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1、
學(xué)案26 平面向量的基本定理及坐標表示
導(dǎo)學(xué)目標: 1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.
自主梳理
1.平面向量基本定理
定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個________向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,__________一對實數(shù)λ1,λ2,使a=______________.
我們把不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組________.
2.夾角
(1)已知兩個非零向量a和b,作=a,=b,則∠AOB=θ叫做向量a
2、與b的________.
(2)向量夾角θ的范圍是________,a與b同向時,夾角θ=____;a與b反向時,夾角θ=____.
(3)如果向量a與b的夾角是________,我們說a與b垂直,記作________.
3.把一個向量分解為兩個____________的向量,叫做把向量正交分解.
4.在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底,對于平面內(nèi)的一個向量a,有且只有一對實數(shù)x,y使a=xi+yj,我們把有序數(shù)對______叫做向量a的________,記作a=________,其中x叫a在________上的坐標,y叫a在________
3、上的坐標.
5.平面向量的坐標運算
(1)已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)和實數(shù)λ,那么a+b=________________________,a-b=________________________,λa=________________.
(2)已知A(),B(),則=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1),即一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的__________的坐標減去__________的坐標.
6.若a=(x1,y1),b=(x2,y2) (b≠0),則a∥b的充要條件是________________________.
7.
4、(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則P1P2的中點P的坐標為________________________________.
(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),則△P1P2P3的重心P的坐標為_______________.
自我檢測
1.(2010·福建)若向量a=(x,3)(x∈R),則“x=4”是“|a|=5”的 ( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
2.設(shè)a=,b=,且a∥b,則銳角α為
5、 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
3.(2011·馬鞍山模擬)已知向量a=(6,-4),b(0,2),=c=a+λb,若C點在函數(shù)y=sin x的圖象上,則實數(shù)λ等于 ( )
A. B.
C.- D.-
4.(2010·陜西)已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,則m=________.
5.(2009·安徽)給
6、定兩個長度為1的平面向量和,它們的夾角為120°.如圖所示,點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動,若=x+y,其中x,y∈R,則x+y的最大值是______.
探究點一 平面向量基本定理的應(yīng)用
例1 如圖所示,在△OAB中,=,=,AD與BC交于點M,設(shè)=a,=b,以a、b為基底表示.
變式遷移1 (2011·廈門模擬)如圖,平面內(nèi)有三個向量、、,其中與的夾角為120°,與的夾角為30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ、μ∈R),則λ+μ的值為________.
探究點二 平面向量的坐標運算
例2 已知A(-
7、2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,=2,試求點M,N和的坐標.
變式遷移2 已知點A(1,-2),若向量|與a=(2,3)同向,||=2,則點B的坐標為________.
探究點三 在向量平行下求參數(shù)問題
例3 (2011·嘉興模擬)已知平面內(nèi)三個向量:a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m、n;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求實數(shù)k.
變式遷移3 (2009·江西)已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,則k=________.
1.在
8、解決具體問題時,合理地選擇基底會給解題帶來方便.在解有關(guān)三角形的問題時,可以不去特意選擇兩個基本向量,而可以用三邊所在的三個向量,最后可以根據(jù)需要任意留下兩個即可,這樣思考問題要簡單得多.
2.平面直角坐標系中,以原點為起點的向量=a,點A的位置被a所唯一確定,此時a的坐標與點A的坐標都是(x,y).向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應(yīng)的,即向量(x,y)向量點A(x,y).要把點的坐標與向量的坐標區(qū)分開,相等的向量坐標是相同的,但起點、終點的坐標可以不同,也不能認為向量的坐標是終點的坐標,如A(1,2),B(3,4),則=(2,2).
(滿分:75分)
一、選擇題(每
9、小題5分,共25分)
1.已知a,b是不共線的向量,若=λ1a+b,=a+λ2b, (λ1,λ2∈R),則A、B、C三點共線的充要條件為 ( )
A.λ1=λ2=-1 B.λ1=λ2=1
C.λ1λ2-1=0 D.λ1λ2+1=0
2.如圖所示,平面內(nèi)的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括邊界).若=a+b,且點P落在第Ⅲ部分,則實數(shù)a,b滿足 ( )
A.a(chǎn)>0,b>0 B.a(chǎn)>0,b<0
10、C.a(chǎn)<0,b>0 D.a(chǎn)<0,b<0
3.(2011·湛江月考)設(shè)兩個向量a=(λ+2,λ2-cos2α)和b=,其中λ、m、α為實數(shù).若a=2b,則的取值范圍是 ( )
A.[-6,1] B.[4,8]
C.(-∞,1] D.[-1,6]
4.設(shè)0≤θ≤2π時,已知兩個向量=(cos θ,sin θ),=(2+sin θ,2-cos θ),則向量長度的最大值是 (
11、 )
A. B. C.3 D.2
5.在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線,若=(2,4),=(1,3),則等于( )
A.(-2,-4) B.(-3,-5)
C.(3,5) D.(2,4)
題號
1
2
3
4
5
答案
二、填空題(每小題4分,共12分)
6.(2011·煙臺模擬)如圖所示,在△ABC中,點O是BC的中點.過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N,若=m,=n,則m+n的值為______.
7.在平面直角坐標系xOy中,四邊形ABCD的邊AB∥DC,AD∥BC.
12、已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6),則D點的坐標為________.
8.(2009·天津)在四邊形ABCD中,==(1,1),·+·=·,則四邊形ABCD的面積為________.
三、解答題(共38分)
9.(12分)已知A、B、C三點的坐標分別為(-1,0)、(3,-1)、(1,2),并且=,=.求證:∥.
