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1、 第一講 解不等式 本節(jié)主要內(nèi)容為高次不等、分式不等式、無(wú)理不等式、指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、含絕對(duì)值的不等式的解法． 解不等式的根據(jù)是不等式的性質(zhì)和不等式的同解原理． 解不等式與解方程以及寒暑地圖象、性質(zhì)有著較為密切的聯(lián)系，它們互相轉(zhuǎn)化、相互滲透，又有所區(qū)別． A類例題 例1 解不等式 解：對(duì)任意x，，因此該式可省略，再把6－x變?yōu)閤－6，不等號(hào)方向作相應(yīng)改變，即原不等式與不等式同解． 用數(shù)軸標(biāo)根法 －1 0 4 6 原不等式的解集為 說(shuō)明：高于二次的不等式稱為高次不等式．解高次不等式一般都將多項(xiàng)式盡可能地分解，使每個(gè)因式成為一次或二次式

2、，而且各因式中x的最高次數(shù)的那一項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)為正數(shù)． 鏈接：早年，人們解高次不等式都要列表，過(guò)程有點(diǎn)繁．1977年美國(guó)人普魯特和莫里（M.H.protter, C.B.Morrey）將列表法簡(jiǎn)化為數(shù)軸上直接表示的方法，既快捷又方便，答案在數(shù)軸上一目了然． 例2 解不等式 解：（1）當(dāng)x>0時(shí)，原不等式化為 ； （2）當(dāng)x<0時(shí)，原不等式化為 . 綜合（1）（2），原不等式的解集為 說(shuō)明：解不等式講究一個(gè)“化”字，也就是將原不等式化為同解的最簡(jiǎn)單的不等式． 解分式不等式時(shí)都是把它化成同解的整式不等式．例如不等式與不等式同解，也就是與同解． 一般情況下分式不等式是

3、不能去分母的，但若能判定分母恒大于0或恒小于0，則可以去分母． 例3 解不等式 （1985年 全國(guó)高考題.理科） 解：原不等式化為 （1） 或 （2） 對(duì)于（1） 對(duì)于（2） 因此，原不等式的解集為 說(shuō)明：解無(wú)理不等式時(shí)，為了化成有理不等式，一般都有乘方．但這時(shí)候一定要注意式子的取值范圍，否則乘方后會(huì)破壞不等式的同解性．例如x=1是不等式解集中的一個(gè)元素，而x=1就不是不等式解集中的元素． 一般地， 另外在解題過(guò)程忠，集合之間的“交”、“并”

4、關(guān)系也必須理清楚，這樣才能保證答案的正確性． 情景再現(xiàn) 1. 解不等式 2. 設(shè)a>0，解關(guān)于x的不等式 3. 設(shè)函數(shù)，其中a>0，解不等式 （2000年全國(guó)高考題.理科） B類例題 例4 解不等式 分析：這是一個(gè)指數(shù)不等式．注意到其底數(shù)4、6、9有如下關(guān)系，，，因此類似于解指數(shù)方程，可以將不等式兩邊同除以． 解：原不等式化為 令，則 ，則有 原不等式的解為 說(shuō)明：為減函數(shù)，疏忽了這一點(diǎn)，解的最后一步就會(huì)出錯(cuò)．解指數(shù)不等式一般應(yīng)先解出的范圍，進(jìn)而再求x的范圍． 例5 若，解不等式 解：令，由對(duì)數(shù)換底公式，原不等式化為 ．由數(shù)軸標(biāo)根法得： －3 0 2

5、 ，注意到 說(shuō)明：由，得，注意到中，，因此這部分的結(jié)果應(yīng)是．如僅寫成那就不正確了． 例6 使成立的x的取值范圍是___________ （2003年全國(guó)高考題.理科） 分析：不等式的左邊是含x的對(duì)數(shù)式，右邊是x的一次式，這種不等式用通常的推理方法是無(wú)法求解的，因此考慮圖象法． 解：如下圖，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)與的圖象（它們的共同定義域?yàn)椋畯膱D象上看出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的圖象在圖象的上方，因此x的取值范圍為． 0 x y y=log2(－x) y= x＋1(x＜0) 例7 解不等式 1. 2.

