《秋備課】北師大版 九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) (1 5)全冊(cè)教案集》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《秋備課】北師大版 九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) (1 5)全冊(cè)教案集（76頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、b第一章特殊平行四邊形 菱形的性質(zhì)與判定 第1 【教學(xué)目標(biāo)】 1.掌握菱形的概念、性質(zhì)。 2.掌握菱形的性質(zhì)定理“菱形的四條邊相等”。 3.掌握菱形的性質(zhì)定理“菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角”。 4.探索菱形的對(duì)稱性。 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):菱形的性質(zhì). 難點(diǎn):菱形的軸對(duì)稱需要用折疊和推理相結(jié)合的方法，是本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn). 【教學(xué)過程】 一、復(fù)習(xí)引入 觀察以下由火柴棒擺成的圖形，議一議： (2) 與圖一相比，圖二與圖三有什么共同的特點(diǎn)？ 目的是讓學(xué)生經(jīng)歷菱形的概念，性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程， 并讓學(xué)生注意以下幾點(diǎn)： （1）要使學(xué)生明確圖二

2、、圖三都為平行四邊形； （2）引導(dǎo)學(xué)生找出圖二、圖三與圖一在邊方面的差異. 二、探究新知 再用多媒體教科書中有關(guān)菱形的美麗圖案，讓學(xué) 生感受菱形具有工整，勻稱，美觀等許多優(yōu)點(diǎn). 菱形也是特殊的平行四邊形，所以它除具有一般 平行四邊形的性質(zhì)外還具有一些特殊的性質(zhì). 定理1：菱形的四條邊都相等. 這個(gè)定理要求學(xué)生自已完成證明，可以根據(jù)菱形 的定義推出，課堂上只需讓學(xué)生說說理由就可以了，不 必寫證明過程. 定理2：菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角. 課時(shí) 例：已知:在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O. 求證：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，

3、BD 平分∠ABC和∠ADC. 分析：由菱形的定義得ΔABD是什么三角形？ BO與OD有什么關(guān)系？根據(jù)什么？ 由此可得AC與BD有何關(guān)系？與∠BAD有何關(guān)系？根據(jù) 什么？ 證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=AD(菱形的定義)， BO=OD(平行四邊形的對(duì)角線互相平分） ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD(等腰三角形三線合 一的性質(zhì)）. 同理，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC， ∴對(duì)角線AC和BD分別平分一組對(duì)角. 由定理2可以得出菱形是軸對(duì)稱圖形，它的兩條對(duì)角線所在的直線都是它的對(duì)稱軸.另外，還可以從折疊來說時(shí)指出以上兩，比如:菱形是中心對(duì)稱圖形，

4、對(duì)稱中心為兩條對(duì)角線的交點(diǎn). 三、范例點(diǎn)擊 例:在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O, ∠BAC=30°，BD=6,求菱形的邊長(zhǎng)和對(duì)角線AC的長(zhǎng). 分析:本題是菱形的性質(zhì)定理2的應(yīng)用，由∠BAC= 30°,得出ΔABD為等邊三角形，就抓住了問題解決的關(guān)鍵. 解：∵四邊形ABCD是菱形 ∴AB=AD(菱形的定義), AC平分∠BAD(菱形的每條對(duì)角線平分一組對(duì)角) 又∵∠BAC= 30°， ∴∠BAD=60°, ∴ΔABD為等邊三角形， ∴AB=BD=6. 又∵OB=OD=3 (平行四邊形的對(duì)角線互相平分), AC⊥BD (菱形的對(duì)角線互相垂直). 由

5、勾股定理得AO2+BO2=AB2， ∴AO=3√3AC=2AO=6√3. 第2 【教學(xué)目標(biāo)】 1.經(jīng)歷菱形的判定定理的發(fā)現(xiàn)過程. 2. 掌握菱形的判定定理“四邊相等的四邊形是菱形”. 3. 掌握菱形的判定定理“對(duì)角線互相垂直的平行 四邊形是菱形”. 4.通過運(yùn)用菱形知識(shí)解決具體問題，提高分析能力和觀察能力 ，并根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形的從屬關(guān)系，向?qū)W生滲透幾何思想. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):菱形的判定定理. 難點(diǎn):菱形判定方法的綜合應(yīng)用.課本“做一做”既 需要一定的空間想象力，又要有較強(qiáng)的邏輯思維能力. 【教學(xué)過程】 一、復(fù)習(xí)引入 教師提問:菱形的定義和性質(zhì). 定

6、義:一組鄰邊對(duì)應(yīng)相等的平行四邊形叫做菱形. 性質(zhì):除具備一般平行四邊形的性質(zhì)外，還具備四條邊相等，對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角判定一個(gè)四邊形是不是菱形可根據(jù)什么來判定？ 定義，此外還有兩種判定方法，今天我們就要學(xué)習(xí)菱形的判定.(板書課題) 二、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的長(zhǎng)方形紙片，按P6“做一做”中 的圖的方法對(duì)折兩次 ，并沿第3個(gè)圖中的斜線剪開，展開剪下的部分，猜想這個(gè)圖形是哪一種四邊形？一定是菱形嗎？為什么？剪出的圖形四條邊都相等，根據(jù)這個(gè)條件首先證它是平行四邊形，再證一組鄰邊相等，依定義即知為菱形. 四、鞏固練習(xí) 教材P4隨堂練習(xí) 五

7、、課堂小結(jié): 本節(jié)課應(yīng)掌握:一個(gè)定義(菱形的定義)，二條定理(菱形的性質(zhì)定理)，二個(gè)結(jié)論(菱形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形). 六、布置作業(yè) 教材P4~5習(xí)題1. 1 課時(shí) 結(jié)論:菱形判定定理1:四邊都相等的四邊形是菱 形.（板書） 三、探究新知 例1:已知：如圖，在ABCD中，BD⊥AC，O為垂足.求證：四邊形ABCD是菱形. 分析:在已知是平行四邊形的情況下，要證明是菱 形，只要證明一組鄰邊相等. 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AO=CO(平行四邊形的對(duì)角線互相平分). ∵BD⊥AC， ∴AD=CD， ∴四邊形ABCD是

8、菱形（菱形的定義). 結(jié)論:菱形判定定理2:對(duì)角線互相垂直的平行四 邊形是菱形. 猜想:對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是不是菱形？ 啟發(fā)：通過四個(gè)直角三角形的全等得到四條邊 相等 結(jié)論:對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形. 例2:如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線與AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：四邊形AFCE是菱形. 啟發(fā)：已知對(duì)角線互相垂直，還需什么條件就能說 明四邊形是菱形？ 證明: ∵四邊形ABCD是矩形, ∴AE//FC(矩形的定義), ∴∠1=∠2. 又∵∠AOE=∠COF，AO=CO, ∴ΔAOE≌ΔCOF， ∴EO=FO,