10.(12分)(2011·宣城模擬)在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,已知向量m=(a,b),向量n=(cos A,cos B),向量p=(2sin,2sin A),若m∥n,p2=9,求證:△ABC為等邊三角形.
13、
11.(14分)如圖,在邊長為1的正△ABC中,E,F(xiàn)分別是邊AB,AC上的點,若=m,=n,m,n∈(0,1).設(shè)EF的中點為M,BC的中點為N.
(1)若A,M,N三點共線,求證:m=n;
(2)若m+n=1,求的最小值.
答案 自主梳理
1.不共線 有且只有 λ1e1+λ2e2 基底 2.(1)夾角 (2)[0,π] 0 π (3) a⊥b
3.互相垂直 4.(x,y) 坐標 (x,y) x軸 y軸 5.(1)(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1) (2)終點 始點
6.x1y2-x2y1=0 7.(1)
(2
14、)
自我檢測
1.A [由x=4知|a|==5;由|a|==5,得x=4或x=-4.故“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要條件.]
2.B [∵a∥b,∴×-sin αcos α=0,
∴sin 2α=1,2α=90°,α=45°.]
3.A [c=a+λb=(6,-4+2λ),代入y=sin x得,
-4+2λ=sin =1,解得λ=.]
4.-1
解析 a+b=(1,m-1),由(a+b)∥c,
得1×2-(m-1)×(-1)=0,所以m=-1.
5.2
解析 建立如圖所示的坐標系,
則A(1,0),B(cos 120°,sin 120°),
即B(-,)
15、.
設(shè)=,則= (cos α,sin α).
∵=x+y
=(x,0)+=(cos α,sin α).
∴ ∴
∴x+y=sin α+cos α=2sin(α+30°).
∵0°≤α≤120°,∴30°≤α+30°≤150°.
∴x+y有最大值2,當(dāng)α=60°時取最大值.
課堂活動區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 本題利用方程的思想,設(shè)=ma+nb,通過建立關(guān)于m、n的方程求解,同時注意體會應(yīng)用向量法解決平面幾何問題的方法.
解 設(shè)=ma+nb (m,n∈R),
則=-=(m-1)a+nb,
=-=b-a=-a+b.
因為A,M,D三點共線,所以=,即m+2n=1.
而=-
16、=a+nb,
=-=b-a=-a+b,
因為C,M,B三點共線,所以=,
即4m+n=1.由 解得
所以=a+b.
變式遷移1 6
解析 如右圖,=+
=λ+μ
在△OCD中,∠COD=30°,∠OCD=∠COB=90°,
可求||=4,同理可求||=2,
∴λ=4,μ=2,λ+μ=6.
例2 解 ∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
∴=(1,8),=(6,3).
∴=3=(3,24),
=2=(12,6).
設(shè)M(x,y),則=(x+3,y+4)=(3,24),
∴ ∴ ∴M(0,20).
同理可得N(
17、9,2),因此=(9,-18).
∴所求M(0,20),N(9,2),=(9,-18).
變式遷移2 (5,4)
解析 ∵向量與a同向,
∴設(shè)=(2t,3t) (t>0).
由||=2,∴4t2+9t2=4×13.∴t2=4.
∵t>0,∴t=2.∴=(4,6).
設(shè)B為(x,y),∴ ∴
例3 解 (1)∵a=mb+nc,m,n∈R,
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴ 解之得
(2)∵(a+kc)∥(2b-a),
且a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0,
18、∴k=-.
變式遷移3 5
解析 ∵a-c=(3,1)-(k,7)=(3-k,-6),
且(a-c)∥b,∴=,∴k=5.
課后練習(xí)區(qū)
1.C [∵A、B、C三點共線?與共線?=k?∴λ1λ2-1=0.]
2.B [由于點P落在第Ⅲ部分,且=a+b,則根據(jù)實數(shù)與向量的積的定義及平行四邊形法則知a>0,b<0.]
3.A [∵2b=(2m,m+2sin α),∴λ+2=2m,
λ2-cos2α=m+2sin α,∴(2m-2)2-m=cos2α+2sin α,
即4m2-9m+4=1-sin2α+2sin α.
又∵-2≤1-sin2α+2sin α≤2,
∴-2≤4m2
19、-9m+4≤2,解得≤m≤2,
∴≤≤4.又∵λ=2m-2,
∴=2-,∴-6≤2-≤1.]
6.2
解析 方法一 若M與B重合,N與C重合,
則m+n=2.
方法二 ∵2=+=m+n,
==.
∵O、M、N共線,∴+=1.
∴m+n=2.
7.(0,-2)
解析 設(shè)D點的坐標為(x,y),
由題意知=,
即(2,-2)=(x+2,y),所以x=0,y=-2,∴D(0,-2).
8.
S=||=||sin 60°=××=.
9.證明 設(shè)E、F兩點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2),則依題意,得=(2,2),=(-2,3),=(4,-1)
20、.
∴==,
==.
∴=(x1,y1)-(-1,0)=,
=(x2,y2)-(3,-1)=.…………………………………………………(4分)
∴(x1,y1)=+(-1,0)
=,
(x2,y2)=+(3,-1)=.
∴=(x2,y2)-(x1,y1)=.…………………………………………………(8分)
又∵=(4,-1),∴4×-(-1)×=0,
∴∥.……………………………………………………………………………(12分)
10.證明 ∵m∥n,∴acos B=bcos A.
由正弦定理,得sin Acos B=sin Bcos A,
即sin(A-B)=0.
∵A、
21、B為三角形的內(nèi)角,
∴-π