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1、習題八 8-1 電量都是的三個點電荷，分別放在正三角形的三個頂點．試問：(1)在這三角形的中心放一個什么樣的電荷，就可以使這四個電荷都達到平衡(即每個電荷受其他三個電荷的庫侖力之和都為零)?(2)這種平衡與三角形的邊長有無關系? 解: 如題8-1圖示 (1) 以處點電荷為研究對象，由力平衡知：為負電荷 解得 (2)與三角形邊長無關． 題8-1圖 題8-2圖 8-2 兩小球的質量都是，都用長為的細繩掛在同一點，它們帶有相同電量，靜止時兩線夾角為2,如題8-2圖所示．設小球的半徑和線的質量都可以忽略不計，求每個小球所帶的電量． 解: 如題8-2圖示

2、 解得 8-3 根據(jù)點電荷場強公式，當被考察的場點距源點電荷很近(r→0)時，則場強→∞，這是沒有物理意義的，對此應如何理解? 解: 僅對點電荷成立，當時，帶電體不能再視為點電荷，再用上式求場強是錯誤的，實際帶電體有一定形狀大小，考慮電荷在帶電體上的分布求出的場強不會是無限大． 8-4 在真空中有，兩平行板，相對距離為，板面積為，其帶電量分別為+和-．則這兩板之間有相互作用力，有人說=,又有人說，因為=,，所以=．試問這兩種說法對嗎?為什么? 到底應等于多少? 解: 題中的兩種說法均不對．第一種說法中把兩帶電板視為點電荷是不對的，第二種說法把合場強看成是一個帶電板在另一

3、帶電板處的場強也是不對的．正確解答應為一個板的電場為，另一板受它的作用力，這是兩板間相互作用的電場力． 8-5 一電偶極子的電矩為，場點到偶極子中心O點的距離為,矢量與的夾角為,(見題8-5圖)，且．試證P點的場強在方向上的分量和垂直于的分量分別為 =, = 證: 如題8-5所示，將分解為與平行的分量和垂直于的分量． ∵ ∴ 場點在方向場強分量 垂直于方向，即方向場強分量 題8-5圖 題8-6圖 8-6 長=15.0cm的直導線AB上均勻地分布著線密度=5.0x10-9Cm-1的正電荷．試求：(1)在導線的延長線上與導線B端相距=5.0cm處點的場強；(2)在

4、導線的垂直平分線上與導線中點相距=5.0cm 處點的場強． 解： 如題8-6圖所示 (1)在帶電直線上取線元，其上電量在點產(chǎn)生場強為 用，, 代入得 方向水平向右 (2)同理 方向如題8-6圖所示 由于對稱性，即只有分量， ∵ 以, ,代入得 ，方向沿軸正向 8-7 一個半徑為的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為,求環(huán)心處點的場強． 解: 如8-7圖在圓上取 題8-7圖 ，它在點產(chǎn)生場強大小為 方向沿半徑向外 則 積分 ∴ ，方向沿軸正向． 8-8 均勻帶電的細線彎成正方形，邊長為，總電量為．(1)求這正方形軸線上離中心

5、為處的場強；(2)證明：在處，它相當于點電荷產(chǎn)生的場強． 解: 如8-8圖示，正方形一條邊上電荷在點產(chǎn)生物強方向如圖，大小為 ∵ ∴ 在垂直于平面上的分量 ∴ 題8-8圖 由于對稱性，點場強沿方向，大小為 ∵ ∴ 方向沿 8-9 (1)點電荷位于一邊長為a的立方體中心，試求在該點電荷電場中穿過立方體的一個面的電通量；(2)如果該場源點電荷移動到該立方體的一個頂點上，這時穿過立方體各面的電通量是多少?*(3)如題8-9(3)圖所示，在點電荷的電場中取半徑為R的圓平面．在該平面軸線上的點處，求：通過圓平面的電通量．() 解: (1)由高斯定理 立

