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1、曲線運(yùn)動、平拋運(yùn)動 知識要點(diǎn) （一）曲線運(yùn)動 1. 圓周運(yùn)動 （1）線速度 Al v — At 單位：m/s （2）勻速圓周運(yùn)動 （3）角速度 A0 co =— At ，單位： rad／s （4） 周期T、頻率f和轉(zhuǎn)速n （5） 描述圓周運(yùn)動各物理量的關(guān)系 v = ro = - - 2 口 rf = 2 口 rn T （ 6 ） 兩個有用的結(jié)論 ① 在同一個轉(zhuǎn)盤上的角速度相同。 ② 同一個輪子的邊緣上，線速度相同，傳動中線速度相同。 2. 向心加速度 （1） 定義：做勻速圓周運(yùn)動的物體，加速度指向圓心，稱作向心加速度。描述線速度 改變的快慢。 v 2

2、 4 口 2 （2） 公式：a = = ro2 = r = 4口2rn2 = 4口2rf 2 =ov r T 2 （ 3 ）方向：總是沿著半徑指向圓心。 （4）向心加速度公式也適用于非勻速圓周運(yùn)動。 （二）運(yùn)動的合成和分解 1. 運(yùn)動的合成及分解規(guī)則：平行四邊形定則。 （1） 合運(yùn)動一定是物體的實(shí)際運(yùn)動。 （2） 分運(yùn)動之間是相互不相干的。 （3） 合運(yùn)動和各分運(yùn)動具有等時性。 （4） 合運(yùn)動和分運(yùn)動的位移、速度、加速度都遵守平行四邊形定則。 （ 5 ）特例： ① 初速為v°的勻加速直線運(yùn)動，可看成是同方向的一個勻速運(yùn)動和另一個初速為零的 勻加速直線運(yùn)動的合運(yùn)動； ②

3、 豎直上拋運(yùn)動可看成是一個豎直向上的勻速直線運(yùn)動和另一個自由落體運(yùn)動的合 運(yùn)動； ③ 兩個勻速直線運(yùn)動合成后一定是勻速直線運(yùn)動； ④ 不在同一直線上的一個勻速直線運(yùn)動和一個變速直線運(yùn)動合成后運(yùn)動軌跡是曲線 （合運(yùn)動的加速度方向和合運(yùn)動速度方向不在同一直線上）。 2. 兩個直線運(yùn)動的合成： ① 兩個勻速直線運(yùn)動合成的運(yùn)動是勻速直線運(yùn)動。 ② 兩個勻變速直線運(yùn)動的合運(yùn)動，當(dāng)它們的初速度的合速度方向和加速度的合加速度的方向在一條直線上時，合運(yùn)動是勻變速直線運(yùn)動，否則將是勻變速曲線運(yùn)動。 ③ 一個勻速直線運(yùn)動和一個勻變速直線運(yùn)動的合運(yùn)動，當(dāng)它們的初速度方向和與加速 度方向在一條直線上時，合

4、運(yùn)動是勻變速直線運(yùn)動，反之，當(dāng)它們的初速度方向和與加速 度方向不在一條直線上時，合運(yùn)動將是勻變速曲線運(yùn)動。 ④ 一個勻速直線運(yùn)動和一個方向與它垂直的初速度為零的勻加速運(yùn)動的合運(yùn)動，一定 是勻變速曲線運(yùn)動。 v 船 _ d v _卩水，還是卩船 < 卩水，只要%沿垂直于河岸 -（其中d為河寬） 3. 渡河問題：渡河問題所涉及的就是渡河的最短時間問題和渡河的最短位移問題 ① 最短時間問題：無論 v > v 、 船水 方向渡河，則所用時間最短，此時〈曠 ② 渡河的最短位移問題 】?當(dāng)卩船 船 最短 凡當(dāng)卩船 iii. 當(dāng) v v 水

5、的大小為半徑畫弧，以v的箭尾為起 船 水 水 船 水 sv 點(diǎn)做圓弧的切線，延長該切線到對岸，即為最短位移，由三角形相似嚴(yán) -「水 dv 船 v S — —水 d。 最短 v 圖2 船 三）平拋運(yùn)動 1. 平拋運(yùn)動的定義：水平拋出物體只在重力作用下的運(yùn)動。 2. 平拋運(yùn)動性質(zhì)：是加速度恒為重力加速度g的勻變速曲線運(yùn)動，軌跡是拋物線。 3. 平拋運(yùn)動的處理方法：（結(jié)合課本的演示實(shí)驗(yàn)進(jìn)行講解） 分解為 水平方向：速度為v的勻速直線運(yùn)動v — v , x — v t , t — x / v 0 x 0 0 11 0 < 1 1 豎直方向：自由落體運(yùn)動,v — gt

6、 , y _一 gt 2,t _J2h/ g 、 y 2 2 2 2 結(jié)果得 t = t = t = 2h/g,完全取決于豎直咼度，和水平速度v無關(guān) 12、 0