9、∴四邊形AFCE是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）. 又∵EF⊥AC， ∴四邊形AFCE是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）. 四、鞏固練習(xí) 1.教材P7、P9隨堂練習(xí). 2.思考題:如圖，ΔABC中，∠A=90°,∠B的平分線交AC于D,AH、DF都垂直于BC，H、F為垂足，求證：四邊形AEFD為菱形. 五、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1. 菱形常用的判定方法歸納為（學(xué)生討論歸納后， 由教師板書）： (1) 一組鄰邊相等的平行四邊形. (2) 四條邊相等的四邊形. (3) 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形. （4）對(duì)角線互相垂直平分的四邊

10、形. 2. 想一想:說明平行四邊形、矩形、菱形之間的區(qū) 別與聯(lián)系. 1. 教材P7習(xí)題1.2 2.教材P9?10習(xí)題1. 3 1.2矩形的性質(zhì)與判定 第1課時(shí) 【教學(xué)目標(biāo)】 1. 了解矩形的有關(guān)概念，理解并掌握矩形的有關(guān) 性質(zhì). 2. 經(jīng)過探索矩形的概念和性質(zhì)的過程，發(fā)展學(xué)生 合情推理意識(shí)；掌握幾何思維方法. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):掌握矩形的性質(zhì)，并學(xué)會(huì)應(yīng)用. 難點(diǎn):理解矩 過程，遷移到矩形概念與性質(zhì)上來，明確矩形是特殊的 平行四邊形. 【教學(xué)過程】 一、聯(lián)系生活，形象感知 【顯示投影片】 教師活動(dòng):將收集來的有關(guān)長(zhǎng)方形圖片播放出來

11、， 讓學(xué)生進(jìn)行感性認(rèn)識(shí)，然后定義出矩形的概念. 矩形定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.（也就是小學(xué)學(xué)習(xí)過的長(zhǎng)方形） 教師活動(dòng):介紹完矩形概念后，為了加深理解，也為了繼續(xù)研究矩形的性質(zhì)，拿出教具，同學(xué)生一起探究下面問題： 問題1：改變平行四邊形活動(dòng)框架，將框架夾角α 變?yōu)?0°，平行四邊形成為一個(gè)矩形，這說明平行四邊形與矩形具有怎樣的從屬關(guān)系？（教師提問） 學(xué)生活動(dòng):觀察教師的教具，研究其變化情況，可 以發(fā)現(xiàn):矩形是平行四邊形的特例，屬于平行四邊形， 因此它具有平行四邊形的所有性質(zhì). 問題2：既然它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，那么矩形是否具有它獨(dú)特的性質(zhì)呢？（教師提問） 學(xué)生活

12、動(dòng)：由平行四邊形對(duì)邊平行以及剛才α變?yōu)?0°，可以得到α的補(bǔ)角也是90°從而得到:矩形的四個(gè)角都是直角. 評(píng)析:實(shí)際上，在小學(xué)學(xué)生已經(jīng)學(xué)過長(zhǎng)方形四個(gè)角 都是90°，這里學(xué)生不難理解. 教師活動(dòng):用橡皮筋做出兩條對(duì)角線，讓學(xué)生觀察 這兩條對(duì)角線的關(guān)系，并要求學(xué)生證明（口述). 學(xué)生活動(dòng)：觀察發(fā)現(xiàn):矩形的兩條對(duì)角線相等.口 述證明過程是:充分利用(SAS)三角形全等來證明. 口述：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠DCB= 90°,AB=DC. 又∵BC為公共邊， ∴ΔABC≌ΔDCB(SAS), ∴AC=BD. 教師提問:AO=AC, BO=BD呢？BO是RtΔA

13、BC的什么線？由此你可以得到什么結(jié)論？ 學(xué)生活動(dòng)：觀察、思考后發(fā)現(xiàn)AO=1/2AC，BO=1/2BD，BO是RtΔABC的中線.由此歸納直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半 (師生回憶）. 【設(shè)計(jì)意圖】采用觀察、操作、交流、演繹的手法來解決重點(diǎn)，突破難點(diǎn). 二、范例點(diǎn)擊 例1:如圖，在矩形ABCD中，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠AOD=120°，AB=2. 5,這個(gè)矩形對(duì)角線的長(zhǎng). (投影顯示） 分析：利用矩形對(duì)角線相等且平分得到OA=OB，由于∠AOB=60°，因此，可以發(fā)現(xiàn)ΔAOB為等邊三角形，這樣可求出

14、OA=AB=2. 5，∴AC=BD= 2OA=5. 【活動(dòng)方略】 教師活動(dòng):板書例1，分析例1的思路，教會(huì)學(xué)生解 題分析法，然后板書解題過程(課本P13). 學(xué)生活動(dòng):參與教師講例，總結(jié)幾何分析思路. 【問題探究】(投影顯示） 如圖，ΔABC中，∠A=2∠B，CD是ΔABC的高，E是AB的中點(diǎn)，求證：:DE=1/2AC. 分析：本題可從E是ab的中點(diǎn)切入，考慮應(yīng)用三角形中位線定理.應(yīng)用三角形中位線必需找到另一個(gè)中點(diǎn).分析可知：可以取BC中點(diǎn)F，也可以取AC的中點(diǎn)G為嘗試. 教師活動(dòng):操作投影儀，引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生的分析思路，教會(huì)學(xué)生如何書寫輔助線. 學(xué)生活動(dòng)：分四人

15、小組，合作探索，想出幾種不同的證法. 證法一:取BC的中點(diǎn)F，連接EF、DF，如圖（1). 【設(shè)計(jì)意圖】補(bǔ)充這道演練題是訓(xùn)練學(xué)生的應(yīng)用能力，提高一題多解的意識(shí)，形成幾何思路. 三、隨堂練習(xí) 教材P13隨堂練習(xí) 四、應(yīng)用拓展 已知:如圖，從矩形ABCD的頂點(diǎn)C作對(duì)角線BD的垂線與∠BAD的平分線相交于點(diǎn)E，求證:AC=CE. ∠FAB .現(xiàn)在只要證明∠BAF=∠DAC即可，而實(shí)際上， ∠BAF=∠BDA=∠DAC，問題迎刃而解. 五、 課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1.矩形定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形，因此矩 形是平行四邊形的特例，具有平行四