6、方體六個面，當在立方體中心時，每個面上電通量相等 ∴ 各面電通量． (2)電荷在頂點時，將立方體延伸為邊長的立方體，使處于邊長的立方體中心，則邊長的正方形上電通量 對于邊長的正方形，如果它不包含所在的頂點，則， 如果它包含所在頂點則． 如題8-9(a)圖所示．題8-9(3)圖 題8-9(a)圖 題8-9(b)圖 題8-9(c)圖 (3)∵通過半徑為的圓平面的電通量等于通過半徑為的球冠面的電通量，球冠面積* ∴ [] *關于球冠面積的計算：見題8-9(c)圖 8-10 均勻帶電球殼內(nèi)半徑6cm，外半徑10cm，電荷體密度為2Cm-3求距球心5cm，8cm

7、,12cm 各點的場強． 解: 高斯定理, 當時，, 時， ∴ ， 方向沿半徑向外． cm時, ∴ 沿半徑向外. 8-11 半徑為和(＞)的兩無限長同軸圓柱面，單位長度上分別帶有電量和-,試求:(1)＜；(2) ＜＜；(3) ＞處各點的場強． 解: 高斯定理 取同軸圓柱形高斯面，側面積 則 對(1) (2) ∴ 沿徑向向外 (3) ∴ 題8-12圖 8-12 兩個無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為和，試求空間各處場強． 解: 如題8-12圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為與， 兩面間， 面外， 面外， ：垂

8、直于兩平面由面指為面． 8-13 半徑為的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為,若在球內(nèi)挖去一塊半徑為＜的小球體，如題8-13圖所示．試求：兩球心與點的場強，并證明小球空腔內(nèi)的電場是均勻的． 解: 將此帶電體看作帶正電的均勻球與帶電的均勻小球的組合，見題8-13圖(a)． (1) 球在點產(chǎn)生電場， 球在點產(chǎn)生電場 ∴ 點電場； (2) 在產(chǎn)生電場 球在產(chǎn)生電場 ∴ 點電場 題8-13圖(a) 題8-13圖(b) (3)設空腔任一點相對的位矢為，相對點位矢為(如題8-13(b)圖) 則 ， , ∴ ∴腔內(nèi)場強是均勻的． 8-14 一電偶極子由=1.010-6C的

9、兩個異號點電荷組成，兩電荷距離d=0.2cm，把這電偶極子放在1.0105NC-1的外電場中，求外電場作用于電偶極子上的最大力矩． 解: ∵ 電偶極子在外場中受力矩 ∴ 代入數(shù)字 8-15 兩點電荷=1.510-8C，=3.010-8C，相距=42cm，要把它們之間的距離變?yōu)?25cm，需作多少功? 解: 外力需作的功 題8-16圖 8-16 如題8-16圖所示，在，兩點處放有電量分別為+,-的點電荷，間距離為2，現(xiàn)將另一正試驗點電荷從點經(jīng)過半圓弧移到點，求移動過程中電場力作的功． 解: 如題8-16圖示 ∴ 8-17 如題8-17圖

10、所示的絕緣細線上均勻分布著線密度為的正電荷,兩直導線的長度和半圓環(huán)的半徑都等于．試求環(huán)中心點處的場強和電勢． 解: (1)由于電荷均勻分布與對稱性，和段電荷在點產(chǎn)生的場強互相抵消，取 則產(chǎn)生點如圖，由于對稱性，點場強沿軸負方向 題8-17圖 ［］ (2) 電荷在點產(chǎn)生電勢，以 同理產(chǎn)生 半圓環(huán)產(chǎn)生 ∴ 8-18 一電子繞一帶均勻電荷的長直導線以2104ms-1的勻速率作圓周運動．求帶電直線上的線電荷密度．(電子質量=9.110-31kg，電子電量=1.6010-19C) 解: 設均勻帶電直線電荷密度為，在電子軌道處場強 電子受力大小 ∴

