《數(shù)學 選講部分 不等式選講 文 新人教A版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數(shù)學 選講部分 不等式選講 文 新人教A版選修4-5（36頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、選修45不等式選講-2-3-知識梳理考點自測1.絕對值三角不等式(1)定理1:若a,b是實數(shù),則|a+b|,當且僅當時,等號成立;(2)性質:|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是實數(shù),則|a-c|,當且僅當時,等號成立.|a|+|b|ab0|a-b|+|b-c|(a-b)(b-c)0-4-知識梳理考點自測2.絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|a(a0)的解法:|x|a-axaxa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法:|ax+b|c;|ax+b|c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法:利用絕對值不

2、等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想;利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想;通過構造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程及數(shù)形結合的思想.-cax+bc ax+bc或ax+b-c-5-知識梳理考點自測2ab-6-知識梳理考點自測-7-知識梳理考點自測1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)對|a-b|a|+|b|,當且僅當ab0時,等號成立.()(2)|a+b|+|a-b|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的幾何意義是表示數(shù)軸上的點x到點a,b的距離之和.()(4)用反證法證明命題“a,b,c全為0”時假設為“a,b,c全不為0”.()(5)若m=a

3、+2b,n=a+b2+1,則nm.()-8-知識梳理考點自測2.(2017江蘇南通模擬)若|a-c|b|,則下列不等式正確的是()A.ac-bC.|a|b|-|c|D.|a|b|+|c|解析解析:|a|-|c|a-c|b|,即|a|b|+|c|,故選D.D3.若不等式 對于一切非零實數(shù)x均成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.2a3B.1a2C.1a3D.1aa恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina無解f(x)maxa;f(x)a無解f(x)mina.-18-考點一考點二考點三考點四對點訓練對點訓練2已知函數(shù)f(x)=|2x-1

4、|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)當a=-2時,求不等式f(x)-1,且當 時,f(x)g(x),求a的取值范圍.-19-考點一考點二考點三考點四-20-考點一考點二考點三考點四不等式的證明不等式的證明例3(2017全國,文23)已知a0,b0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.-21-考點一考點二考點三考點四解題心得不等式證明的常用方法是:比較法、綜合法與分析法.其中運用綜合法證明不等式時,主要是運用基本不等式證明,與絕對值有關的不等式證明常用絕對值三角不等式.證明過程中一方面要注意不等式成立的條件,另一方面要善于對式子進行恰當?shù)霓D化、變形.-2

5、2-考點一考點二考點三考點四-23-考點一考點二考點三考點四-24-考點一考點二考點三考點四求最值求最值(多考向多考向)考向1利用基本不等式求最值例4若a0,b0,且(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.解題心得如果題設條件有(或者經(jīng)過化簡題設條件得到)兩個正數(shù)和或兩個正數(shù)積為定值,則可利用基本不等式求兩個正數(shù)積的最大值或兩個正數(shù)和的最小值.-25-考點一考點二考點三考點四對點訓練對點訓練4(2017遼寧大連一模,23)已知a0,b0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值為1.(1)求證:2a+b=2;(2)若a+2btab恒成立,求實數(shù)t

6、的最大值.-26-考點一考點二考點三考點四-27-考點一考點二考點三考點四考向2利用柯西不等式求最值例5(2017四川成都二診,23)已知函數(shù)f(x)=4-|x|-|x-3|.-28-考點一考點二考點三考點四-29-考點一考點二考點三考點四解題心得利用柯西不等式求最值時,一定要滿足柯西不等式的形式,有時需要變形才能利用柯西不等式.-30-考點一考點二考點三考點四對點訓練對點訓練5(2017河南洛陽一模,23)已知關于x的不等式|x+3|+|x+m|2m的解集為R.(1)求m的最大值;(2)已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求2a2+3b2+4c2的最小值及此時a,b,c的值.-31-考點

7、一考點二考點三考點四解(1)因為|x+3|+|x+m|(x+3)-(x+m)|=|m-3|.當-3x-m或-mx-3時取等號,令|m-3|2m,所以m-32m或m-3-2m.解得m-3或m1.故m的最大值為1.(2)a+b+c=1,考點一考點二考點三考點四絕對值三角不等式的應用絕對值三角不等式的應用例6設函數(shù)(1)證明:f(x)2;(2)若f(3)5,求a的取值范圍.考點一考點二考點三考點四解題心得絕對值三角不等式、基本不等式在解決多變量代數(shù)式的最值問題中有著重要的應用,無論運用絕對值三角不等式還是運用基本不等式時應注意等號成立的條件.考點一考點二考點三考點四對點訓練對點訓練6(2017湖南長

8、沙一模,文23)已知f(x)=|x-a|+|x-3|.(1)當a=1時,求f(x)的最小值;(2)若不等式f(x)3的解集非空,求a的取值范圍.解(1)當a=1時,f(x)=|x-1|+|x-3|x-1-x+3|=2,f(x)的最小值為2,當且僅當1x3時取得最小值.(2)xR時,恒有|x-a|+|x-3|(x-a)-(x-3)|=|3-a|,又不等式f(x)3的解集非空,|3-a|3,0a6.考點一考點二考點三考點四1.含絕對值不等式的恒成立問題的求解方法(1)分離參數(shù)法:運用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可解決恒成立中的參數(shù)范圍問題.(2)數(shù)形結合法:在研究不等

9、式f(x)g(x)恒成立問題時,若能作出兩個函數(shù)的圖象,則通過圖象的位置關系可直觀解決問題.2.含絕對值不等式的證明,可用“零點分段法”討論去掉絕對值符號,也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推廣形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|.3.不等式求解和證明中應注意的事項(1)作差比較法適用的主要是多項式、分式、對數(shù)式、三角式,作商比較法適用的主要是高次冪乘積結構.(2)利用柯西不等式求最值,實質上就是利用柯西不等式進行放縮,放縮不當則等號可能不成立,因此,要切記檢驗等號成立的條件.考點一考點二考點三考點四1.在解決有關絕對值不等式的問題時,充分利用絕對值不等式的幾何意義解決問題能有效避免分類討論不全面的問題.若用零點分段法求解,要掌握分類討論的標準,做到不重不漏.2.在利用算術-幾何平均不等式或柯西不等式求最值時,要注意檢驗等號成立的條件,特別是多次使用不等式時,必須使等號同時成立.