7、規(guī)律獨(dú)立進(jìn)行，水平初速度的大小不會影響豎直方向的分運(yùn)動。一 般情況下，豎直方向的分運(yùn)動決定著平拋物體的運(yùn)動的時間。 5. 平拋運(yùn)動的軌跡。 x = v t 設(shè)物體做平拋運(yùn)動到某點(diǎn)P（x，y ），如圖3所示，則軌跡方程為彳 1 ，消 y=2 gt 2 去參數(shù)t，得y =吝-x2 2v2 0 平拋物體經(jīng)一段時間， 拋物線）。 gt tan 申= ，tan 0 = v 0 其速度方向和位移方向是不相同的，如圖 3所示 1 6.如圖3所示，曲線上任一點(diǎn)P（ x，y ）的速度方向反向延長線交于x軸上的A點(diǎn), 1 2 gt 2 圖3可知丄 2 x 一 OA v 2

8、0 7.平拋物體在相同時間內(nèi)，速度變化量相同，Av = gt gt 1 = ，所以 OA=二 x。 v2 0 ，且方向?yàn)樨Q直向下，如圖 4所示。 典型例題】 ［例1］小船在200m寬的河中橫渡，水流速度是2m/s，船在靜水中的速度是4m / s，求: ① 當(dāng)小船的船頭始終正對對岸時，它將在何時、何處到達(dá)對岸？ ② 要使小船到達(dá)正對岸， 小船應(yīng)如何行駛？耗時多少？ 解析：小船參與了兩個分運(yùn)動，隨水漂流和船在靜水中的運(yùn)動。因?yàn)檫\(yùn)動具有獨(dú)立性 分運(yùn)動之間互不干擾，即渡河時間由船的指向和其靜水中的速度決定，沿河運(yùn)動的距離由 d 水的流速決定。所以：渡河時間等于垂直河岸分運(yùn)動的

9、時間t = = 50 s v 靜 沿河方向的位移s水 =v -1 = 2 x 50m=100m，即小船在正對河岸下游100m處靠岸。 水 要使小船垂直過河，即合速度應(yīng)垂直河岸如圖5所示，則cos9 v 2 1 =「水— — 所以： v 4 2 船 0 — 60。，即v的方向與上游河岸成60。 船 dd v - sin 0 船 t — v 合 [例 2] 以 16m／s 的速度水平拋出一石子，石子落地時的速度方向與拋出時的速度方向成 37。角，不計空氣阻力，那么石子拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)的高度差是多少？石子的落地速度是多 少？ 可分解為水平和豎直兩個方向的分速度，

10、如圖 6 解析：石子落地時的速度是合速度 y 0 因豎直方向是自由落體運(yùn)動。 由二角形關(guān)系可知tan37 — v 0 所示： 1 | 故v — gt，得t — 1.2s，下落高度h — gt2 — 7.2m,落地速度v — ：v2 + v2 — 20m/s. y 2 t i o y [例3] 如圖7所示，水平面上有一物體，小車通過定滑輪用繩子拉它，在圖7所示位置時 若小車的速度為5m/s, 5 l 解析：由小車的速度為5m/s,小車?yán)K的速度V — V cos30o — 3m/s 則物 2 X 2 2 體受到繩的拉力。 5 L V L 拉繩的速度vi x二V2

11、 x - r"3m / s，則物體的瞬時速度為Vi二cos60o二宀/ s。 又根據(jù)運(yùn)動學(xué)的規(guī)律可得 1 豎直方向上h二-gt2, 厶 水平方向上s二v t 0 1 gt 2 h2 貝tan a 二 二 - s v 二 gt y ① 解析：雨滴飛出的速度大小為v=eR, 雨滴做平拋運(yùn)動。 在豎直方向上有 在水平方向上有 h=2gt 2 S=vt 圖8 ［例4］在傾角為Q的斜面上的P點(diǎn)，以水平速度卩。向斜面下方拋出一個物體，落在斜面上 的Q點(diǎn)，證明落在Q點(diǎn)物體速度v二v°Jl + 4tan 從 A 點(diǎn)開始計時，經(jīng)過 4 s 的時間質(zhì)點(diǎn)速度的

12、變化 質(zhì)點(diǎn)的向心加速度的大小。 a。 解析：設(shè)物體由拋出點(diǎn)P運(yùn)動到斜面上的Q點(diǎn)的位移是l，所用時間為t,則由“分解 位移法”可得，豎直方向上的位移為h = /sina ；水平方向上的位移為s = /cosa。 v —，v = 2v tan a v t 2 v y 0 00 所以Q點(diǎn)的速度 v =、:v 2 + v 2 = v <1 + 4 tan 2 a ■ 0 y 0 ［例5］ 一半徑為R的雨傘繞柄以角速度e勻速旋轉(zhuǎn)，如圖所示，傘邊緣距地面高h(yuǎn),甩出 2w 2h 由幾何關(guān)系知，雨滴半徑 解以上幾式得r=Rl' + & ［例6］ 一質(zhì)點(diǎn)沿著半徑r=1