16、邊形所有性質(zhì)。 2.矩形性質(zhì)歸納： （1)邊的性質(zhì):對(duì)邊平行且相等. （2)角的性質(zhì)：四個(gè)角都是直角. （3)對(duì)角線性質(zhì):對(duì)角線互相平分且相等. （4)對(duì)稱性:矩形是軸對(duì)稱圖形. 六、 布置作業(yè) 教材P13習(xí)題1.4第1、2題 第2 【教學(xué)目標(biāo)】 1.通過探索與交流，逐漸得出矩形的判定定理，并 會(huì)運(yùn)用定理解決相關(guān)問題. 2.通過開放式命題，嘗試從不同角度尋求解決問 題的方法. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):探索矩形判定定理的過程及應(yīng)用. 難點(diǎn):矩形判定定理的應(yīng)用. 【教學(xué)過程】 一、 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 通過上節(jié)課對(duì)矩形的學(xué)習(xí)，誰能回答

17、以下問題： 1.判定四邊形是矩形的方法是什么？（用定義） （1）是不是平行四邊形，（2)再看它有無直角. 2.矩形是特殊的平行四邊形，它具有哪些性質(zhì)？ (通過對(duì)矩形定義及性質(zhì)的回顧，引出判定矩形除了定義 課時(shí) 外，還有哪些方法，導(dǎo)入新課.） 二、探究新知 活動(dòng)一:矩形的判定定理一的探索 1.先請(qǐng)同學(xué)只用手中量角器量一下圖形（甲）（乙） 中的四邊形的角（有幾個(gè)直角）. 2.然后通過同桌同學(xué)交流用幾個(gè)直角才能構(gòu)成矩 形，并說明理由. (此問題的解決以動(dòng)手實(shí)踐，合作交流的形式進(jìn) 行，學(xué)生在探究過程中根據(jù)已有的知識(shí)積累——矩形的定義，

18、得出矩形的判定定理一.教師以合作者的身份深入學(xué)生中，了解學(xué)生的探究進(jìn)程并適當(dāng)給予點(diǎn)撥.) 最后教師進(jìn)行適當(dāng)板書進(jìn)行推證、講解.在此過程 中，全體同學(xué)可互相補(bǔ)充、互相評(píng)價(jià)，培養(yǎng)學(xué)生的語言 表達(dá)能力、推理能力. 活動(dòng)二:教師提問：矩形的對(duì)角線相等，反過來對(duì) 角線相等的四邊形是什么圖形？在學(xué)生回答是或不是的情況下，讓學(xué)生依下列步驟進(jìn)行探索. 1.畫任意兩條長(zhǎng)度相等的相交線段，并把它們的四個(gè)頂點(diǎn)順次連接，看是不是矩形？ 2. 畫兩條長(zhǎng)度相等并且一條平分另一條的線段， 并把它們的四個(gè)頂點(diǎn)順次連接，看是不是矩形？ 3. 畫兩條長(zhǎng)度相等并且互相平分的線段，并把它 們的四個(gè)頂點(diǎn)順次連接，看是不是矩

19、形？ 4.然后通過同桌同學(xué)交流用怎樣的兩條長(zhǎng)度相等 的線段才能構(gòu)成矩形，并說明理由. 最后通過教師演示動(dòng)畫，師生進(jìn)行適當(dāng)交流、歸 納、講解，得出矩形的判定定理二. (此問題的解決仍以分組合作交流的形式進(jìn)行，通 過此種互動(dòng)過程，讓全體學(xué)生參與其中，獲得不同程度的收獲，體驗(yàn)成功的喜悅.) 活動(dòng)三:矩形的判定定理二的證明. 已知:在平行四邊形ABCD中，AC=BD， 求證:平行四邊形ABCD是矩形. 對(duì)于判定定理二的證明教師從以下幾個(gè)方面進(jìn)行與學(xué)生交流. （1）條件與結(jié)論各是什么？（引出條件與結(jié)論的關(guān)系） （2）使一個(gè)平行四邊形是矩形，已學(xué)過什么方法？ (引出矩形的定

20、義證明） （3）要證明一個(gè)角是直角，根據(jù)平行四邊形相鄰兩 個(gè)角互補(bǔ)，只需證明什么？（引出證明兩個(gè)三角形全等） （4）如何選擇要證明兩個(gè)三角形全等，它們的條件是否滿足？ 最后由學(xué)生說出整個(gè)證明的過程，教師進(jìn)行適當(dāng) 的點(diǎn)評(píng)與板書. 當(dāng)判定定理一、定理二得出后，讓學(xué)生總結(jié)矩形的三種判定方法（定義，定理一與定理二），并對(duì)題設(shè)進(jìn)行比較、區(qū)分，使學(xué)生進(jìn)一步明確定理應(yīng)用的條件. 三、范例點(diǎn)擊 例:如圖所示，在□ABCD中，E、F為BC上兩點(diǎn)，且BE=CF，AF=DE.求證： (1)ΔABF≌ΔDCE； (2)四邊形ABCD是矩形. 分析：(1)由四邊形ABCD是平行四邊形，得AB=CD

21、，再結(jié)合已知條件，利用“SSS”可證得ΔABF≌ΔDCE； (2)只需再證∠B或∠C等于90°即可. 證明：（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+ EF，∴BF=CE. ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC. 在ΔABF和ΔDCE中， ∵AB=DC，BF=CE，AF=DE， ∴ΔABF≌ΔDCE， (2) ∵ΔABF≌ΔDCE，∴∠B=∠C. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB//CD，∴∠B+∠C=180°， ∴∠B = 90°，∴平行四邊形ABCD是矩形. 四、拓展應(yīng)用 為了幫助學(xué)生鞏固定理，應(yīng)用如

22、下： 應(yīng)用一:工人師傅要檢驗(yàn)兩組對(duì)邊相等的四邊形是否成矩形，你有沒有方法幫助工人師傅解決這個(gè)問題？（這一題是由引入判定定理二改編而成的，主要考查學(xué)生利用矩形的判定定理解決實(shí)際問題的能力.） 應(yīng)用二:例題講解 一張四邊形紙板ABCD形狀如圖，它的對(duì)角線互相從這張紙板中剪出一個(gè)矩形，并且使它的四個(gè)頂點(diǎn)分別落在四邊形ABCD的四條邊上，可以怎樣剪？ 對(duì)于這個(gè)問題的解決教師引導(dǎo)學(xué)生回顧過去證明依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生聯(lián)想到連接四邊形ABCD的兩條對(duì)角線，然后運(yùn)用中位線定理，這樣就解決了這個(gè)問題. 五、鞏固練習(xí) 練習(xí)一： 1.內(nèi)角都相等的四

