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1、陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文 畢業(yè)論文 題 目 積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用 學(xué)生姓名 李 正 邦 學(xué)號(hào) 0609014168 所在院(系) 數(shù) 學(xué) 系 專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2006級(jí)5班 指導(dǎo)教師 李 金 龍 完成地點(diǎn) 陜西理工學(xué)院

2、 2010年 5月 30日  積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用優(yōu)秀論文 范慕斯 （云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)20111級(jí)2班） 指導(dǎo)老師：成龍 [摘 要] 本文主要介紹了積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)及幾點(diǎn)主要應(yīng)用,這些應(yīng)用主要是：一.求函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的平均值;二.估計(jì)定積分的值;三.求含有定積分的極限;四.確定積分的符號(hào);五.證明中值的存在性命題;六.證明積分不等式;七.證明函數(shù)的單調(diào)性. [關(guān)鍵詞] 積分;中值;定理;應(yīng)用 1 引言 積分中值定理是數(shù)學(xué)分析中的主要定理之一,同時(shí)也是定積分的一個(gè)主要性質(zhì),它建立了積分和被積函

3、數(shù)之間的關(guān)系,從而我們可以通過(guò)被積函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究部分的性質(zhì),有較高的理論價(jià)值和廣泛應(yīng)用.本文就其在解題中的應(yīng)用進(jìn)行討論. 2 預(yù)備知識(shí) 定理 2.1[1] (積分第一中值定理) 若在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)使得 . 證明 由于在區(qū)間[a,b]上連續(xù),因此存在最大值和最小值.由 , 使用積分不等式性質(zhì)得到 , 或 . 再由連續(xù)函數(shù)的介值性,至少存在一點(diǎn),使得 定理 2.2[1] (推廣的積分第一中值定理) 若在閉區(qū)間上連續(xù),且在上不變號(hào),則在至少存在一點(diǎn),使得 證明 推廣的第一中值積分定理 不妨設(shè)在上則在上有 其中,分

4、別為在上的最小值和最大值,則有 若,則由上式知,從而對(duì)上任何一點(diǎn),定理都成立. 若則由上式得 則在上至少存在一點(diǎn),使得 即 顯然,當(dāng)時(shí),推廣的積分第一中值定理就是積分中值定理 3 積分中值定理的應(yīng)用 由于積分中值定理可以使積分號(hào)去掉,從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化,對(duì)于證明包含函數(shù)積分和某個(gè)函數(shù)值之間關(guān)系的等式和不等式,也可以考慮使用積分中值定理. 在使用積分中值定理時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： (1) 在應(yīng)用中要注意被積函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)這一條件,否則,結(jié)論不一定成立. 例如 ,顯然在處間斷. 由于 但在上,,所以,對(duì)任何都不能使 . (2) 定理中的在區(qū)

5、間上不變號(hào)這個(gè)條件也不能去掉. 例如 令 由于 , 但 所以,不存在 , 使 (3) 定理中所指出的并不一定是唯一的,也不一定必須是的內(nèi)點(diǎn). 例如 令,則對(duì)都有 , 這也說(shuō)明了未必在區(qū)間的內(nèi)點(diǎn). 下面就就其應(yīng)用進(jìn)行討論. 3.1 求函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的平均值 例1 試求在上的平均值. 解 平均值 例2 試求心形線上各點(diǎn)極經(jīng)的平均值. 解 平均值 注 在解某區(qū)間上一個(gè)函數(shù)的平均值時(shí),我們只需要在這個(gè)區(qū)間上對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分,然后積分結(jié)果除以區(qū)間的差值.在這里主要是應(yīng)用了積分第一中值定理,所以求解其類問(wèn)題時(shí),一定要理解積分中值定理的

6、定義. 3.2 估計(jì)定積分的值 例3 估計(jì)的值. 解 由推廣的積分第一中值定理,得 其中 因?yàn)? 所以 即 故 例 4 估計(jì)的值. 解 因?yàn)樵谏线B續(xù),且 ,, 所以由積分第一中值定理有 . 在估計(jì)其類積分的值時(shí),首先我們要確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)的基礎(chǔ)上確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值和最小值,然后再利用積分中值定理就迎刃而解了. 例 5 估計(jì)的值. 解 因?yàn)樵谏线B續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), 且在內(nèi)無(wú)解, 即 , 等號(hào)僅在時(shí)成立.故在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增, 即 , 所以由積分第一中值定理有 . 在估計(jì)其類積分的值

7、時(shí),首先要確定要積分的函數(shù)在積分閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo),然后判斷函數(shù)在積分區(qū)間上的單調(diào)性,最后利用積分中值定理就可以估計(jì)積分的值了. 綜上,在利用積分中值定理估計(jì)積分的值時(shí),我們要根據(jù)不同的題型給出不同的解決方法,這也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸要培養(yǎng)的,積累的好習(xí)慣. 3.3 求含有定積分的極限 例6 求極限為自然數(shù). 解 利用中值定理,得 因?yàn)樵谏线B續(xù),由積分中值定理得 當(dāng)時(shí),,而||. 故 ==0. 例7 求. 解 若直接用中值定理 =, 因?yàn)槎荒車?yán)格斷定,其癥結(jié)在于沒(méi)有排除,故采取下列措施 =+. 其中為任意小的正數(shù). 對(duì)第一積分中值定理使

