2、
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
4.若a1,00,由零點存在性定理可知f(x)在區(qū)間(-1,0)上存在零點.
2.選D.令f(x)=0得x=ln x.作出函數(shù)y=
3、x和y=ln x的圖象,如圖,
顯然y=f(x)在內(nèi)無零點,在(1,e)內(nèi)有零點.
3.選B.因為函數(shù)y=x2與y=的圖象交點為(x0,y0),則x0是方程x2=的解,也是函數(shù)f(x)=x2-的零點.
因為函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(2)=22-1=3>0,f(1)=1-2=-1<0,所以f(1)·f(2)<0.由零點存在性定理可知,方程的解在(1,2)內(nèi).
4.選A.因為a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函數(shù)零點存在性定理可知:在區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi)分別存在零點,又函
4、數(shù)f(x)是二次函數(shù),最多有兩個零點;因此函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi).
確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法
(1)利用函數(shù)零點存在性定理.
(2)數(shù)形結(jié)合法.
【秒殺絕招】 用特殊值法可解T2.
考點二 確定函數(shù)零點的個數(shù)?
【典例】1.函數(shù)f(x)=|x-2|-ln x零點的個數(shù)為 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.(2019·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零點個數(shù)為
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.已知函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)x∈[-1
5、,1]時,f(x)=2|x|-1,則函數(shù)F(x)=f(x)-|lg x|的零點個數(shù)是 ( )
A.9 B.10 C.11 D.18
【解題導(dǎo)思】
序號
聯(lián)想解題
1
由f(x)=|x-2|-ln x的零點,想到|x-2|=ln x.
2
由f(x)=2sin x-sin 2x,想到化簡,令f(x)=0求sin x與cos x的值.
3
由F(x)=f(x)-|lg x|的零點個數(shù),想到f(x)=|lg x|.
【解析】1.選C.作出函數(shù)y=|x-2|與g(x)=ln x的圖象,如圖所示.由圖象可知兩個函數(shù)的圖象有兩個交點,即函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有2個零點.
6、
2.選B.令f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,
則sin x=0或cos x=1,又x∈[0,2π],所以x=0,π,2π,共三個零點.
3.選B.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)與y=|lg x|的大致圖象如圖,由圖象可知,它們共有10個不同的交點,因此函數(shù)F(x)=f(x)-|lg x|的零點個數(shù)是10.
函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法
(1)直接求零點.
(2)利用零點存在性定理再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定零點個數(shù).
(3)利用函數(shù)圖象的交點個數(shù)判斷.
1.函數(shù)f(x)=3x+x3-
7、2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】選B.由題意知f(x)單調(diào)遞增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=3+1-2=2>0,即f(0)·f(1)<0且函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)連續(xù)不斷,所以f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個零點.
2.已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)y=f(x)+3x的零點個數(shù)是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】選C.令f(x)+3x=0,則或解得x=0或x=-1,所以函數(shù)y=f(x)+3x的零點個數(shù)是2.
3.已知f(x)=則函數(shù)y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零點個數(shù)
8、是________.?
【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,作出函數(shù)y=f(x)的圖象.
由圖象知y=與y=f(x)的圖象有2個交點,y=1與y=f(x)的圖象有3個交點.
因此函數(shù)y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零點有5個.
答案:5
考點三 函數(shù)零點的應(yīng)用?
命
題
精
解
讀
考什么:(1)由函數(shù)的零點有無、個數(shù)求參數(shù)值或范圍、圖象的交點、解方程、解不等式等問題.
(2)考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).
怎么考:多以選擇、填空題的形式考查.
新趨勢:以函數(shù)圖象與性質(zhì)為載體,圖象與性質(zhì)、數(shù)與形、求參數(shù)值
9、或范圍交匯考查.
學(xué)
霸
好
方
法
已知函數(shù)有零點求參數(shù)值或取值范圍常用的方法和思路:
(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍.
(2)分離參數(shù)法:將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題加以解決.
(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.