6、 （2004年全國(guó)聯(lián)賽四川省初賽） 3. 解：1. 原不等式化為 （1） 或 （2） 對(duì)于（1）解得，對(duì)于（2）解得．取其并集，因此原不等式解集為 2. 原不等式化為 ，因此，原不等式解集為 3. 分析：則，則．?dāng)?shù)1和2將數(shù)軸分為三段，依據(jù)絕對(duì)值的定義，通過(guò)分段討論把絕對(duì)值的不等式化為不含絕對(duì)值的不等式． 解法一 劃分區(qū)間分類討論： 時(shí)，原不等式化為 時(shí)，原不等式化為 時(shí)，原不等式化為 綜上，原不等式解集為 解法二 構(gòu)造函數(shù)，畫圖象： 令，，

7、 可得，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出和的圖象，可求得A（0，3），B（6，9）．因?yàn)?，所以原不等式解集? 0 x y y=g (x) y=f(x) A B 說(shuō)明：本例三個(gè)小題的解法在對(duì)待含絕對(duì)值的不等式上，具有普遍意義，是通法． 鏈接：一般地，與或同解，與同解．有些不等式用圖象法既準(zhǔn)確又直觀，在特定條件下這種做法別的方法不能取代． 例8 設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足不等式，試確定a，b的正、負(fù)． 解：由已知得 ，由于，因此立得，約去-a得 ，a為負(fù)數(shù)且b為正數(shù)． 鏈接：如a，b是實(shí)數(shù)，則．這是去掉絕對(duì)值的又一途徑． 情景再現(xiàn)

8、 4. 不等式的解是__________ （2003年上海高中數(shù)學(xué)奧林匹克） 5. 設(shè) （，），求使y為負(fù)值的x的取值范圍． （上海1998年高考題） 6. 求函數(shù)的定義域． （上海1989年高考題） 7. 1）不等式的解集是__________ （2003年全國(guó)聯(lián)賽題） 2）不等式組的解集為__________ （1997年全國(guó)高考題） 3）的解集為__________ C類例題 例9 若關(guān)于x的不等式的解集是一些區(qū)間的并集，且這些區(qū)間的

9、長(zhǎng)度的和不小于4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________ （2001年上海高中數(shù)學(xué)奧林匹克） 分析：區(qū)間的長(zhǎng)度取決于數(shù)軸上點(diǎn)與點(diǎn)的距離．因此本題應(yīng)從整體著眼研究根的分布，應(yīng)用韋達(dá)定理．如果求一個(gè)個(gè)根的數(shù)值勢(shì)必會(huì)陷入繁冗的計(jì)算之中，解題效率極低． 解：，令，，則方程及都各有兩個(gè)實(shí)根，容易判斷這兩個(gè)方程的根有兩正兩負(fù)，而且互不相等． 設(shè)的根為，，，不妨設(shè)．又設(shè)的根為，，則，令，由韋達(dá)定理 ，所以．我們證明 反證： 設(shè)，又 （），這樣便有 ，此與已有事實(shí)矛盾，故．再由及，得．因此有．

10、 原不等式等價(jià)于，由數(shù)軸標(biāo)根法，得原不等式解為，區(qū)間長(zhǎng)度之和為． x1 0 x2 x3 x4 由題設(shè)，這就是a的取值范圍． 說(shuō)明：以上過(guò)程稍長(zhǎng)，主要是對(duì)根的分布情況作了嚴(yán)格論證，解填空題，只要關(guān)鍵之處能把握得準(zhǔn)，中間過(guò)程可大大壓縮． 例10 設(shè)為常數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，且有，求的取值范圍． （據(jù)2003年全國(guó)高考天津卷試題改編） 解：由的表達(dá)式，，對(duì)于任意正整數(shù)，等價(jià)于 （1） i） 當(dāng)時(shí)，（1）式即為 ，為單調(diào)增，因此此時(shí)應(yīng)小于的最小值（）時(shí)，，得． ii） 當(dāng)時(shí)，（1）式即為 ，此時(shí)應(yīng)大于的最大值（）時(shí)， ，即． 對(duì)取奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，總有，

11、那么． 說(shuō)明：由于與的差式中含有，而的符號(hào)不確定，因此對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)討論就是順理成章的事，當(dāng)然也是解這道題的必經(jīng)之路． 例11 解不等式 解：原不等式化為 一、 或 二、 不等式組一化為 不等式組二化為 1）時(shí)，即，解集為． 2）時(shí)，原不等式二化為，由于 （時(shí)取等號(hào)），因此不等式解為 3）時(shí)，原不等式二化為，由于 （時(shí)），因此不等式解為． 將不等式組一、二并便得原不等式解為： 時(shí)，． 時(shí)，． 時(shí)，． 說(shuō)明：對(duì)含參數(shù)的不等式，除去原有的基本解法之外，還要學(xué)會(huì)討論，討論要把握住時(shí)機(jī)和線索．本題就是以的取值為線索，條

12、理清楚有分有合，不重復(fù)不遺漏，步步緊扣，一氣呵成．善于討論是學(xué)好數(shù)學(xué)的必備基本功． 例12 1. 設(shè)，，證明 2. 解不等式 1. 證明： ，因此． 4 0 u y=log5(1+u) y=log4u y 2. 分析：原不等式等價(jià)于不等式，直覺(jué)告訴我們時(shí)，．令 （），畫個(gè)圖象試試： 據(jù)圖象猜測(cè)時(shí)，． 解：1）時(shí)，，據(jù)本題1所證， ，因此是原不等式的解． 2）時(shí)， 3）時(shí)，，據(jù)本題1，時(shí)，，可得 ． 綜合1），2），3）知，原不等式的解是． 情景再現(xiàn) 8. 解

