《2020屆高考數(shù)學(xué) 專題十九 幾何概型精準(zhǔn)培優(yōu)專練 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué) 專題十九 幾何概型精準(zhǔn)培優(yōu)專練 文（14頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、培優(yōu)點(diǎn)十九 幾何概型 一、與長度有關(guān)的幾何概型 例1：某公司的班車在，，發(fā)車，小明在至之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過分鐘的概率是______． 【答案】 【解析】如圖所示，畫出時(shí)間軸． 小明到達(dá)的時(shí)間會隨機(jī)的落在圖中線段中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段或上時(shí)， 才能保證他等車的時(shí)間不超過分鐘， 根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式可得所求概率為． 例2：在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為________． 【答案】 【解析】由，得，得． 由幾何概型的概率計(jì)算公式可得所求概率為． 二、與面積有關(guān)的幾何概型 例3：在

2、如圖所示的扇形中，，半圓切于點(diǎn)，與圓弧切于點(diǎn)，若隨機(jī) 向扇形內(nèi)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在半圓外的概率為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】連接，則， 因?yàn)?，所以? 設(shè)半圓的半徑為，則扇形的半徑為， 半圓的面積，扇形的面積為， 則所求概率，故選A． 例4：圓內(nèi)有一內(nèi)接正三角形，向圓內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在正三角形內(nèi)的概率為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題可得，設(shè)正三角形的邊長為，則其面積為， 其外接球的直徑為，所以其半徑為，所以面積為， 由幾何概型的概率計(jì)算公式可知所求概率為，故選C． 三、與體積有關(guān)的幾何概型的求法

3、 例5：在棱長為的正方體中，點(diǎn)為底面的中心，在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于的概率為________． 【答案】 【解析】記“點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于”為，． 例6：如圖，在一個(gè)棱長為的正方體魚缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點(diǎn)在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是________． 【答案】 【解析】魚缸底面正方形的面積為，圓錐底面圓的面積為． 所以“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是． 四、與角度有關(guān)的幾何概型的求法 例7：如圖，在矩形中，，，

4、以為圓心、為半徑作圓弧，點(diǎn)在線段上，在圓弧上任取一點(diǎn)，則直線與線段有公共點(diǎn)的概率是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】連接交圓弧于點(diǎn)， 在中，，，所以，即， 要使直線與線段有公共點(diǎn)，則點(diǎn)必須在圓弧上， 于是所求的概率為．故選B． 例8：在中，，過直角頂點(diǎn)作射線交線段于點(diǎn)，則的 概率為________． 【答案】 【解析】設(shè)事件為“作射線，使”． 在上取點(diǎn)，使， 因?yàn)槭堑妊切危裕? 事件發(fā)生的區(qū)域，構(gòu)成事件總的區(qū)域， 所以． 對點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為（） A． B． C．

5、 D． 【答案】C 【解析】當(dāng)時(shí)，由，得或， 因此所求概率為．故選C． 2．在長為的線段上任取一點(diǎn)，并以線段為邊作正方形，則這個(gè)正方形的面積介于與之間的概率為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因?yàn)橐跃€段為邊的正方形的面積介于與之間， 所以線段的長度介于與之間， 滿足條件的點(diǎn)對應(yīng)的線段長，而線段總長為， 故正方形的面積介于與之間的概率為，故選B． 3．安徽黃山景區(qū)，每半小時(shí)會有一趟纜車從山上發(fā)車到山下，某人下午在山上，準(zhǔn)備乘坐纜車下山， 則他等待時(shí)間不多于分鐘的概率為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】此人在分到分或分到分之間的分鐘

6、內(nèi)到達(dá)，等待時(shí)間不多于分鐘， 所以他等待時(shí)間不多于分鐘的概率為．故選B． 4．在直角坐標(biāo)系中，任取個(gè)滿足的點(diǎn)，其中滿足的點(diǎn)有個(gè)，則用隨機(jī) 模擬的方法得到的圓周率的近似值為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】畫出可行域，如圖所示，四邊形的面積為，其中圓的面積為． 由幾何概型的概率計(jì)算公式可得，則，故選D． 5．三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，為側(cè)棱的中點(diǎn)，，分別為棱，上一點(diǎn)，平 面，，若從三棱錐內(nèi)部隨機(jī)選取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自三棱錐內(nèi)部的概率為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因?yàn)槠矫?，平面，平面平面? 所以，所以，即所求概率為．故選C． 6．

