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1、第九章 解析幾何
學(xué)案34 直線及其方程
自主梳理
1.直線的傾斜角與斜率
(1)直線的傾斜角
①定義:當(dāng)直線l與x軸相交時,我們?nèi)軸作為基準(zhǔn),x軸________與直線l________方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為________.
②傾斜角的范圍為______________.
(2)直線的斜率
①定義:一條直線的傾斜角α的________叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,即k=________,傾斜角是90°的直線斜率不存在.
②過兩點的直線的斜率公式:
經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,
2、y2) (x1≠x2)的直線的斜率公式為k=______________________.
2.直線的方向向量
經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線的一個方向向量為,其坐標(biāo)為________________,當(dāng)斜率k存在時,方向向量的坐標(biāo)可記為(1,k).
3.直線的方程和方程的直線
已知二元一次方程Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)和坐標(biāo)平面上的直線l,如果直線l上任意一點的坐標(biāo)都是方程____________的解,并且以方程Ax+By+C=0的任意一個解作為點的坐標(biāo)都在__________,就稱直線l是方程Ax+By+C=0的直線,稱方程Ax+By+C=0是直線
3、l的方程.
4.直線方程的五種基本形式
名稱
方程
適用范圍
點斜式
不含直線x=x0
斜截式
不含垂直于x軸的直線
兩點式
不含直線x=x1 (x1≠x2)和直線y=y(tǒng)1(y1≠y2)
截距式
不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線
一般式
平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用
5.線段的中點坐標(biāo)公式
若點P1,P2的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),且線段P1P2的中點M的坐標(biāo)為(x,y),則此公式為線段P1P2的中點坐標(biāo)公式.
自我檢測
1.(2011·銀川調(diào)研)若A(-2,3),B(3,-2),C三點共線,則m的值為( )
A.
4、 B.- C.-2 D.2
2.直線l與兩條直線x-y-7=0,y=1分別交于P、Q兩點,線段PQ的中點為(1,-1),則直線l的斜率為( )
A.- B. C. D.-
3.下列四個命題中,假命題是( )
A.經(jīng)過定點P(x0,y0)的直線不一定都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
B.經(jīng)過兩個不同的點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)來表示
C.與兩條坐標(biāo)軸都相交的直線不一定可以用方程+=1表示
D.經(jīng)過點Q(0,b)的直線都可以表示為y=kx+b
4.(201
5、1·商丘期末)如果A·C<0,且B·C<0,那么直線Ax+By+C=0不通過( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.已知直線l的方向向量與向量a=(1,2)垂直,且直線l過點A(1,1),則直線l的方程為( )
A.x-2y-1=0 B.2x+y-3=0
C.x+2y+1=0 D.x+2y-3=0
探究點一 傾斜角與斜率
例1 已知兩點A(-1,-5)、B(3,-2),直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半,求l的斜率.
變式遷移1 直線xsin α-y+1=0的傾斜角
6、的變化范圍是( )
A. B.(0,π)
C. D.∪
探究點二 直線的方程
例2 (2011·武漢模擬)過點M(0,1)作直線,使它被兩直線l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的線段恰好被M所平分,求此直線方程.
變式遷移2 求適合下列條件的直線方程:
(1)經(jīng)過點P(3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等;
(2)經(jīng)過點A(-1,-3),傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍.
探究點三 數(shù)形結(jié)合思想
例3 已知實數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).
試求的最大值與最
7、小值.
變式遷移3 直線l過點M(-1,2)且與以點P(-2,-3)、Q(4,0)為端點的線段恒相交,則l的斜率范圍是( )
A.[-,5] B.[-,0)∪(0,5]
C.(-∞,-]∪[5,+∞) D.[-,)∪(,5]
1.(2011·臨沂月考)已知直線l經(jīng)過A(2,1)、B(1,m2) (m∈R)兩點,那么直線l的傾斜角的取值范圍是( )
A.(0,π) B.∪
C. D.∪
2.(2011·宜昌調(diào)研)點A(a+b,ab)在第一象限內(nèi),則直線bx+ay-ab=0不經(jīng)過的象限是( )
8、A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(2011·包頭期末)經(jīng)過點P(2,-1),且在y軸上的截距等于它在x軸上的截距的2倍的直線l的方程為( )
A.2x+y=2 B.2x+y=4
C.2x+y=3 D.2x+y=3或x+2y=0
4.過兩點A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)的直線l的傾斜角為45°,則m=________.
5已知直線l:kx-y+1+2k=0 (k∈R).
(1)證明:直線l過定點;
(2)若直線不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍;
(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A,交y軸正半軸于B,
9、△AOB的面積為S,求S的最小值并求此時直線l的方程.