23、邊形是矩形. （ ） 2.對(duì)角線相等的四邊形是矩形. （ ） 3.對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形.（) 4.一組鄰角相等的平行四邊形是矩形. （ ） 5.對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形. （ ） 練習(xí)二：如圖，AC，BD是矩形ABCD的兩條對(duì)角線，AE=CG=BF=DH.求證:四邊形EFGH是矩形. (練習(xí)一，二是課內(nèi)練習(xí)，主要為加強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)定理的理解和掌握，使學(xué)生能將給出的條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)用定理所需的條件，辨析判定定理的題設(shè)，以便更好地應(yīng)用定理.這兩個(gè)問題的解決分別應(yīng)用所學(xué)定理，使學(xué)生能夠?qū)W以致用.這兩道題的解決方法是先采用獨(dú)立完成形式，有困難的學(xué)生可以求助老師

24、或同學(xué)，學(xué)生互助完成，派學(xué)生代表板書講解.) 六、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 矩形常用的判定方法歸納為（學(xué)生討論歸納后，由教師板書）： （1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形. (2)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形. （3)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形. 七、布置作業(yè) 教材P16習(xí)題1.5第1、2題 正方形的性質(zhì)與判定 第1課時(shí) 【教學(xué)目標(biāo)】 了解正方形的有關(guān)概念，理解并掌握正方形的性 質(zhì)定理. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):探索正方形的性質(zhì)定理. 難點(diǎn):掌握正方形的性質(zhì)的應(yīng)用方法，把握正方形既是矩形又是菱形這一特性來學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容. 【教

25、學(xué)過程】 一、探究導(dǎo)入 【顯示投影片】 顯示內(nèi)容:展示生活中有關(guān)正方形的圖片，幻燈片 (多幅). 【活動(dòng)方略】 教師活動(dòng):操作投影儀，邊展示圖片，邊提出下面的問題: 1.同學(xué)們觀察顯示的圖片后，有什么聯(lián)想？正方形四條邊有什么關(guān)系？四個(gè)角呢？ 2. 正方形是矩形嗎？是菱形嗎？為什么？ 3. 正方形具有哪些性質(zhì)呢？ 學(xué)生活動(dòng)：1.正方形四條邊都相等（小學(xué)已學(xué)過）；正方形四個(gè)角都是直角（小學(xué)學(xué)過). 實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：教師拿出矩 形按左圖折疊.然后展開， 讓學(xué)生發(fā)現(xiàn):只要矩形一組鄰邊相等，這樣的矩形就是正方形；同樣，教師拿出活動(dòng)菱形框架，運(yùn)動(dòng)中讓學(xué)生 發(fā)現(xiàn)：只要菱形有一個(gè)內(nèi)角為90°

26、，這樣的特殊菱形也是 正方形. 教師活動(dòng):組織學(xué)生聯(lián)想正方形還具有哪些性質(zhì),板書畫出一個(gè)正方形，如下圖: 學(xué)生活動(dòng)：觀察、聯(lián)想到它是矩形，所以具有矩形的所有性質(zhì)；它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性質(zhì)，歸納如下： 正方形定義:有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形. 正方形性質(zhì)： （1)邊的性質(zhì):對(duì)邊平行，四條邊都相等. （2)角的性質(zhì)：四個(gè)角都是直角. （3)對(duì)角線的性質(zhì):兩條對(duì)角線互相垂直平分且相 等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角. (4)對(duì)稱性:是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸. 【設(shè)計(jì)意圖】采用合作交流、發(fā)現(xiàn)、歸納的方式來解決重點(diǎn)問題，突

27、破難點(diǎn). 二、探究新知 【課堂演練】(投影顯示） 演練題1：如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC與BD相交于0，MN//AB，且分別與OA、 OB相交于M、N. 求證：（1)BM=CN； (2)BM⊥CN. 分析：本題是證明BM=CN，根據(jù)正方形性質(zhì)，可以證明BM、CN所在ΔBOM與ΔCON是否全等.（2） 在（1)的基礎(chǔ)上完成，欲證BM⊥CN.只需證∠5 + ∠CMG= 90°就可以了. 【活動(dòng)方略】 教師活動(dòng):操作投影儀.組織學(xué)生演練，巡視，關(guān)注 “學(xué)困生”；等待大部分學(xué)生練習(xí)做完之后，再請(qǐng)兩位學(xué) 生上臺(tái)演示，交流. 學(xué)生活動(dòng)：課堂演練，相互討論，解決演練

28、題的問題. 證明：（1) ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB. ∵M(jìn)N//AB，∴∠1=∠2,∠ABO= ∠3， 又∵∠1=∠ABO= 45°，∴∠ 2=∠3， ∴OM=ON， ∴ΔCON≌ΔBOM，∴BM=CN. (2)由（1)知ΔBOM≌ΔCON, ∴∠4= ∠5，∵∠4+∠BMO=90°，∴∠5+∠BMC=90°,∴∠CGM=90°,∴BM⊥CN. 演練題2:如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，且AE=AD，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，求證:ΔCEF是直角三角形. 分析：本題要證∠EFC=90°，從已知條件分析可以得到只要利用勾股定理

29、逆定理，就可以解決問題.這 里應(yīng)用到正方形性質(zhì). 【活動(dòng)方略】 教師活動(dòng):用投影儀顯示演練題2,組織學(xué)生應(yīng)用正方形和勾股定理逆定理分析，并請(qǐng)同學(xué)上講臺(tái)分析思路，板演. 學(xué)生活動(dòng):先獨(dú)立分析，找到證明思路是利用勾股定理的逆定理解決問題. 證明：設(shè)AB = 4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a， AF=FB = 2a，AE=a，DE=3a. ∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得： EF2 +CF2= (AE2 +AF2) + (CB2 +BF2)=(a2 + 4a2) + (16a2+4a2)=25a2， CE2=CD2+DE2= (4a)2 + (3a)2=25a2，

30、 ∴EF2 +CF2=CE2. 由勾股定理的逆定理可知ΔCEF是直角三角形. 【設(shè)計(jì)意圖】補(bǔ)充兩道關(guān)于正方形性質(zhì)應(yīng)用的演練 題，提高學(xué)生的應(yīng)用能力. 三、范例點(diǎn)擊 例：已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，矩形 PECF的頂點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上,E在BC上，F(xiàn)在 CD上，連接 AC、AP、PC、EF，若EC=4，CF=3,求 PA的長(zhǎng). 分析：本題運(yùn)用矩形對(duì)角線相等的性質(zhì)可得EF=PC，運(yùn)用正方形的性質(zhì)可得AP=PC，進(jìn)而可得AP=EF.因此，只要求出EF的值即可. 解：∵四邊形PECF是矩形，∴PC=EF.在 RtΔEFC中， EC=4，CF=3, ∴EF

