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1、菁優(yōu)網(wǎng) 【章節(jié)訓(xùn)練】第13章 全等三角形-3 【章節(jié)訓(xùn)練】第13章 全等三角形-3 　 一、選擇題（共2小題） 1．（2010?東陽市）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為（　?。? 　 A． 40° B． 100° C． 40°或100° D． 70°或50° 　 2．（2010?柳州）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為（　?。? 　 A． 10° B． 15° C． 20° D． 12.5° 　 二、填空題（共5小題）（除非特別說明，請(qǐng)?zhí)顪?zhǔn)確值）

2、 3．（2009?江津區(qū)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，腰長(zhǎng)為4cm，則其腰上的高為　_________　cm． 　 4．（2009?清遠(yuǎn)）如圖，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A=110°，∠B=40°，則∠C1=　_________　°． 　 5．（2009?寧夏）如圖，△ABC的周長(zhǎng)為32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周長(zhǎng)為24，那么AD的長(zhǎng)為　_________?。? 　 6．（2009?麗水）如圖，圖①是一塊邊長(zhǎng)為1，周長(zhǎng)記為P1的等邊三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長(zhǎng)為的等邊三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的等邊三

3、角形紙板（即其邊長(zhǎng)為前一塊被剪掉等邊三角形紙板邊長(zhǎng)的）后，得圖③，④，…，記第n（n≥3）塊紙板的周長(zhǎng)為Pn，則Pn﹣Pn﹣1=　_________?。? 　 7．（2009?黃岡）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，則∠B等于　_________?。? 　 三、解答題（共5小題）（選答題，不自動(dòng)判卷） 8．（2010?鞍山）旗桿、樹和竹竿都垂直于地面且一字排列，在路燈下樹和竹竿的影子的方位和長(zhǎng)短如圖所示．請(qǐng)根據(jù)圖上的信息標(biāo)出燈泡的位置（用點(diǎn)P表示），再作出旗桿的影子（用線段字母表示）．（不寫作法，保留作圖痕跡） 　 9．（200

4、9?肇慶）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE． （1）求證：∠CBE=36°； （2）求證：AE2=AC?EC． 　 10．（2009?肇慶）如圖，ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于O，∠ACD=30°，BD=6． （1）求證：△ABD是正三角形； （2）求AC的長(zhǎng)（結(jié)果可保留根號(hào)）． 　 11．（2009?重慶）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE=AC． （1）求證：BG=FG； （2）若AD=DC=2，求A

5、B的長(zhǎng)． 　 12．（2009?中山）如圖所示，△ABC是等邊三角形，D點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CD． （1）用尺規(guī)作圖的方法，過D點(diǎn)作DM⊥BE，垂足是M；（不寫作法，保留作圖痕跡） （2）求證：BM=EM． 　 【章節(jié)訓(xùn)練】第13章 全等三角形-3 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共2小題） 1．（2010?東陽市）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為（　?。? 　 A． 40° B． 100° C． 40°或100° D． 70°或50° 考點(diǎn)： 等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題：

6、分類討論． 分析： 此題要分情況考慮：40°是等腰三角形的底角或40°是等腰三角形的頂角．再進(jìn)一步根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算． 解答： 解：當(dāng)40°是等腰三角形的頂角時(shí)，則頂角就是40°； 當(dāng)40°是等腰三角形的底角時(shí)，則頂角是180°﹣40°×2=100°． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 注意：當(dāng)?shù)妊切沃杏幸粋€(gè)角是銳角時(shí)，可能是它的底角，也可能是它的頂角；當(dāng)?shù)妊切沃杏幸粋€(gè)角是銳角時(shí)，只能是它的頂角． 　 2．（2010?柳州）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為（　　） 　 A． 10° B． 15° C． 20

7、° D． 12.5° 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計(jì)算題． 分析： 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可得到AB=AE，從而可求得∠BAE的度數(shù)，則∠AEB的度數(shù)就不難求了． 解答： 解：根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)可知AB=AE ∴∠BAE=90°+60°=150° ∴∠AEB=（180°﹣150°）÷2=15° 故選B 點(diǎn)評(píng)： 主要考查了正方形和等邊三角形的特殊性質(zhì)． 　 二、填空題（共5小題）（除非特別說明，請(qǐng)?zhí)顪?zhǔn)確值） 3．（2009?江津區(qū)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，腰長(zhǎng)為4cm，則其腰上的

8、高為　2　cm． 考點(diǎn)： 解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： 在等腰三角形腰上的高與另一腰構(gòu)建的直角三角形中，已知了30°的特殊角，通過解直角三角形即可求出高的長(zhǎng)度． 解答： 解：如圖，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=4cm， 所以，BD=AB?cos30°=4×=2（cm）． 故答案為：2． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用． 　 4．（2009?清遠(yuǎn)）如圖，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A=110°，∠B=40°，則∠C1=　30　°． 考點(diǎn)： 全等三角形的性質(zhì)．菁