學(xué)案34 直線及其方程
自主梳理
1.(1)①正向 向上 0° ②0°≤α<180° (2)①正切值 tan α?、凇?.(x2-x1,y2-y1) 3.Ax+By+C=0
直線l上 4.y-y0=k(x-x0) y=kx+b?。健。?(a≠0,b≠0) Ax+By+C=0(A、B不同時為0) 5.
自我檢測
1.A 2.D 3.D 4.C 5.D
課堂活動區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 斜率與傾斜角常與三角函數(shù)聯(lián)系,本題需要挖掘隱含條件,判斷角的范圍.關(guān)鍵是熟練掌握好根據(jù)三角函數(shù)值確定角的范圍這一類題型.
解 設(shè)直
10、線l的傾斜角為α,則直線AB的傾斜角為2α,
由題意可知:tan 2α==,∴=.
整理得3tan2α+8tan α-3=0.
解得tan α=或tan α=-3,∵tan 2α=>0,
∴0°<2α<90°,∴0°<α<45°,∴tan α>0,
故直線l的斜率為.
變式遷移1 D [直線xsin α-y+1=0的斜率是k=sin α,
又∵-1≤sin α≤1,∴-1≤k≤1.
當(dāng)0≤k≤1時,傾斜角的范圍是,
當(dāng)-1≤k<0時,傾斜角的范圍是.]
例2 解題導(dǎo)引 (1)對直線問題,要特別注意斜率不存在的情況.
(2)求直線方程常用方法——待定系數(shù)法.
待定系數(shù)法就
11、是根據(jù)所求的具體直線設(shè)出方程,然后按照它們滿足的條件求出參數(shù).
解 過點M且與x軸垂直的直線是y軸,它和兩已知直線的交點分別是和(0,8),
顯然不滿足中點是點M(0,1)的條件.
故可設(shè)所求直線方程為y=kx+1,與兩已知直線l1、l2分別交于A、B兩點,聯(lián)立方程組①
②
由①解得xA=,由②解得xB=.
∵點M平分線段AB,∴xA+xB=2xM,
即+=0,解得k=-.
故所求直線方程為x+4y-4=0.
變式遷移2 解 (1)設(shè)直線l在x,y軸上的截距均為a,
若a=0,即l過點(0,0)和(3,2),
∴l(xiāng)的方程為y=x,即2x-3y=0.
若a≠0,則設(shè)l的方
12、程為+=1,
∵l過點(3,2),∴+=1,
∴a=5,∴l(xiāng)的方程為x+y-5=0,
綜上可知,直線l的方程為2x-3y=0或x+y-5=0.
(2)由已知:設(shè)直線y=3x的傾斜角為α,
則所求直線的傾斜角為2α.
∵tan α=3,∴tan 2α==-.
又直線經(jīng)過點A(-1,-3),
因此所求直線方程為y+3=-(x+1),
即3x+4y+15=0.
例3 解題導(dǎo)引 解決這類問題的關(guān)鍵是弄清楚所求代數(shù)式的幾何意義,借助數(shù)形結(jié)合,將求最值問題轉(zhuǎn)化為求斜率取值范圍問題,簡化了運算過程,收到事半功倍的效果.
解 由的幾何意義可知,它表示經(jīng)過定點P(-2,-3)與曲線段A
13、B上任一點(x,y)的直線的斜率k,由圖可知:
kPA≤k≤kPB,由已知可得:
A(1,1),B(-1,5),
∴≤k≤8,
故的最大值為8,最小值為.
變式遷移3 C
[如圖,過點M作y軸的平行線與線段PQ相交于點N.
kMP=5,kMQ=-.
當(dāng)直線l從MP開始繞M按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到MN時,傾斜角在增大,斜率也在增大,這時,k≥5.當(dāng)直線l從MN開始逆時針旋轉(zhuǎn)到MQ時,
∵正切函數(shù)在(,π)上仍為增函數(shù),
∴斜率從-∞開始增加,增大到kMQ=-,
故直線l的斜率范圍是(-∞,-]∪[5,+∞).]
課后練習(xí)區(qū)
1.B 2.C 3.D
4.-2
5.
14、(1)證明 直線l的方程是:k(x+2)+(1-y)=0,
令,解之得,
∴無論k取何值,直線總經(jīng)過定點(-2,1).(4分)
(2)解 由方程知,當(dāng)k≠0時直線在x軸上的截距為-,在y軸上的截距為1+2k,要使直線不經(jīng)過第四象限,則必須有,解之得k>0;(7分)
當(dāng)k=0時,直線為y=1,符合題意,故k≥0.(9分)
(3)解 由l的方程,得A,
B(0,1+2k).依題意得
解得k>0.(11分)
∵S=·|OA|·|OB|
=··|1+2k|
=·=≥×(2×2+4)=4,
“=”成立的條件是k>0且4k=,
即k=,
∴Smin=4,此時l:x-2y+4=0.(14分)