由零點的個數(shù)求參數(shù)值或范圍
【典例】已知函數(shù)f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個零點,則a的取值范圍是 ( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
【解析
10、】選C.畫出函數(shù)f(x)的圖象,y=ex在y軸右側(cè)的圖象去掉,再畫出直線y=-x,并上下移動,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過點(0,1)時,直線與函數(shù)圖象有兩個交點,并且向下可以無限移動,都可以保證直線與函數(shù)的圖象有兩個交點,即方程f(x)=-x-a有兩個解,也就是函數(shù)g(x)有兩個零點,此時滿足-a≤1,即a≥-1.
已知函數(shù)零點個數(shù)求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題的關(guān)鍵是什么?
提示:關(guān)鍵是將函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù),或兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題,再去求解.
由函數(shù)有無零點求參數(shù)
【典例】若函數(shù)f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零點,則實數(shù)a的取值范圍是
________.
11、?
【解析】因為函數(shù)f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零點,所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.
方程a=4x-2x可變形為a=-,
因為x∈[-1,1],所以2x∈,
令2x=t,t∈,a=-,0≤t-≤,0≤≤,-≤-≤2,
所以a=-的范圍為,
所以實數(shù)a的取值范圍是.
答案:
函數(shù)有(或無)零點如何求參數(shù)的范圍?
提示:先分離參數(shù),再依據(jù)有(或無)零點得出等式(或不等式),最后得出結(jié)論.
與函數(shù)零點有關(guān)的比較大小
【典例】(2019·承德模擬)已知a是函數(shù)f(x)=2x-lox的零點,若0
12、a,則f(x0)的值滿足 ( )
A.f(x0)=0 B.f(x0)>0
C.f(x0)<0 D.f(x0)的符號不確定
【解析】選C.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2x,y=lox的圖象,由圖象可知,當(dāng)0
13、 D.(3,+∞)
【解析】選C.令g(x)=|2x-4|,其圖象如圖所示,
若f(x)=|2x-4|-a存在兩個零點,且一個為正數(shù),另一個為負(fù)數(shù),則a∈(3,4).
2.已知函數(shù)f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零點分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關(guān)系是( )
A.x2
14、,則y1=2x,y2=ln x,y3=--1的圖象與y=-x的交點的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)y1=2x,y2=ln x,y3=--1及y=-x的圖象如圖,結(jié)合圖象可得x11)在(0,+∞)上恰有4個互不相同的零點,則實數(shù)a的值為________.?
【解析】當(dāng)x∈時,f(x)=1-|2x-1|=,且f(x)是定義在R上且周期為的周期函數(shù),因為函數(shù)y=f(x)-logax(a>1)在(0,
15、+∞)上恰有4個互不相同的零點,所以函數(shù)y=f(x)與y=logax(a>1)在(0,+∞)上恰有4個不同的交點,分別畫出兩函數(shù)圖象如圖所示,由圖可知,當(dāng)x=時,有l(wèi)oga=1,所以a=.
答案:
4.方程2x+3x=k的解在[1,2)內(nèi),則k的取值范圍是________.?
【解析】令函數(shù)f(x)=2x+3x-k,則f(x)在R上是增函數(shù).當(dāng)方程2x+3x=k的解在(1,2)內(nèi)時,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5
16、.(2020·包頭模擬)已知函數(shù)f(x)=ln x+3x-8的零點x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,則a+b= ( )
A.0 B.2 C.5 D.7
【解析】選C.因為f(2)=ln 2+6-8=ln 2-2<0,f(3)=ln 3+9-8=ln 3+1>0,且函數(shù)f(x)=ln x+3x-8在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),所以x0∈[2,3],即a=2,b=3,所以a+b=5.
2.已知a為正常數(shù),f(x)=若?x1,x2∈R,使f(x1)=f(x2),則實數(shù)a的取值范圍是________.?
【解析】由于a>0,函數(shù)y=x2+ax+3在[0,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)x=0時有最小值為3.在x<0時,函數(shù)為增函數(shù),要使x1,x2存在,使得f(x1)=f(x2),則需20+a>3,解得a>2.
答案:(2,+∞)
9
（新課改地區(qū)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)及其應(yīng)用 2.8 函數(shù)與方程練習(xí) 新人教B版
