． 3．向量的數(shù)乘運算 (1)數(shù)乘向量的定義 實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：|λa|＝|λ||a|； 當λ>0時，λa與a的__方向相同__； 當λ<0時，λa與a的方向相反； 當λ＝0時，λa＝0； 當a＝0時，__λa＝0__． (2)數(shù)

7、乘向量的幾何意義 數(shù)乘向量的幾何意義就是把向量a沿a的方向或a的反方向伸長或縮短． (3)數(shù)乘向量的運算律 設(shè)λ、μ為實數(shù)，則 (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(μ a)＝(λμ)a； λ(a＋b)＝λa＋λb. (4)共線向量(平行向量基本定理) 若a＝λb，則a∥b；反之，若a∥b(b≠0)，則一定存在一個實數(shù)λ，使a＝λb. 4．向量的有關(guān)概念 名稱 定義 備注 向量 既有__大小__又有方向的量；向量的大小叫作向量的__長度__(或稱__模__) 平面向量是自由向量 零向量 長度為__0__的向量；其方向是任意的 記作0 單位 向量 長度等于_

8、_1個單位__的向量 非零向量a的單位向量為± 平行 向量 方向__相同__或__相反__的非零向量 共線 向量 __方向相同或相反__的非零向量又叫作共線向量 0與任一向量平行或共線 相等 向量 長度__相等__且方向__相同__的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反 向量 長度__相等__且方向__相反__的向量 0的相反向量為0 5.向量的線性運算 向量 運算 定義 法則(或幾 何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 __三角形__法則 __平行四邊形__ 法則 (1)交換律a＋b＝__b

9、＋a__． (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__． 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫作a與b的差 __三角形__法則 a－b＝a＋(－b) 典 例 剖 析　【p65】 考點1　向量概念及其幾何意義 給出下列命題： ①已知λ，μ∈R，則(λ＋μ)a與a共線； ②若向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反； ③若向量與是共線向量，則A，B，C，D必在同一直線上； ④四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是＝； ⑤已知O是平面內(nèi)一定點，A，B，C是平面內(nèi)不共線的三個點，動點P滿足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心．

10、 其中正確的命題是________(填命題的序號)． 【解析】①由實數(shù)與向量的積，可知其正確． ②若其中一個是零向量，則其方向不確定，故不正確． ③∥，AB和CD可以共線，也可以平行，故不正確． ④若四邊形ABCD是平行四邊形，則AB綊DC，所以＝；若四邊形ABCD中，＝，則AB綊CD，所以四邊形ABCD是平行四邊形，故正確． ⑤與分別表示與方向的單位向量，設(shè)它們分別為與，設(shè)以它們?yōu)閮蓷l鄰邊的平行四邊形是一個菱形AB′P′C′，平分∠BAC，＝λ(＋)與的方向相同，也平分∠BAC.由＝＋知P的軌跡為∠BAC的平分線，一定通過△ABC的內(nèi)心，故正確． 【答案】①④⑤ 【小結(jié)】向量

11、的基本概念、幾何意義常在客觀題中出現(xiàn)，要求學(xué)生概念清晰，并能靈活運用． 考點2　平面向量的線性運算 (1)如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則＋＝(　　) A. B. C. D. 【解析】設(shè)a＝＋，以O(shè)P、OQ為鄰邊作平行四邊形，則夾在OP、OQ之間的對角線對應(yīng)的向量即為向量a＝＋，由a和長度相等，方向相同， ∴a＝，故選C. 【答案】C (2)在△ABC中，已知D是AB邊上的一點，若＝2，＝＋λ，則λ等于(　　) A. B. C．－ D．－ 【解析】∵＝2，即－＝2(－)，∴＝＋，∴λ＝. 【答案】A (3)在△ABC中，D，E分別

12、為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示，. 【解析】＝(＋)＝a＋b. ＝＋＝＋＝＋(＋) ＝＋(－)＝＋＝a＋b. 【小結(jié)】平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略： (1)向量加法或減法的幾何意義．向量加法和減法均適合三角形法則． (2)求已知向量的和．一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則． (3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運算將向量表示出來，進行比較求參數(shù)的值． 考點3　向量共線的判定與應(yīng)用 設(shè)a、b是不共線的兩個非零向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋

13、b，＝a－3b，求證：A、B、C三點共線； (2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實數(shù)k的值． 【解析】(1)∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， ＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2， ∴與共線，且有公共端點B. ∴A、B、C三點共線． (2)∵8a＋kb與ka＋2b共線， ∴存在實數(shù)λ，使得 (8a＋kb)＝λ(ka＋2b)?(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0. ∵a與b不共線， ∴?8＝2λ2?λ＝±2. ∴k＝2λ＝±4. 【小結(jié)】(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系．當兩向量共線且有公共點時

14、，才能得出三點共線． (2)向量a、b共線是指存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當且僅當λ1＝λ2＝0時成立，則向量a、b不共線． 【能力提升】 設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2.已知平面上的點C，D調(diào)和分割點A，B，則下面的說法中正確的是(　　) A．C可能是線段AB的中點 B．D可能是線段AB的中點 C．C，D可能同時在線段AB上 D．C，D不可能同時在線段AB的延長線上 【解析】依題意，若C，D調(diào)和分割點A，B，則有＝λ，＝μ，

15、且＋＝2. 若C是線段AB的中點，則有＝，此時λ＝.又＋＝2，所以＝0，不可能成立．因此A不對，同理B不對． 當C，D同時在線段AB上時，由＝λ，＝μ知0<λ<1，0<μ<1，此時＋>2，與已知條件＋＝2矛盾，因此C不對． 若C，D同時在線段AB的延長線上，則＝λ時，λ>1，＝μ時，μ>1，此時＋<2，與已知條件＋＝2矛盾，故C，D不可能同時在線段AB的延長線上． 【答案】D 【小結(jié)】本小題考查了對向量共線的理解及應(yīng)用、利用所學(xué)知識分析解決問題的能力以及推理論證能力，求解時應(yīng)明確，若點C在線段AB上，則當＝λ時，0<λ<1，而當點C在線段AB的延長線上時，若＝λ，則有λ>1，求解本題

16、時還要注意不等式性質(zhì)及反證法思想的應(yīng)用，本題難度適中． 方 法 總 結(jié)　【p66】 1．向量的線性運算要滿足三角形法則和平行四邊形法則，做題時，要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素．向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點重合”． 2．證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線． 3．對于三點共線有以下結(jié)論：對于平面上的任一點O，，不共線，滿足＝x＋y(x，y∈R)，則P，A，B共線?x＋y＝1. 走 進 高 考　　【p66】 1．(2018·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 【解析】由題意可得＝＋＝－(＋)＋＝－. 【答案】A - 8 -