31、=EC2+CF2'=42+32=5; ∴PC=5. ∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC且BD平分AC，即BD是AC的垂直平分線.∵點(diǎn)P在BD上，∴PA=PC=5. 【方法歸納】與矩形對(duì)角線有關(guān)的計(jì)算問題，主要運(yùn)用矩形的對(duì)角線相等和正方形的對(duì)角線的性質(zhì)，借助第三條線段作“媒介”求線段的長(zhǎng). 四、 鞏固練習(xí) 教材P21隨堂練習(xí) 五、 課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1. 正方形的概念： 有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形. 2. 正方形的性質(zhì) (1) 正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等. (2) 正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分. (3) 正方形既是軸對(duì)

32、稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形. 六、 布置作業(yè) 教材P22習(xí)題1.7第1、2、3題 第2課時(shí) 【教學(xué)目標(biāo)】 1.知道正方形的判定方法，會(huì)運(yùn)用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算. 2.經(jīng)歷探究正方形判定條件的過程，發(fā)展學(xué)生初步的綜合推理能力，主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣，逐步掌握說理的基本方法. 3.理解特殊的平行四邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證看問題的觀點(diǎn). 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):掌握正方形的判定條件. 難點(diǎn):合理恰當(dāng)?shù)乩锰厥馄叫兴倪呅蔚呐卸ㄟM(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算. 【教學(xué)過程】 ―、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形、正方形，

33、那么思考一下，它們之間有怎樣的包含關(guān)系？請(qǐng)?zhí)钊胂聢D中. 通過填寫讓學(xué)生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，還是特殊的平行四邊形；而正方形、矩形、菱形都是平行四邊形；矩形、菱形都是特殊的平行四邊形. 1.怎樣判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形？ 2.怎樣判斷一個(gè)四邊形是矩形？ 3.怎樣判斷一個(gè)四邊形是菱形？ 4.怎樣判斷一個(gè)平行四邊形是矩形、菱形？ 議一議:你有什么方法判定一個(gè)四邊形是正方形？ 二、探究新知 1.探索正方形的判定條件： 學(xué)生活動(dòng)：四人一組進(jìn)行討論研究，老師巡回其間，進(jìn)行引導(dǎo)、質(zhì)疑、解惑，通過分析與討論，師生共同總結(jié)出判 定一個(gè)四邊形是正方形的基本方

34、法. （1）直接用正方形的定義判定，即先判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，若這個(gè)平行四邊形有一個(gè)角是直角，并且有一組鄰邊相等，那么就可以判定這個(gè)平行四邊形是正方形； （2）先判定一個(gè)四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形是 菱形，那么這個(gè)四邊形是正方形； （3）先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形是矩 形，那么這個(gè)四邊形是正方形. 基礎(chǔ).這三個(gè)方法還可寫成:有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的四邊形是正方形；有一組鄰邊相等的矩形是正方形；有一個(gè)角是直角的菱形是正方形. 上述三種判定條件是判定四邊形是正方形的一般方法，可當(dāng)作判定定理用，但由于判定平行四邊形、矩 形、菱形的方法各異，所給出的條件各不相同，所

35、以判定一個(gè)四邊形是不是正方形的具體條件也相應(yīng)可作變化，在應(yīng)用時(shí)要仔細(xì)辨別后才可以作出判斷. 2.正方形判定條件的應(yīng)用 例1:判斷下列命題是真命題還是假命題？并說明理由. （1）四條邊相等且四個(gè)角也相等的四邊形是正方形； ⑵四個(gè)角相等且對(duì)角線互相垂直的四邊形是正方形； （3）對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形； （4)對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形； (5)對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形. 師生共析： (1) 是真命題，因?yàn)樗臈l邊相等的四邊形是菱形， 又四個(gè)角相等，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理知每個(gè)角為90°，所以由有一個(gè)角是直角的菱形是正方形可以判定此命題是真命題.

36、 ⑵真命題,由四個(gè)角相等可知每個(gè)角都是直角，是矩形，由對(duì)角線互相垂直可判定這個(gè)矩形是菱形，所以根據(jù)是既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，可判定其為真. (3)假命題，對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形， 對(duì)角線垂直的四邊形是菱形，所以它不一定是正方形. 如下圖①，滿足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四邊形ABCD不是正方形. （4）假命題，它可能是任意四邊形.如上圖②，AC⊥BD且AC=BD，但四邊形ABCD不是正方形. （5）真命題. 方法一:對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形， 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形，所以是矩形又是菱形的四邊形是

37、正方形.可判定其為真. 方法三：由對(duì)角線互相垂直平分可知是菱形，由對(duì)角線平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四邊形就是正方形. 總結(jié):通過辨析，掌握判定正方形的各種方法和思路，從題中所給各種不同條件出發(fā)，尋找命題成立的判定依據(jù)，以便靈活應(yīng)用. 例2:如圖，E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且∠AFE= 45°，試說明EF=BE+DF. 師生共析:要證EF=BE+DF,如果能將DF移到EB延長(zhǎng)線或?qū)E移到FD延長(zhǎng)線上，然后就能證明兩線段長(zhǎng)度相等。此時(shí)可依靠全等三角形來解決. 像這種在EB上補(bǔ)上DF或在FD上補(bǔ)上BE的方法叫做補(bǔ)短法. 解:將ΔADF旋轉(zhuǎn)到ΔA

38、BC，則ΔADF≌?ΔABG ∴AF=AG，∠ADF=∠ABG,DF=BG， ∵∠EAF= 45°且四邊形是正方形， ∴∠ADF+∠BAE=45°, ∴∠GAB+∠BAE=45°, 即∠GAE=45°， ∴ΔAEF≌ΔAEG(SAS)，∴EF=EG=EB+BG=EB+DF. 討論:你能從一張彩色紙中剪出一個(gè)正方形嗎? 說出你的做法. 你怎么檢驗(yàn)它是一個(gè)正方形呢？小組討論一下. 三、范例點(diǎn)擊 例3:如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E是BD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且ΔACE是等邊三角形. (1) 求證：四邊形ABCD是菱形； (2) 若∠AED = 2∠E

39、AD，求證：四邊形ABCD是正方形. 分析:⑴由已知可得BE垂直平分AC,進(jìn)而可得AB=BC，再用菱形定義可判定.（2)由菱形性質(zhì)可得∠DAC =∠BAC，由已知得∠AED=30°，∠EAO=60°，∠DAE= 15°，∠DAO=45°，從而得出∠BAD=90°，問題得解. 證明：（1) ∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA=OC. 又∵ΔACE是等邊三角形， ∴EO⊥AC，即 BD⊥AC， ∴AB=BC，∴平行四邊形ABCD是菱形. (2) ∵ΔACE為等邊三角形， ∴∠AEO= ∠OEC=30〇 , ∠EAC= 60〇. ∵∠AED=2∠EAD，∴∠EAD=15°， ∴∠