11、 得 8-19 空氣可以承受的場強的最大值為=30kVcm-1，超過這個數(shù)值時空氣要發(fā)生火花放電．今有一高壓平行板電容器，極板間距離為=0.5cm，求此電容器可承受的最高電壓． 解: 平行板電容器內(nèi)部近似為均勻電場 ∴ 8-20 根據(jù)場強與電勢的關系，求下列電場的場強：(1)點電荷的電場；(2)總電量為，半徑為的均勻帶電圓環(huán)軸上一點；*(3)偶極子的處(見題8-20圖)． 解: (1)點電荷 題 8-20 圖 ∴ 為方向單位矢量． (2)總電量，半徑為的均勻帶電圓環(huán)軸上一點電勢 ∴ (3)偶極子在處的一點電勢 ∴ 8-21 證明：對于兩個無限大的平

12、行平面帶電導體板(題8-21圖)來說，(1)相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相反；(2)相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相同． 證: 如題8-21圖所示，設兩導體、的四個平面均勻帶電的電荷面密度依次為，，， 題8-21圖 (1)則取與平面垂直且底面分別在、內(nèi)部的閉合柱面為高斯面時，有 ∴ 說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號相反； (2)在內(nèi)部任取一點，則其場強為零，并且它是由四個均勻帶電平面產(chǎn)生的場強疊加而成的，即 又∵ ∴ 說明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號相同． 8-22 三個平行金屬板，和的面積都是200cm2，

13、和相距4.0mm，與相距2.0 mm．，都接地，如題8-22圖所示．如果使板帶正電3.010-7C，略去邊緣效應，問板和板上的感應電荷各是多少?以地的電勢為零，則板的電勢是多少? 解: 如題8-22圖示，令板左側面電荷面密度為，右側面電荷面密度為 題8-22圖 (1)∵ ，即 ∴ ∴ 且 + 得 而 (2) 8-23 兩個半徑分別為和（＜)的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球殼帶電+，試計算： (1)外球殼上的電荷分布及電勢大??； (2)先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時外球殼的電荷分布及電勢； *(3)再使內(nèi)球殼接地，此時內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼

14、上的電勢的改變量． 解: (1)內(nèi)球帶電；球殼內(nèi)表面帶電則為,外表面帶電為，且均勻分布，其電勢 題8-23圖 (2)外殼接地時，外表面電荷入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為．所以球殼電勢由內(nèi)球與內(nèi)表面產(chǎn)生： (3)設此時內(nèi)球殼帶電量為；則外殼內(nèi)表面帶電量為，外殼外表面帶電量為(電荷守恒)，此時內(nèi)球殼電勢為零，且 得 外球殼上電勢 8-24 半徑為的金屬球離地面很遠，并用導線與地相聯(lián)，在與球心相距為處有一點電荷+，試求：金屬球上的感應電荷的電量． 解: 如題8-24圖所示，設金屬球感應電荷為，則球接地時電勢 8-24圖 由電勢疊加原理有：

15、 得 8-25 有三個大小相同的金屬小球，小球1，2帶有等量同號電荷，相距甚遠，其間的庫侖力為．試求： (1)用帶絕緣柄的不帶電小球3先后分別接觸1，2后移去，小球1，2之間的庫侖力； (2)小球3依次交替接觸小球1，2很多次后移去，小球1，2之間的庫侖力． 解: 由題意知 (1)小球接觸小球后，小球和小球均帶電 , 小球再與小球接觸后，小球與小球均帶電 ∴ 此時小球與小球間相互作用力 (2)小球依次交替接觸小球、很多次后，每個小球帶電量均為. ∴ 小球、間的作用力 *8-26 如題8-26圖所示，一平行板電容器兩極板面積都是S，相距為，分別維持電勢=，=0

