《2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 考點(diǎn)測(cè)試25 解三角形的應(yīng)用 理（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 考點(diǎn)測(cè)試25 解三角形的應(yīng)用 理（含解析）（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、考點(diǎn)測(cè)試25　解三角形的應(yīng)用 一、基礎(chǔ)小題 1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β之間的關(guān)系是(　　) A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 答案　B 解析　根據(jù)仰角與俯角的含義，畫圖即可得知． 2．在△ABC中，若A，B，C成等差數(shù)列，且AC＝，BC＝2，則A＝(　　) A．135° B．45° C．30° D．45°或135° 答案　B 解析　因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，所以B＝60°．由正弦定理，得＝，則sinA＝．又BC＜AC，所以A＜B，故A＝45°．故選B． 3．海上有三個(gè)小島A，B，C，測(cè)得∠

2、BAC＝135°，AB＝6，AC＝3，若在B，C兩島的連線段之間建一座燈塔D，使得燈塔D到A，B兩島距離相等，則B，D間的距離為(　　) A．3 B． C． D．3 答案　B 解析　由題意可知，D為線段AB的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，設(shè)BD＝t．由余弦定理可得BC2＝62＋(3)2－2×6×3cos∠BAC＝90，解得BC＝3．由 cos∠ABC＝＝， 解得t＝．故選B． 4．一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為(　　) A．海里/小時(shí) B．34海里/小時(shí) C．海里/小時(shí)

3、 D．34海里/小時(shí) 答案　A 解析　如圖所示，在△PMN中，＝， ∴MN＝＝34． ∴v＝＝(海里/小時(shí))．故選A． 5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若＝＝，則△ABC的形狀為(　　) A．等邊三角形 B．等腰直角三角形 C．有一個(gè)角為30°的直角三角形 D．有一個(gè)角為30°的等腰三角形 答案　B 解析　由正弦定理，得＝＝，又＝＝，兩式相除，得1＝tanB＝tanC，所以B＝C＝45°．所以A＝90°，故△ABC為等腰直角三角形．故選B． 6．如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C(△ABC

4、的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測(cè)量方法：①測(cè)量A，C，b；②測(cè)量a，b，C；③測(cè)量A，B，a，則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號(hào)為(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 答案　D 解析　由題意可知，在①②③三個(gè)條件下三角形均可唯一確定，通過(guò)解三角形的知識(shí)可求出AB．故選D． 7．一艘海監(jiān)船在某海域?qū)嵤┭埠奖O(jiān)視，由A島向正北方向行駛80海里至M處，然后沿東偏南30°方向行駛50海里至N處，再沿南偏東30°方向行駛30海里至B島，則A，B兩島之間的距離是________海里． 答案　70 解析　依題意畫出圖形，連接AN，則在

5、△AMN中，應(yīng)用余弦定理可得AN2＝502＋802－2×50×80×cos60°，即AN＝70．應(yīng)用余弦定理可得cos∠ANM＝＝，所以sin∠ANM＝．在△ANB中，應(yīng)用余弦定理可得AB2＝(30)2＋702－2×30×70×cos∠ANB，而cos∠ANB＝cos(150°－∠ANM)＝cos150°cos∠ANM＋sin150°·sin∠ANM＝， 所以AB＝＝70． 8．某中學(xué)舉行升旗儀式，在坡度為15°的看臺(tái)E點(diǎn)和看臺(tái)的坡腳A點(diǎn)，分別測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為30°和60°，量得看臺(tái)坡腳A點(diǎn)到E點(diǎn)在水平線上的射影B點(diǎn)的距離為10 m，則旗桿的高是________m． 答案

6、　10(3－) 解析　由題意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝，所以AD＝＝，因此CD＝ADsin60°＝×sin60°＝10(3－)． 二、高考小題 9．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cosA＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　C 解析　解法一：過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D，由題意知AD＝BD＝BC，則CD＝BC，AB＝BC，AC＝BC，在△ABC中，由余弦定理的推論可知，cos∠BAC＝＝＝－．故選C． 解法二：過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D，由題意知AD＝BD＝BC，則CD＝BC，在Rt△ADC中，AC＝BC，