40、DAO= 45°.又∵四邊形ABCD是菱形， ∴∠DAO=∠BAO=45°，∴∠DAB = 90°，∴菱形 ABCD為正方形. 四、 鞏固練習(xí) 教材P24隨堂練習(xí) 通過練習(xí)進(jìn)一步鞏固正方形的判定方法的應(yīng)用. 五、 課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 正方形常用的判定方法歸納為（學(xué)生討論歸納后， 由教師板書） (1) 對(duì)角線相等的菱形是正方形. (2) 對(duì)角線垂直的矩形是正方形. (3) 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形. (4) 有一組鄰邊相等的矩形是正方形. 六、 布置作業(yè) 教材P25習(xí)題第1、3題. 第二章一元二次方程 2.1 認(rèn)識(shí)一元二次方程 第1課時(shí) 【

41、教學(xué)目標(biāo)】 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=O(a≠0)及其派生的概念；應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡(jiǎn)單題目. 1. 通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方 程概念給一元二次方程下定義. 2.—元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念. 3.解決一些概念性的題目. 4.通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問 題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題. 難點(diǎn):通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模 型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念. 【教學(xué)過程】 一、復(fù)習(xí)引入

42、學(xué)生活動(dòng):列方程. 問題1：古算趣題：“執(zhí)竿進(jìn)屋” 笨人執(zhí)竿要進(jìn)屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多 二，沒法急得放聲哭。 有個(gè)鄰居聰明者，教他斜竿對(duì)兩角，笨人依言試一 試，不多不少剛抵足。 借問竿長(zhǎng)多少數(shù)，誰人算出我佩服。 如果假設(shè)門的高為x尺，那么，這個(gè)門的寬為 尺，長(zhǎng)為 尺， 根據(jù)題意，得 . 整理、化簡(jiǎn)，得: . 問題2:如圖，如果=,那么點(diǎn)C叫做線段 AB的黃金分割點(diǎn). 如果假設(shè)AB=1，AC=x,那么BC=,根據(jù)題意,得: . 整理得: . 問題3:有一面積為54 m2的長(zhǎng)方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個(gè)正方形，那么這個(gè)

43、正方形的邊長(zhǎng)是多少？ 如果假設(shè)剪后的正方形邊長(zhǎng)為x,那么原來長(zhǎng)方形長(zhǎng)是，寬是，根據(jù)題意，得: . 整理，得: . 老師點(diǎn)評(píng)并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模 型，并整理. 二、 探究新知 學(xué)生活動(dòng):請(qǐng)口答下面問題. (1) 上面三個(gè)方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)？ （2）按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是 幾次？ （3）有等號(hào)嗎？還是與多項(xiàng)式一樣只有式子？ 老師點(diǎn)評(píng)：（1)都只含一個(gè)未知數(shù)x；（2)它們的最 高次數(shù)都是2次的；（3)都有等號(hào)，是方程. 因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次）的方程,叫做一元二

44、次方程. 一般地,任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=O(a≠0).這種形式叫做一元二次方程的一般形式. 一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=O(a≠0)后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是 一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng). 三、 范例點(diǎn)擊 例1:將方程3x(x—1)= 5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng). 分析：一元二次方程的一般形式是 ax2 +bx+c = O (a≠0).因此，方程3x(x—1)=5(x+2)必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號(hào)、移項(xiàng)等. 解:一般形

45、式為3x2— 8x— 1O=O,二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為-8，常數(shù)項(xiàng)為-1O. 注意：二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、 常數(shù)項(xiàng)都包括前面的符號(hào). 例2:(學(xué)生活動(dòng):請(qǐng)二至三位同學(xué)上臺(tái)演練）將方程(x+1)2 + (x — 2) (x+ 2) =1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、 一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng). 分析:通過完全平方公式和平方差公式把（x+1)2 + (x一2)(x+2)=1 化成ax2+bx+c=O(a≠0)的形式. 解:一般形式為x2+x- 2=0.二次項(xiàng)為x2，二次項(xiàng)系數(shù)為1；一次項(xiàng)為x，一次項(xiàng)系數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)為-2. 四、鞏固

46、練習(xí) 1. 教材P32隨堂練習(xí) 2. 補(bǔ)充練習(xí)：判斷下列方程是否為一元二次方程？ (1) 3x+2=5y一3； ⑵x2=4； (3) 3x2-5x =0； (4) x2- 4=( x+2)2； (5) ax2+bx+c=0； 五、 應(yīng)用拓展 例3 :求證:關(guān)于x的方程(m2 —8m+17)x2 +2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程. 分析:要證明不論m取何值，該方程都是一元二 次方程，只要證明m2—8m+17≠0即可. 證明：m2—8m+17=(m一4)2+1 ∵(m—4)2≥0 ∴(m一4)2+1＞0，即（m—4)2+ 1≠0 ∴不論m取

47、何值，該方程都是一元二次方程. 六、 課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1. 一元二次方程的概念. 2. —元二次方程的一般形式ax2+bx + c=0 (a≠0)和二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的概念及其運(yùn)用. 七、 布置作業(yè) 1. 教材P32?33習(xí)題 2. 補(bǔ)充:若x2 — 2xm-1+3=0是關(guān)于x的一元二 次方程，求m的值. 第2課時(shí) 【教學(xué)目標(biāo)】 1. 了解一元二次方程根的概念，會(huì)判定一個(gè)數(shù)是 否是一個(gè)一元二次方程的根及利用它們解決一些具體問題. 2.提出問題，根據(jù)問題列出方程，化為一元二次方 程的一般形式，列式求解；由解給出根的概念；

48、識(shí)點(diǎn)解決一些具體問題 . 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根. 難點(diǎn)：由實(shí)際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實(shí)際問題的根. 【教學(xué)過程】 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng)：青同學(xué)獨(dú)立完成下列問題. 問題1：前面有關(guān)“執(zhí)竿進(jìn)屋”的問題中，我們列得 方程 x2—8x+20=0. 列表： ： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …. x2-8x+20 …. 問題2:前面有關(guān)長(zhǎng)方形的面積的問題中，我們列得方程 x2+7x—44=0，即 x2+7x=44 . x

