《2019高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 大題提分 大題精做7 立體幾何:建系困難問(wèn)題 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 大題提分 大題精做7 立體幾何:建系困難問(wèn)題 理(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、大題精做7 立體幾何:建系困難問(wèn)題
[2019·長(zhǎng)沙統(tǒng)測(cè)]已知三棱錐(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中,四邊形為邊長(zhǎng)等于的正方形,和均為正三角形,在三棱錐中:
(1)證明:平面平面;
(2)若點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng),當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí),求二面角的余弦值.
圖一 圖二
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).
【解析】(1)設(shè)的中點(diǎn)為,連接,.
由題意,得,,.
∵在中,,為的中點(diǎn),∴,
∵在中,,,,,∴.
∵,,平面,∴平面,
∵平面,∴平面平面.
(2)由(1)知,,,平面,
∴是直線與平面所成的角,且,
∴當(dāng)最短時(shí),即是的中點(diǎn)時(shí),最大.
由平面,,∴,,
2、于是以,,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,,
,,.
設(shè)平面的法向量為,
則由得:.令,得,,即.
設(shè)平面的法向量為,
由得:,令,得,,即.
.由圖可知,二面角的余弦值為.
1.[2019·安慶期末]矩形中,,,點(diǎn)為中點(diǎn),沿將折起至,如圖所示,點(diǎn)在面的射影落在上.
(1)求證:面面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
2.[2019·南陽(yáng)期末]如圖1,在矩形中,,,點(diǎn)在線段上,且,現(xiàn)將沿折到的位置,連結(jié),,如圖2.
(1)若點(diǎn)在線段上,且
3、,證明:;
(2)記平面與平面的交線為.若二面角為,求與平面所成角的正弦值.
3.[2019·蘇州調(diào)研]如圖,在四棱錐中,已知底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)面平面,,與平面所成角的正弦值為.
(1)求側(cè)棱的長(zhǎng);
(2)設(shè)為中點(diǎn),若,求二面角的余弦值.
1.【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】(1)在四棱錐中,,,從而有,
又∵
4、面,而面,∴,而、面,且,
由線面垂直定理可證面,又面,由面面垂直判斷定定理即證面面.
(2)由條件知面,過(guò)點(diǎn)做的平行線,
又由(1)知面,以、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,
如圖所示:
,,,,,
面的一個(gè)法向量為,
設(shè)面的法向量為,則有,
從而可得面的一個(gè)法向量為,,
設(shè)平面與平面所成銳二面角為,與互補(bǔ),則,
故平面與平面所成二面角的余弦值為.
2.【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】證明:(1)先在圖1中連結(jié),在中,由,,
得,在中,由,,
得,∴,則,
∴,從而有,,即在圖2中有,,
∴平面,則;
解:(2)延長(zhǎng),交于點(diǎn),連接,根據(jù)公
5、理3得到直線即為,
再根據(jù)二面角定義得到.在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作底面垂線,
以為原點(diǎn),分別為,,及所作垂線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,取,得.
∴與平面所成角的正弦值為.
3.【答案】(1)或;(2).
【解析】(1)取中點(diǎn),中點(diǎn),連結(jié),,∵,∴,
又∵平面平面,平面,平面平面,
∴平面,∴,,
又∵是正方形,∴,
以為原點(diǎn),,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),
則,,,,
設(shè),則,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則有,
取,則,從而,
設(shè)與平面所成角為,∵,
∴,解得或,
∴或.
(2)由(1)知,,∴,,
由(1)知,平面的一個(gè)法向量為,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,而,,
∴取,則,,即,
設(shè)二面角的平面角為,∴,
根據(jù)圖形得為銳角,∴二面角的余弦值為.
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