13、 m的圓周以n=2r / s的轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動，如圖。試求: ② 求出質(zhì)點(diǎn)在 A 點(diǎn)和 4 s 末線速度的大小和方向。 ③ 由矢量減法作出矢量三角形。 ④ 明確邊角關(guān)系，解三角形求得Av的大小和方向。 v2 a =— ⑤ 根據(jù)n r或a=?2r求出向心加速度的大小。 n 答案：("△v=2t2 nm/s方向與OA連線成45°角指向圓心O (2) a=16n2 ［例7］如圖所示，定滑輪的半徑r=2cm,繞在滑輪上的細(xì)線懸掛著一個重物，由靜止開始釋 放，測得重物以加速度a=2m/s2做勻加速運(yùn)動，在重物由靜止下落距離為lm的瞬間，滑輪 顯然，滑輪邊緣上每一點(diǎn)的線速度也都是2m

14、/s，故滑輪轉(zhuǎn)動的角速度，即滑輪邊緣上 滑輪質(zhì)量不計) 每一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動角速度為 v2 ?= r = °?°2 rad/s=100rad / s， 向心加速度為 a=?2r=1002x0.02m/s2=200m / s2 ?利用平拋運(yùn)動的推論解題 推論 1：任意時刻的兩個分速度與合速度構(gòu)成一個矢量直角三角形。 ［例8］從空中同一點(diǎn)沿水平方向同時拋出兩個小球，它們的初速度大小分別為v和v，初 12 速度方向相反，求經(jīng)過多長時間兩小球速度之間的夾角為90° ? 圖7 解析：設(shè)兩小球拋出后經(jīng)過時間t，它們速度之間的夾角為90°，與豎直方向的夾角分 別為Q和0，對兩小球分別構(gòu)

15、建速度矢量直角三角形如圖7所示，由圖可得cot a = 和 v 1 v tan 0 = t gt 又因?yàn)閍 + 0= 90°，所以 cot a = tan 0 gt v 1 i 由以上各式可得一=―2，解得t = vv v gt g 1 2 1 推論 2：任意時刻的兩個分位移與合位移構(gòu)成一個矢量直角三角形 ［例9］宇航員站在一星球表面上的某高度處，沿水平方向拋出一個小球，經(jīng)過時間t,小球 落到星球表面，測得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為1,若拋出時初速度增大到兩倍，則拋出 點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為卞31。已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R,萬有 引力常數(shù)為G,求該星

16、球的質(zhì)量M。 解析：設(shè)第一次拋出小球，小球的水平位移為x,豎直位移為h，如圖8所示，構(gòu)建 位移矢量直角三角形有 x2 + h2 = l 2 若拋出時初速度增大到2倍，重新構(gòu)建位移矢量直角三角形，如圖9所示有, (2x)2 + h 2 = (\；31 )2 由以上兩式得 h = 令星球上重力加速度為g', 由平拋運(yùn)動的規(guī)律得h = 2 g ft2 GMm 由萬有引力定律與牛頓第二定律得吊-=mg 由以上各式解得 M = 2囘R 2 3Gt 2 推論3：平拋運(yùn)動的末速度的反向延長線交平拋運(yùn)動水平位移的中點(diǎn)。 ［例10］證明：設(shè)平拋運(yùn)動的初速度為vo，經(jīng)

17、時間t后的水 平位移為x ,如圖10所示，D為末速度反向延長線與水平分位 移的交點(diǎn)。根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律有 水平方向位移 x = v t 0 1 豎直方向v = gt和y = gt2 y2 v DE 由圖可知，AABC與AADE相似，則亠= vy y 聯(lián)立以上各式可得DE=| 該式表明平拋運(yùn)動的末速度的反向延長線交平拋運(yùn)動水平位移的中點(diǎn)。 推論4：平拋運(yùn)動的物體經(jīng)時間t后，其速度v與水平方向的夾角為Q ,位移s與水平 t 方向的夾角為0，則有tan a = 2tan卩 證明：如圖13,設(shè)平拋運(yùn)動的初速度為v，經(jīng)時間t后到達(dá)A點(diǎn)的水平位移為X、速 0 度為 v ，如

18、圖所示，根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律和幾何關(guān)系： t 在速度三角形中tan a 在位移三角形中 tan 0 v gt =-^ =- vv 00 =j =竺=旦 由上面兩式可得 tana O 飛I I" A a v0 v」 v y t 圖 13 【2010 年重慶高考】 24、(18 分)小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩 一端，繩的另一端系有質(zhì)量為 m 的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周 運(yùn)動。當(dāng)球某次運(yùn)動到最低點(diǎn)時，繩突然斷掉，球飛行水平距離 d 后落地，如圖 3 所示。已知握繩的手離地面高度為d,手與球之間的繩長為4 d，重力加速度 為g,忽略手的運(yùn)動半徑和空氣阻力。(1)求繩斷時球的速度大小v 1和球落地時 的速度大小 v2 ；(2)問繩能承受的最大拉力多大？(3)改變繩長，使球重復(fù)上述運(yùn) 動，若繩仍在球運(yùn)動到最低點(diǎn)時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)為多 少？最大水平距離為多少？ :5 解: (1)v1 =^2gd，v2 =丫2gd T 11 丫 d 2羽 (2) T = — mg (3)當(dāng) L = 2 時，X 有最大值，Sm =—^- d