49、 1 2 3 4 5 6 … x2+ 7x … 老師點(diǎn)評(píng)(略) 二、探究新知 提問:(1)問題1中一元二次方程的解是多少？問題2中一元二次方程的解是多少？ (2) 如果拋開實(shí)際問題，問題2中還有其它解嗎？ 老師點(diǎn)評(píng):(1)問題1中x=2與x=10是x2— 8x+20=0 的解，問題2中，x=4 是 x2 + 7x-44=0的解.（2)如果拋開實(shí)際問題，問題2中還有x=-11的解. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 回過頭來看:x2— 8x+20=0有兩個(gè)根，一個(gè)是2， 另一個(gè)是10,都滿足題意；但是，問題2中的x=-11

50、的根不滿足題意.因此，由實(shí)際問題列出方程并解得的根，并不一定是實(shí)際問題的根，還要考慮這些根是否確實(shí)是實(shí)際問題的解. 三、 范例點(diǎn)擊 例1:下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12 =0的根？ -4，-3，-2，-1,0，1,2,3，4. 分析:要判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根，只要把其代 入等式，使等式兩邊相等即可. 解:將上面的這些數(shù)代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以x=-2 或x=-3是一元二次方程 2x2 + 10x+12=0 的兩根. 例2:若x=1是關(guān)于x的一元二次方程ax2 +bX+c=0(a≠0)的一個(gè)根，求代數(shù)式 2007(a + b + c) 的值. 分析：如果

51、一個(gè)數(shù)是方程的根，那么把該數(shù)代入方 程，一定能使左右兩邊相等，這種解決問題的思維方法 經(jīng)常用到，同學(xué)們要深刻理解. 解:把x=1代入方程中得a+b+c=0,2007(a + b + c)=0. 例3 :你能用以前所學(xué)的知識(shí)求出下列方程的根嗎？ (1) x2— 64 =0； (2) 3x2—6=0； (3) x2—3x=0. 分析：要求出方程的根，就是要求出滿足等式的數(shù)，可用直接觀察結(jié)合平方根的意義. 解：(1)x1=8,x2 = —8； （2）x1=—，x2=； （3）x1=0，X2=3. 四、 鞏固練習(xí) 1.教材P34隨堂練習(xí) 2.關(guān)于x的一元二次方程（a一1) x2

52、+x + a20-1=0的一個(gè)根為0,則求a的值. 五、 應(yīng)用拓展 例3:要剪一塊面積為150 cm2的長(zhǎng)方形鐵片，使它的長(zhǎng)比寬多5 cm，這塊鐵片應(yīng)該怎樣剪？ 設(shè)長(zhǎng)為xcm，則寬為(x —5)cm 列方程 x (x—5)=150，即 x2—5x一150=0 請(qǐng)根據(jù)所列的方程回答以下問題： (1) x可能小于5嗎？可能等于10嗎？說說你的 理由. (2) 完成下表: x 10 11 12 13 14 15 16 17 … x2—5x —150 (3)你知道鐵片的長(zhǎng)x是多少嗎? 分析：x2— 5x— 150=0與上面兩

53、道例題明顯不同，不能用平方根的意義和整式中的分解因式的方法去求根，但是我們可以用一種新的方法——“夾逼”方法求出該方程的根. 解：（1)x不可能小于5.理由：如果x<5,則寬 (x—5)<0，不合題意. x不可能等于10.理由：如果x=10，則面積x2 — 5x—150=—100,也不可能. （2) x 10 11 12 13 14 15 16 17 … x2一5x—150 — 100 —84 —66 —46 —24 0 26 54 … (3)鐵片長(zhǎng)x=15 cm 六、 課堂小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1.一

54、元二次方程根的概念. 2.要會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根. 3.要會(huì)用一些方法求一元二次方程的根（“夾逼” 方法；平方根的意義） 七、 布置作業(yè) 教材P34習(xí)題 2.2 2. 2 用配方法求解一元二次方程 第1課時(shí) 【教學(xué)目標(biāo)】 1.理解一元二次方程“降次”——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題. 2.提出問題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax2 + c=0,根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程，然后知識(shí)遷移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):運(yùn)用開平方法解形如(x + m)2=n(n≥0)的方程；領(lǐng)會(huì)降次——轉(zhuǎn)化的數(shù)

55、學(xué)思想. 難點(diǎn):通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解形如（x + m)2=n(n≥0)的方程. 【教學(xué)過程】 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng):請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題 問題1：填空 （1）x2—8x + =(x — )2； （2）9x2 + 12x+ = (3x+ )2 ； (3)x2+Px + = (x + )2. 根據(jù)完全平方公式可得： (1)16 4； (2)4 2；(3)(p/2)2 p/2. 問題2:目前我們都學(xué)過哪些方程？二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？ 一元二次方程和一元一次方程有什么不同？二次如何轉(zhuǎn)化成一次？怎樣降次？以前學(xué)過哪些降次的方法？ 二、

56、 探究新知 上面我們已經(jīng)講了 x2=9，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=士3,如果x換元為2t+ 1，即（2t + 1)2=9，能否也用直接開平方的方法求解呢？ (學(xué)生分組討論） 老師點(diǎn)評(píng)：回答是肯定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴膞, 那么2t+1=士3， 即 2t+1=3，2t+1=—3， 方程的兩根為t1=1，t2=-2. 三、 范例點(diǎn)擊 例1:解方程： (1) ( 2x—1)2=5； (2) x2 + 6x+9=2； (3) x2-2x+4=-1. 分析：很清楚，x2+4x + 4是一個(gè)完全平方公式， 那么原方程就轉(zhuǎn)化為( x+2)2=1. 解:（1)由題意得：2x—

57、1=士， X=(1 士)/2 . x1=(1+)/2 ，x2= (1 -)/2 (2)由已知，得( x+3)2=2， 直接開平方，得x+3=士， 即x+3=，x+3=-. 所以，方程的兩根x1=—3+， x2=—3-. (3)方程可化為(x—1)2=—4， ∴?此方程無實(shí)數(shù)根. 例2:市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10 m2提高到14.4 m，求每年人均住房面積增長(zhǎng)率. 分析:設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為x. —年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10x=10(1+x)；二年后人均住房面積就應(yīng)該是 10(1+x) + 10 (1 +x)x=10 (1 +x) 2

58、 解:設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為x， 則 10(1+x)2=14. 4, (1+x)2=1. 44， 直接開平方，得1+x=士 1.2， 即1+x=1.2，1+x=-1.2. 所以方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2. 因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長(zhǎng)率應(yīng)為正的，因此 x2=-應(yīng)舍去. 所以每年人均住房面積增長(zhǎng)率應(yīng)為20%. (學(xué)生小結(jié))老師引導(dǎo)提問:解一元二次方程，它們 的共同特點(diǎn)是什么？ 共同特點(diǎn)這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”. 四、鞏固練習(xí) 1. 教材P37隨堂練習(xí). 2. 補(bǔ)充題:如圖，在ΔABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從 點(diǎn)B開始，沿AB邊向點(diǎn)B以1 cm