8、用推廣的積分第一中值定理,有 . =,. 而第二個(gè)積分 =, 由于得任意性知其課任意小. 所以 =+=0. 注 求解其類問(wèn)題的關(guān)鍵是使用積分中值定理去掉積分符號(hào).在應(yīng)用該定理時(shí),要注中值不僅依賴于積分區(qū)間,而且還依賴于根式中自變量的趨近方式. 3.4 確定積分的符號(hào) 例8 確定積分的符號(hào). 解 =+=+=+ =-+ = 利用積分中值定理,得 =0.(其中) 又在上不恒等于0,故. 注 在解決其類題時(shí),我們常常會(huì)以0作為上下限的中介點(diǎn),然后把原積分寫成以0為中介點(diǎn)的兩個(gè)積分的和,積分化就成兩個(gè)以0為中介

9、點(diǎn)且上下限一樣的積分相加,最后利用積分中值定理確定積分的符號(hào).這里主要使用了積分中值定理和函數(shù)的單調(diào)性. 3.5 證明中值的存在性命題 例9 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且 ,證明,使, 證明 由積分中值定理得 ,（其中） 又因?yàn)樵谏线B續(xù),在內(nèi)可導(dǎo). 故在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,可存在一點(diǎn),使. 注 在證明有關(guān)題設(shè)中含有抽象函數(shù)的定積分等式時(shí),一般應(yīng)用積分中值定理求解,掌握積分中值定理在解此類問(wèn)題時(shí)至關(guān)重要,是我們必須要好好掌握的. 3.6 證明不等式 例10 求證 證明 其中,于是由即可獲證. 例 11 證明 . 證明 估計(jì)連續(xù)函數(shù)的積分值的

10、一般的方法是求在的最大值和最小值,則 . 因?yàn)? , 所以 . 例 12 證明 證明 估計(jì)積分的一般的方法是:求在的最大值和最小值,又若,則 . 本題中令 . 因?yàn)? 所以 . 例13 證明. 證明 在區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值. ,令,得駐點(diǎn). 比較,,知為在上的最小值,而為在上的最大值.由積分中值定理得 , 即 . 注 由于積分具有許多特殊的運(yùn)算性質(zhì),故積分不等式的證明往往富有很強(qiáng)的技巧性.在證明含有定積分的不等式時(shí),也常考慮用積分中值定理,以便去掉積分符號(hào),若被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之積時(shí),可考慮用廣義積分中值定理.如果

11、在證明如11和12例題時(shí),可以根據(jù)估計(jì)定積分的值在證明比較簡(jiǎn)單方便. 3.7 證明函數(shù)的單調(diào)性 例 14 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),,試證:在內(nèi),若為非減函數(shù),則為非增函數(shù). 證明 , 對(duì)上式求導(dǎo),得 利用積分中值定理,得 , 若為非減函數(shù),則, 所以,故為非減函數(shù). 綜上所述,積分中值定理在應(yīng)用中所起到的重要作用是可以使積分號(hào)去掉,從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.因此,對(duì)于證明有關(guān)題設(shè)中含有某個(gè)函數(shù)積分的等式或不等式,或者要證的結(jié)論中含有定積分,或者所求的極限式中含有定積分時(shí),一般應(yīng)考慮使用積分中值定理,去掉積分號(hào).在使用該定理時(shí),常與微分中值定理或定積分的其他一些性質(zhì)結(jié)合使用,

12、是所求問(wèn)題迎刃而解. 參考文獻(xiàn) [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2001.217-219. [2]張筑生.數(shù)學(xué)分析新講[M].北京:北京大學(xué)出版社,1990.92-95. [3] 劉玉蓮,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].第二版.北京:高等教育出版社,1996.43-47. [4]劉鴻基.數(shù)學(xué)分析習(xí)題講義[M].江蘇:中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社,1999.85-92. [5]石建成,李佩芝,徐文雄.高等數(shù)學(xué)例題與習(xí)題集[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,2002.168-170. [6]李惜雯.數(shù)學(xué)分析例題解析及難點(diǎn)注釋[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,2004.

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15、Grade06,Class5, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi) Tutor:Li Jinlong Abstract: This paper describes the mean value theorem in mathematical analysis application note and a few of the major applicatio

16、ns.These applications are mainly:1. Demand function in an interval on the average;2. The estimated value of definite integral;3. Order to contain the limits of definite integrals;4.Define integral of symbol;5. Proof of the existence of the value proposition;6. To prove integral inequality,7. To prove monotonicity of a function. Key words: intergral;average-value;theory;applied. 第 10 頁(yè) 共 10 頁(yè)