13、不等式 （） （1999年全國(guó)高考試題） 9. 已知，設(shè) P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減．Q：不等式的解集為R．如果P和Q有且僅有一個(gè)正確，求的取值范圍． （2003年全國(guó)高考試題） 10. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且 （），求使不等式 成立的最小正整數(shù)． （2005年上海TI杯高二年級(jí)數(shù)學(xué)奧林匹克） 習(xí)題一 A類 1. 解不等式 2. 設(shè)集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍． （1999年上海高考試題） 3. 解不等式 B類 4. 已知，試求使方程有解的的取值范圍． （1989年全國(guó)高考試題）

14、5. 解不等式 6. 設(shè)，其中是實(shí)數(shù)，是任意給定的自然數(shù)，且．如果當(dāng)時(shí)有意義，求的取值范圍． （1990年全國(guó)高考試題） 7. 已知對(duì)實(shí)數(shù)a，b，不等式無(wú)解，求證． 8. ，解不等式 （2000年莫斯科大學(xué)數(shù)力系入學(xué)試題） 9. 解不等式 C類 10. 解不等式 11. 已知總滿足關(guān)于的不等式，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 12. 關(guān)于的不等式 （）在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 本節(jié)情景再現(xiàn)解答 1. 原不等式化為 －１ 0 2 1 原不等式解集為 2. 原不等式化為

15、 （1）或 （2）， 對(duì)于（1）解得，對(duì)于（2）解得，因此原不等式解集為 3. ，由此得（已知常數(shù)），，所以原不等式等價(jià)于，所以當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為 4. 原不等式化為，當(dāng)時(shí)，，所以不是不等式的解．時(shí)，，，因此也不是不等式的解．時(shí)，，，也就是，因此原不等式的解為 5. 據(jù)已知 當(dāng)時(shí)，解為． 當(dāng)時(shí)，解為． 當(dāng)時(shí)，解為． 6. 原問(wèn)題化為解不等式組，所以函數(shù)的定義域?yàn)? 7. 1），，由原不等式分解可得，由此得所求不等式解集為 2）原不等式化為，此即原不等式的解． 3）原不等式化為，因此原不等式的解集為 8. 原不等

16、式等價(jià)于 當(dāng)時(shí)，得所求解是 當(dāng)時(shí)，得所求解是 9. 函數(shù)單調(diào)減，不等式的解集為函數(shù)在R上恒大于1．因?yàn)?，所以，于是?yīng)有．如果P正確，且Q不正確，則．如果P不正確，且Q正確，則．所以的取值范圍是，本題也可以使用圖象法． 10. 容易求得該數(shù)列的通項(xiàng)公式為， ，所以所求最小正整數(shù) 本節(jié)習(xí)題解答 1. 原不等式等價(jià)于，得 2. 由得，所以，由得， ，因?yàn)?，所以，于? 3. 圖象法，及 0 x y 1 3 0 x y 1 3 0 x y 1 3 0 x y 1 3 0 x y 1 3

17、 時(shí)，無(wú)解． 時(shí)，解為． 時(shí)，解為． 時(shí)，解為． 時(shí)，無(wú)解． 4. 原方程的解應(yīng)滿足，由（1）得，時(shí)無(wú)解．時(shí)，解為，將此代入（2）得， ．即當(dāng)在集合內(nèi)取值時(shí)，原方程有解． 5. 解法一：原不等式化為 1）如，則有 2）如，則有或，得．綜合1），2）得原不等式的解為． 解法二：三角代換，令，，原不等式化為 ， ，即． 6. 當(dāng)時(shí)有意義的條件是，即，，在上都是增函數(shù)，從而它在時(shí)取得最大值，因此就是的取值范圍． 7. 依題意，對(duì)任意實(shí)數(shù)均有，取特殊值，依次有，相加得，即． 8. 原不等式化為 （1） 或 （2） 不等式組（1）無(wú)解，不等式組（2）的解為或．綜上，原不等式的解為 9. 原不等式化為 ，因此原不等式的解為 10. 令，原不等式化為 ，因此原不等式解為． 11. ，，所以，因此原不等式化為 ，即，在上恒成立，而，因此的取值范圍為． 12. 先求出不等式的解，解此不等式得：當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為．當(dāng)時(shí)，原不等式在[-4，-3]上不成立；當(dāng)時(shí)，滿足的充要條件為 ，這就是所求的取值范圍．