59、/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，沿BC邊向點(diǎn)C以2 cm/s的速度移動(dòng)，如果AB=6cm,BC=12 cm, P、Q都從B點(diǎn)同時(shí)出 發(fā)，幾秒后ΔPBQ的面積等于8 cm2？ 老師點(diǎn)評(píng)： 設(shè)x秒后ΔPBQ的面積等于8 cm2 則PB=x，BQ=2x 依題意，得:12x? 2x=8x2=8 根據(jù)平方根的意義，得x=士2 即 x1=2，x2=-2. 可以驗(yàn)證，2和-2都是方程12x? 2x=8的 兩根，但是移動(dòng)時(shí)間不能是負(fù)值. 所以2秒后ΔPBQ的面積等于8 cm2. 五、應(yīng)用拓展 例3:某公司一月份營(yíng)業(yè)額為1萬元，第一季度總營(yíng)業(yè)額為3. 31萬元，求該公司二、三月份營(yíng)

60、業(yè)額平均增長(zhǎng)率是多少？ 分析：設(shè)該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為 X，那么二月份的營(yíng)業(yè)額就應(yīng)該是（1+x)，三月份的營(yíng)業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長(zhǎng)的，應(yīng)是(1+X)2. 解:設(shè)該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為X. 那么 1 + (1+x) + (1+x)2=3. 31. 把(1+X)當(dāng)成一個(gè)數(shù)，配方得： (1+x+12)2=2. 56，即(x+32)2=2. 56，x+32=士, 即x+32=1. 6，x+32=-1. 6， 方程的根為X1=10%，X2= —3.1. 因?yàn)樵鲩L(zhǎng)率為正數(shù)，所以該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額 平均增長(zhǎng)率為10%. 六、 課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握：由

61、應(yīng)用直接開平方法解形如X2=p (P≥0)，那么X=士轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如 (mx+n)2=p(P≥0)，那么 mx + n=士P<0則方程無解. 七、 布置作業(yè) 教材P37?38習(xí)題2. 3 第2課時(shí) di 【教學(xué)目標(biāo)】 1. 理解間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題. 2. 通過復(fù)習(xí)可直接化成x2=p(p≥0)或（mx +n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):講清“直接降次有困難”，如x2+6x — 16=0 的一元二次方程的解題步驟. 難點(diǎn):

62、不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧. 【教學(xué)過程】 一、復(fù)習(xí)引入 (學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們解下列方程 (1) 3x2—1=5 ； (2) 4(x—1)2 —9=0； (3) 4x2 + 16x+16=9； ⑷ 4X2 + 16x=-7. 老師點(diǎn)評(píng):上面的方程都能化成x2=P或(mx + n)2=p(p>≥0)的形式，那么可得 x=士或 mx +n=士(p≥0). 如:4x2 + 16x+ 16= ( 2x+ 4 )2,你能把 4x2+ 16x=—7 化成 (2x+4)2=9 嗎？ 二、探究新知 列出下面問題的方程并回答： 問題:要使一塊矩

63、形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6m，并且面積為16 m2，場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬各是多少？ (1) 列出的經(jīng)化簡(jiǎn)為一般形式的方程與剛才解題 的方程有什么不同呢？ (2) 能否直接用上面三個(gè)方程的解法呢？ 答:（1)列出的經(jīng)化簡(jiǎn)為一般形式的方程與前面講 的三道題不 同之處是:前三個(gè)左邊是含有x的完全平方式而后兩個(gè)不具有. (2)不能. 既然不能直接降次解方程，那么，我們就應(yīng)該設(shè)法 把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉(zhuǎn)化： x2+6x—16=0 移項(xiàng)→?x2+ 6x=16 兩邊加(6/2)2使左邊配成x2+2bx+b2的形式→x2 +6x+32=16 + 9 左邊寫成平方形式→(x+

64、3)2=25降次→x+3=士5 即 x+3=5 或 x+3=-5 解一次方程→x1=2，x2=-8 可以驗(yàn)證:x1=2，x2=— 8都是方程的根，但場(chǎng)地 的寬不能是負(fù)值，所以場(chǎng)地的寬為2m，長(zhǎng)為8m. 像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解 一元二次方程的方法，叫配方法. 可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解. 三、范例點(diǎn)擊 例1：用配方法解下列關(guān)于x的方程： （1）x2—8x+1=0； (2)x2-2x—12=0. 分析：設(shè)X秒后ΔPCQ的面積為RtΔABC面積的一半， 第3 顯然方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，要

65、按 前面的方法化為完全平方式. 解：（l)X1=4+，X2=4-； (2)x1 = l+(/2),x2 = l-(/2) 四、 鞏固練習(xí) 教材P39隨堂練習(xí) 五、 應(yīng)用拓展 例 2：如圖，在 RtΔACB中，∠C=90°，AC=8 m， CB=6m，點(diǎn)P、Q同時(shí)由A，B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，它們的速度都是lm/s，幾秒后ΔPCQ的面積為RtΔACB面積的一半. 【教學(xué)目標(biāo)】 l.了解配方法的概念，掌握運(yùn)用配方法解一元二 次方程的步驟. 2. 通過復(fù)習(xí)上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的 概念，然后運(yùn)用配方法解決一些具體題目. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重

66、點(diǎn):講清配方法的解題步驟. 難點(diǎn):把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊后，兩邊加上的常數(shù) 是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方. 【教學(xué)過程】 一、復(fù)習(xí)引入 (學(xué)生活動(dòng))解下列方程： (l) x2—4x+7=0 ； (2)2x2—8x+1=0. 老師點(diǎn)評(píng):我們上一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊 不含有x的完全平方形式，不可以直接開方降次解方程的轉(zhuǎn)化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進(jìn)行解題. 解:略.（2)與(1)有何關(guān)聯(lián)？ 二、探究新知 討論:配方法解一元二次方程的一般步驟： (1) 現(xiàn)將已知方程化為一般形式；（2)化二次項(xiàng)系 ΔPCQ. 解:設(shè)x秒后ΔPCQ的面積為RtΔACB面積的一半 根據(jù)題意，得:12(8—x) (6—x)=12X12X8X6. 整理，得:x2 — 14x+24=0. (x—7)2=25即 x1=12,x2=2. x1=12,x2=2都是原方程的根，但x1=12不合題意，舍去. 所以2秒后ΔPCQ的面積為RtΔACB面積的一半. 六、 課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握:左邊不含有x的完全平方形式的 一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負(fù)數(shù)，可