7、sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，又因?yàn)椤螧＝， 所以cos∠BAC＝cos＝cos∠DAC·cos－sin∠DAC·sin＝×－×＝－．故選C． 10．(2018·北京高考)若△ABC的面積為(a2＋c2－b2)，且∠C為鈍角，則∠B＝________；的取值范圍是________． 答案　　(2，＋∞) 解析　依題意有acsinB＝(a2＋c2－b2)＝×2accosB，則tanB＝，∵0<∠B<π，∴∠B＝． ＝＝＝＋＝＋·，∵∠C為鈍角，∴－∠A>， 又∠A>0，∴0<∠A<，則0，故>＋×＝2． 故的取值范圍為(2，＋∞)． 11．(2018·

8、江蘇高考)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為_(kāi)_______． 答案　9 解析　解法一：依題意畫出圖形，如圖所示． 易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC， 即csin60°＋asin60° ＝acsin120°，∴a＋c＝ac，∴＋＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)＋＝5＋＋≥9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，c＝3時(shí)取“＝”． 解法二：作DE∥CB交AB于E， ∵BD為∠ABC的平分線， ∴＝＝， ∵DE∥CB， ∴＝＝＝， ∴＝，＝． ∴＝＋． ∴＝＋2， ∴1＝

9、2＋2＋2··||·||×－， ∴1＝，∴ac＝a＋c，∴＋＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)＋＝5＋＋≥9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，c＝3時(shí)取“＝”． 解法三：以B為原點(diǎn)，BD所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則D(1，0)，∵AB＝c，BC＝a， ∴A，c，C，－a． ∵A，D，C三點(diǎn)共線，∴∥， ∴1－－a＋c－1＝0， ∴ac＝a＋c，∴＋＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)＋＝5＋＋≥9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，c＝3時(shí)取“＝”． 12．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是________． 答案

10、　(－，＋) 解析　解法一：如圖所示， 因?yàn)椤螦＝∠B＝∠C＝75°， 所以∠D＝135°． 因?yàn)锽C＝2， 所以當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)， 由正弦定理可得＝，解得AB＝－． 當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，由正弦定理可得 ＝，解得AB＝＋． 因?yàn)锳BCD為平行四邊形， 所以AB∈(－，＋)． 所以AB的取值范圍是(－，＋)． 解法二：如圖所示，延長(zhǎng)BA與CD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD交AB于點(diǎn)F，則BF

11、＝2，＝， ∴BE＝×＝＋． ∴－

12、角，∴cos∠BDC＝． 三、模擬小題 14．(2018·東北三校聯(lián)考)若兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°方向上，燈塔B在觀察站C的南偏東40°方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　) A．a(chǎn) km B．a(chǎn) km C．2a km D．a(chǎn) km 答案　D 解析　如圖所示，依題意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，AC＝BC＝a km，在△ABC中，由余弦定理知AB＝＝a(km)，即燈塔A與燈塔B的距離為a km．故選D． 15．(2018·福建八校聯(lián)考)我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊求三角形面積的“三斜

13、公式”，設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，則“三斜求積”公式為S＝．若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為(　　) A． B．2 C．3 D． 答案　A 解析　由正弦定理得a2c＝4a，所以ac＝4，且a2＋c2－b2＝12－2ac＝4，代入面積公式得＝．故選A． 16．(2018·湖南邵陽(yáng)一模)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知三個(gè)向量m＝a，cos，n＝b，cos，p＝c，cos共線，則△ABC的形狀為(　　) A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D

14、．等腰直角三角形 答案　A 解析　∵向量m＝a，cos，n＝b，cos共線， ∴acos＝bcos． 由正弦定理得sinAcos＝sinBcos． ∴2sincoscos＝2sincoscos， ∴sin＝sin． ∵0<<，0<<，∴＝，∴A＝B． 同理可得B＝C，∴△ABC為等邊三角形．故選A． 17．(2018·南昌模擬)如圖所示，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ＋30°角的方向沿直線前往B處營(yíng)救，則sinθ的值為_(kāi)_______

15、． 答案　 解析　如圖，連接BC，在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos120°＝700， ∴BC＝10，再由正弦定理，得＝， ∴sinθ＝． 18．(2018·廣東汕頭期末)為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問(wèn)題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣候儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣候觀測(cè)，如圖所示，A，B，C三地位于同一水平面上，這種儀器在C地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn)，觀測(cè)點(diǎn)A，B兩地相距100米，∠BAC＝60°，在A地聽(tīng)到彈射聲音比B地晚秒(已知聲音傳播速度為340米/秒)，在A地測(cè)得該儀器至高H