7、甲乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位停靠小時(shí)，假定他們在一晝夜的時(shí)間段中隨機(jī)地到達(dá)，試求這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待的概率（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設(shè)甲船到達(dá)的時(shí)間為，乙船到達(dá)的時(shí)間為，則所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域滿足，這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)域，滿足， 作出對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示， 則這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待的概率為．故選D． 7．陽馬，中國古代算數(shù)中的一種幾何形體，是底面長方形，兩個(gè)三角面與底面垂直的四棱錐體，在陽馬中，為陽馬中最長的棱，，，，若在陽馬的外接球內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陽馬內(nèi)的概率為（）

8、 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據(jù)題意，的長等于其外接球的直徑， 因?yàn)?，∴，∴? 又平面，所以，， ∴． 8．函數(shù)，在其定義域內(nèi)任取一點(diǎn)，使的概率是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意，知，即，解得， 所以由幾何概型的概率計(jì)算公式可得概率為，故選C． 9．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為步和步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意，直角三角

9、形內(nèi)切圓的半徑， 所以現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子， 則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率為． 10．已知實(shí)數(shù)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于的概率為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知實(shí)數(shù)，經(jīng)過第一次循環(huán)，得到，； 經(jīng)過第二次循環(huán)，得到，； 經(jīng)過第三次循環(huán)，得到，， 輸出的值為，令，得， 由幾何概型的概率計(jì)算公式，得到輸出的不小于的概率為，故選B． 11．趙爽是我國古代的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元年，趙爽為《周碑算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一

10、個(gè)小正方形組成的）．類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)，若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形的概率是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，，，， 由余弦定理得，所以． 故所求概率為．故選A． 12．剪紙藝術(shù)是中國最古老的民間藝術(shù)之一，作為一種鏤空藝術(shù)，它能給人以視覺上的藝術(shù)享受．在如圖所示的圓形圖案中有個(gè)樹葉狀圖形（即圖中陰影部分），構(gòu)成樹葉狀圖形的圓弧均相同．若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（） A． B． C． D． 【答案】B 【

11、解析】設(shè)圓的半徑為，如圖所示，片樹葉是由個(gè)相同的弓形組成， 且弓形的面積為． ∴所求的概率為．故選B． 二、填空題 13．一根繩子長為米，若將其任意剪為兩段，則剪成的兩段繩子的長度有一段大于米的概率為________． 【答案】 【解析】由題意，將米長的繩子剪為兩段，有一段大于米的概率為． 14．為了測算如圖陰影部分的面積，作一個(gè)邊長的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲個(gè) 點(diǎn)，已知恰有個(gè)點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此，可估計(jì)陰影部分的面積是__________． 【答案】9 【解析】根據(jù)題意，可設(shè)陰影部分的面積為則正方形的面積為， 向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，已

12、知恰有個(gè)點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)， 則向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則落到陰影部分的概率為，而， 則，解得． 15．中國古代錢幣（如圖）承繼了禮器玉琮的觀念，它全方位承載和涵蓋了中華文明歷史進(jìn)程中的文化信息，表現(xiàn)為圓形方孔．如圖，圓形錢幣的半徑為，正方形邊長為，在圓形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是______． 【答案】 【解析】圓形錢幣的半徑為，則圓的面積為，正方形邊長為，則正方形的面積為， ∴在圓形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是． 16．勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的面積最小的曲線，它由德國機(jī)械工程專家，機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，其作法是：以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．現(xiàn)在勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自正三角形內(nèi)的概率為______． 【答案】 【解析】如圖，設(shè)，以為圓心的扇形面積是， 的面積是， 所以勒洛三角形的面積為個(gè)扇形面積減去個(gè)正三角形面積， 即， 所以在勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自正三角形的概率是． 14