9、優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： 本題實(shí)際上是全等三角形的性質(zhì)以及根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°來求角的度數(shù)． 解答： 解：∵△ABC≌△A1B1C1， ∴∠C1=∠C， 又∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣110°﹣40°=30°， ∴∠C1=∠C=30°． 故答案為：30． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的性質(zhì)；解答時(shí)，除必備的知識(shí)外，還應(yīng)將條件和所求聯(lián)系起來，即將所求的角與已知角通過全等及三角形內(nèi)角之間的關(guān)系聯(lián)系起來． 　 5．（2009?寧夏）如圖，△ABC的周長(zhǎng)為32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周長(zhǎng)為24，那么AD的長(zhǎng)為　8?。?

10、 考點(diǎn)： 等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： 由已知條件根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到BD=DC，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)定義求解． 解答： 解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC． ∵AB+AC+BC=32， 即AB+BD+CD+AC=32， ∴AC+DC=16 ∴AC+DC+AD=24 ∴AD=8． 故填8． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查等腰三角形的性質(zhì)；由已知條件結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)并利用AC+CD是△ABC的周長(zhǎng)的一半是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 6．（2009?麗水）如圖，圖①是一塊邊長(zhǎng)為1，周長(zhǎng)記為P1的等邊三角形紙板，沿圖①的底邊剪去

11、一塊邊長(zhǎng)為的等邊三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的等邊三角形紙板（即其邊長(zhǎng)為前一塊被剪掉等邊三角形紙板邊長(zhǎng)的）后，得圖③，④，…，記第n（n≥3）塊紙板的周長(zhǎng)為Pn，則Pn﹣Pn﹣1=　　． 考點(diǎn)： 等邊三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題；規(guī)律型． 分析： 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)（三邊相等）求出等邊三角形的周長(zhǎng)P1，P2，P3，P4，根據(jù)周長(zhǎng)相減的結(jié)果能找到規(guī)律即可求出答案． 解答： 解：∵P1=1+1+1=3， P2=1+1+=， P3=1+1+×3=， P4=1+1+×2+×3=， … ∴p3﹣p2=﹣==； P4﹣P3=﹣=

12、=， … 則Pn﹣Pn﹣1=， 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了等邊三角形的性質(zhì)；要求學(xué)生通過觀察圖形，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題． 　 7．（2009?黃岡）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，則∠B等于　70°或20°?。? 考點(diǎn)： 線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 分類討論． 分析： 此題根據(jù)△ABC中∠A為銳角與鈍角分為兩種情況，當(dāng)∠A為銳角時(shí)，∠B等于70°，當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，∠B等于20度． 解答： 解：根據(jù)△ABC中∠A為銳角與鈍角，分為兩種情況： ①當(dāng)∠

13、A為銳角時(shí)， ∵AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°， ∴∠A=40°， ∴∠B===70°； ②當(dāng)∠A為鈍角時(shí)， ∵AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°， ∴∠1=40°， ∴∠BAC=140°， ∴∠B=∠C==20°． 故答案為：70°或20°． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)；分類討論的應(yīng)用是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（共5小題）（選答題，不自動(dòng)判卷） 8．（2010?鞍山）旗桿、樹和竹竿都垂直于地面且一字排列，在路燈下樹和竹竿的影子的方位和長(zhǎng)短如圖所示．請(qǐng)根據(jù)圖上的信息標(biāo)出燈泡

14、的位置（用點(diǎn)P表示），再作出旗桿的影子（用線段字母表示）．（不寫作法，保留作圖痕跡） 考點(diǎn)： 作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；中心投影．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 作圖題；壓軸題． 分析： 根據(jù)中心投影的特點(diǎn)可知，連接物體和它影子的頂端所形成的直線必定經(jīng)過點(diǎn)光源．所以分別把樹木和竹竿的頂端和影子的頂端連接并延長(zhǎng)可交于一點(diǎn)，即點(diǎn)光源的位置，再由點(diǎn)光源出發(fā)連接旗桿頂部的直線與地面相交即可找到旗桿影子的頂端． 解答： 解：線段MN是旗桿在路燈下的影子． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查平行投影和中心投影的作圖，難度不大，體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)要注重基礎(chǔ)知識(shí)的新課標(biāo)理念．解題的關(guān)鍵是要知道：連接物體和它影子的頂端