16、不變．現(xiàn)把一塊帶有電量的導體薄片平行地放在兩極板正中間，片的面積也是S，片的厚度略去不計．求導體薄片的電勢． 解: 依次設,,從上到下的個表面的面電荷密度分別為，，，,,如圖所示．由靜電平衡條件，電荷守恒定律及維持可得以下個方程 題8-26圖 解得 所以間電場 注意：因為片帶電，所以，若片不帶電，顯然 8-27 在半徑為的金屬球之外包有一層外半徑為的均勻電介質球殼，介質相對介電常數(shù)為，金屬球帶電．試求： (1)電介質內(nèi)、外的場強； (2)電介質層內(nèi)、外的電勢； (3)金屬球的電勢． 解: 利用有介質時的高斯定理 (1)介質內(nèi)場強 ; 介質外場強

17、 (2)介質外電勢 介質內(nèi)電勢 (3)金屬球的電勢 8-28 如題8-28圖所示，在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對介電常數(shù)為的電介質．試求：在有電介質部分和無電介質部分極板上自由電荷面密度的比值． 解: 如題8-28圖所示，充滿電介質部分場強為，真空部分場強為，自由電荷面密度分別為與 由得 ， 而 , ∴ 題8-28圖 題8-29圖 8-29 兩個同軸的圓柱面，長度均為，半徑分別為和(＞)，且>>-，兩柱面之間充有介電常數(shù)的均勻電介質.當兩圓柱面分別帶等量異號電荷和-時，求： (1)在半徑處(＜＜＝，厚度為dr，長為的圓柱

18、薄殼中任一點的電場能量密度和整個薄殼中的電場能量； (2)電介質中的總電場能量； (3)圓柱形電容器的電容． 解: 取半徑為的同軸圓柱面 則 當時， ∴ (1)電場能量密度 薄殼中 (2)電介質中總電場能量 (3)電容：∵ ∴ *8-30 金屬球殼和的中心相距為，和原來都不帶電．現(xiàn)在的中心放一點電荷，在的中心放一點電荷，如題8-30圖所示．試求： (1) 對作用的庫侖力，有無加速度； (2)去掉金屬殼，求作用在上的庫侖力，此時有無加速度． 解: (1)作用在的庫侖力仍滿足庫侖定律，即 但處于金屬球殼中心，它受合力為零，沒有加速度． (2)去

19、掉金屬殼，作用在上的庫侖力仍是，但此時受合力不為零，有加速度． 題8-30圖 題8-31圖 8-31 如題8-31圖所示，=0.25F，=0.15F，=0.20F ．上電壓為50V．求：． 解: 電容上電量 電容與并聯(lián) 其上電荷 ∴ 8-32 和兩電容器分別標明“200 pF、500 V”和“300 pF、900 V”，把它們串聯(lián)起來后等值電容是多少?如果兩端加上1000 V的電壓，是否會擊穿? 解: (1) 與串聯(lián)后電容 (2)串聯(lián)后電壓比 ，而 ∴ , 即電容電壓超過耐壓值會擊穿，然后也擊穿． 8-33 將兩個電容器和充電到相等的電壓以后切斷電

20、源，再將每一電容器的正極板與另一電容器的負極板相聯(lián)．試求： (1)每個電容器的最終電荷； (2)電場能量的損失． 解: 如題8-33圖所示，設聯(lián)接后兩電容器帶電分別為, 題8-33圖 則 解得 (1) (2)電場能量損失 8-34 半徑為=2.0cm 的導體球，外套有一同心的導體球殼，殼的內(nèi)、外半徑分別為=4.0cm和=5.0cm，當內(nèi)球帶電荷=3.010-8C時，求： (1)整個電場儲存的能量； (2)如果將導體殼接地，計算儲存的能量； (3)此電容器的電容值． 解: 如圖，內(nèi)球帶電，外球殼內(nèi)表面帶電，外表面帶電 題8-34圖 (1)在和區(qū)域 在時 時 ∴在區(qū)域 在區(qū)域 ∴ 總能量 (2)導體殼接地時，只有時, ∴ (3)電容器電容