16、處的仰角為30°，則這種儀器的垂直彈射高度HC＝________米． 答案　140 解析　設(shè)BC＝x米，則AC＝x＋×340＝(x＋40)米．在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，即x2＝1002＋(40＋x)2－2×100×(40＋x)×，解得x＝380，所以AC＝380＋40＝420(米)． 解法一：HC＝ACtan∠HAC＝420×＝140(米)． 解法二：因?yàn)椤螲AC＝30°，所以∠AHC＝90°－30°＝60°．在△ACH中，由正弦定理，得＝，即＝，所以HC＝＝140(米)． 一、高考大題 1．(2018·天津高考)在

17、△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知bsinA＝acosB－． (1)求角B的大??； (2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． 解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝， 可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝acosB－， 得asinB＝acosB－，即sinB＝cosB－， 可得tanB＝． 又因?yàn)锽∈(0，π)，可得B＝． (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝， 有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝． 由bsinA＝acosB－，可得sinA＝． 因?yàn)閍

18、osA＝，cos2A＝2cos2A－1＝． 所以，sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝×－×＝． 2．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2． (1)求c； (2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積． 解　(1)由已知可得tanA＝－， 所以A＝．在△ABC中，由余弦定理得 28＝4＋c2－4ccos，即c2＋2c－24＝0． 解得c＝－6(舍去)或c＝4． (2)由題設(shè)可得∠CAD＝， 所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝． 故△ABD面積與△ACD面積的比值

19、為 ＝1． 又△ABC的面積為×4×2sin∠BAC＝2， 所以△ABD的面積為． 3．(2016·浙江高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知b＋c＝2acosB． (1)證明：A＝2B； (2)若△ABC的面積S＝，求角A的大?。? 解　(1)證明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB， 故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB， 于是sinB＝sin(A－B)． 又A，B∈(0，π)，故0

20、 所以A＝2B． (2)由S＝得absinC＝， 故有sinBsinC＝sin2B＝sinBcosB， 因sinB≠0，得sinC＝cosB． 又B，C∈(0，π)，所以C＝±B． 當(dāng)B＋C＝時(shí)，A＝； 當(dāng)C－B＝時(shí)，A＝． 綜上，A＝或A＝． 二、模擬大題 4．(2018·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足cos(A－B)＝2sinAsinB． (1)判斷△ABC的形狀； (2)若a＝3，c＝6，CD為角C的平分線，求CD的長(zhǎng)． 解　(1)由cos(A－B)＝2sinAsinB， 得cosAcosB＋sinAsin

21、B＝2sinAsinB， ∴cosAcosB－sinAsinB＝0， ∴cos(A＋B)＝0，∴C＝90°． 故△ABC為直角三角形． (2)由(1)知C＝90°，又a＝3，c＝6， ∴b＝＝3，A＝30°， ∠ADC＝180°－30°－45°＝105°． 由正弦定理得＝， ∴CD＝×sin30°＝×＝． 5．(2018·云南昆明二模)如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，滿足AD⊥AC，cos∠BAC＝－，AB＝3，BD＝． (1)求AD的長(zhǎng)； (2)求△ABC的面積． 解　(1)因?yàn)锳D⊥AC，cos∠BAC＝－，且∠BAC∈(0，π)， 所以sin∠BAC

22、＝． 又sin∠BAC＝sin＋∠BAD＝cos∠BAD＝， 在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，即AD2－8AD＋15＝0， 解得AD＝5或AD＝3，由于AB>AD，所以AD＝3． (2)在△ABD中，＝， 又由cos∠BAD＝，得sin∠BAD＝， 所以sin∠ADB＝， 則sin∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin∠ADB＝． 因?yàn)椤螦DB＝∠DAC＋∠C＝＋∠C， 所以cosC＝． 在Rt△ADC中，cosC＝， 則tanC＝＝＝，所以AC＝3． 則△ABC的面積S＝AB·AC·sin∠BAC ＝×3×3×＝6． 6．(20

23、18·鄭州質(zhì)檢)在△ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2ccosB＝2a＋b． (1)求角C的大??； (2)若△ABC的面積S＝c，求ab的最小值． 解　解法一：(1)因?yàn)?ccosB＝2a＋b， 所以2c·＝2a＋b，化簡(jiǎn)得a2＋b2－c2＝－ab， 所以cosC＝＝－． 又因?yàn)?°