15、所形成的直線必定經(jīng)過點(diǎn)光源． 　 9．（2009?肇慶）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE． （1）求證：∠CBE=36°； （2）求證：AE2=AC?EC． 考點(diǎn)： 線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 證明題． 分析： （1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得EA=EB，進(jìn)而可求出∠ABC=∠C，易求解． （2）先由（1）的結(jié)論可證得△ABC∽△BEC，根據(jù)比例即可證明． 解答： 證明：（1）∵DE是AB的垂直平分線， ∴EA=EB， ∴∠EBA=

16、∠A=36°．（1分） ∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°．（2分） ∴∠CBE=∠ABC﹣∠EBA=36°．（3分） （2）由（1）得，在△BCE中，∠C=72°，∠CBE=36°， ∴∠BEC=∠C=72°， ∴BC=BE=AE．（4分） 在△ABC與△BEC中，∠CBE=∠A，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BEC．（6分） ∴， 即BC2=AC?EC．（7分） 故AE2=AC?EC．（8分） 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是證明BC=BE=AE． 　 10．（2009?肇慶）如圖

17、，ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于O，∠ACD=30°，BD=6． （1）求證：△ABD是正三角形； （2）求AC的長(zhǎng)（結(jié)果可保留根號(hào)）． 考點(diǎn)： 菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 幾何綜合題． 分析： （1）菱形的邊AB=AD，即已知兩邊相等，再尋找一個(gè)角為60°，即可證明△ABD是正三角形； （2）先求OC的長(zhǎng)，再求AC． 解答： （1）證明：∵AC是菱形ABCD的對(duì)角線， ∴AC平分∠BCD． ∵∠ACD=30°， ∴∠BCD=60°．（1分） ∵∠BAD與∠BCD是菱形的一組對(duì)角， ∴∠BAD=∠BCD=60°．（2分）

18、 ∵AB、AD是菱形的兩條邊， ∴AB=AD．（3分） ∴△ABD是正三角形．（4分） （2）解：∵O為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)， ∴AC=2OC，OD=BD=3，∠COD=90°．（5分） 在Rt△COD中，=tan∠OCD=tan30°， ∴OC===3．（6分） ∴AC=2OC=． 答：AC的長(zhǎng)為．（7分） 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定． 　 11．（2009?重慶）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE=AC． （1）求證：BG=FG； （2）若AD=DC

19、=2，求AB的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 直角梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 幾何綜合題；壓軸題． 分析： （1）由題中可求得AE和AC所在的三角形全等，進(jìn)而得到BG和FG所在三角形全等的條件； （2）求得AF長(zhǎng)即可求得AB長(zhǎng)．利用等腰三角形的三線合一定理可得AF=AC=AE，進(jìn)而求得一些角是30°，主要利用AD長(zhǎng)，直角三角形勾股定理來求解． 解答： （1）證明：連接AG， ∵∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F， ∴∠ABC=∠AFE． 在△ABC和△AFE中， ∴△ABC≌△AFE（AAS）， ∴AB=AF． 在Rt△ABG

20、和Rt△AFG中， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）． ∴BG=FG； （2）解：∵AD=DC，DF⊥AC， ∴F為AC中點(diǎn)， ∵AC=AE， ∴AF=AC=AE． ∴∠E=30°． ∵∠EAD=90°， ∴∠ADE=60°， ∴∠FAD=∠E=30°， ∴AF=． ∴AB=AF=． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查直角梯形、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)．突破此題的關(guān)鍵在于第一問通過兩次全等證Rt△ABG≌Rt△AFG，第二問求AB的長(zhǎng)應(yīng)充分利用等腰△ADC的性質(zhì)得AF=AC=AE．從而得出∠E=30°． 　 12．（2009

21、?中山）如圖所示，△ABC是等邊三角形，D點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CD． （1）用尺規(guī)作圖的方法，過D點(diǎn)作DM⊥BE，垂足是M；（不寫作法，保留作圖痕跡） （2）求證：BM=EM． 考點(diǎn)： 等邊三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 作圖題． 分析： （1）按照過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線步驟做； （2）要證BM=EM可證BD=DE，根據(jù)三線合一得出BM=EM． 解答： （1）解：作圖如下； （2）證明：∵△ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn) ∴BD平分∠ABC（三線合一） ∴∠ABC=2∠DBE ∵CE=CD ∴∠CED=∠CDE 又∵∠ACB=∠CED+∠CDE ∴∠ACB=2∠E 又∵∠ABC=∠ACB ∴2∠DBC=2∠E ∴∠DBC=∠E ∴BD=DE 又∵DM⊥BE ∴BM=EM． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線及考查了等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)；作圖題要注意保留做題痕跡．證得BD=DE是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 ?2010-2014 菁優(yōu)網(wǎng)