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1、基本不等式的應用》教學案例
【案例背景】
《基本不等式》是人教A版普通高中新課程標準實驗教科書數(shù)學必修5第三章第四節(jié)內(nèi)容,是在系統(tǒng)的學習了不等關系,掌握了不等式性質(zhì)的基礎上展開的,作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學習奠定基礎。要進一步了解不等式的性質(zhì)及運用,研究最值問題,基本不等式是必不可缺的。基本不等式在不等式知識體系中起了承上啟下的作用,同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應用,它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材,近幾年高考對不等式的證明要求有所降低,主要以求最值等形式出現(xiàn),所以利用基本不等式求最值應重點研究。
【案例描述】
一、教學設計思路本節(jié)課是復習課,通過上幾節(jié)課的學習,讓
2、學生自己觀察、分析、發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律,進而歸納總結出一般方法。
二、教學目標及重點難點
教學目標
a€b
(一)知識與技能:進一步掌握基本不等式ab,會應用此不等式求某些函數(shù)
的最值。
(二)過程與方法:通過對問題的探究,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題及歸納能力。
(三)情感態(tài)度與價值觀:激發(fā)學生學習和應用數(shù)學知識的興趣,培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。
教學重點
利用基本不等式求最值
教學難點
拆項、湊項構造基本不等式的形式,及不等式成立的條件
三、教學過程
(一)復習回顧
1、基本不等式
2、利用基本不等式求最值應具備的條件是什么?
(二)典型引路
求下列函數(shù)的值域
(1)
3、(1)y=3x2+2X2(2)y=x+*
(三)題型歸納
B
1.y二Ag(x)€—€C(A,0,B,0)類型函數(shù)求最值(g(x)恒正或恒負)
g(x)
例1:求下列函數(shù)的值域
(1)y=3x2+2X2(2)y=x+|
例2:已知x?,求函數(shù)y=4x-2+1的最大值.
4丿4x-5
方法:湊項
ax2€bx€c,”,
2. y=類型函數(shù)求取值(給出x的范圍)
mx€n
X2€7X€10
例3.求y二1(x,-1)的值域。
X€1
法一:分離
法二:換元
、、1.求函數(shù)y=x2x€4(x,1)的最小值.
x—1
變?yōu)榍髖=x—1(x,1)的最大值呢?若
4、改為x>4呢
x2—x€4
x2€5
2.求函數(shù)y=的值域。
x2€4
a
注意:若遇等號取不到的情況,應結合函數(shù)f(x)二x€的單調(diào)性。
x
3. y=ax(b—cx)(acv0)類型函數(shù)求最值
例4.當ux=4時,求y二x(8—2x)的最大值。
方法:湊系數(shù)
3
變式:設0
5、號的條件的一致性例6.已知x>0,y>0,xy=x+y+3,求xy和x+y的取值范圍方法:構造不等式
(四) 變式訓練求下列函數(shù)的最小值,并求取得最小值時,x的值.
(1)
y二sinx+,xg(0,…)
sinx
(五) 達標檢測求下列函數(shù)的最小值,并求取得最小值時,x的值.
基礎題】
求丄+丄的最小值
xy
(1)y二x2€3x€1,(x,0)(2)若x,y&R€且2x+y=1x
提高題】
(1)已知0?x?1,求函數(shù)y=*x(1—x)的最大值.;
2
(2)0?x?3,求函數(shù)y=.x(2-3x)的最大值.
【拓展性】
已知a,b為正實數(shù),2b+ab+a=30,求函數(shù)『=計的最小值
(六) 學習總結我們利用均值不等式求最值時,一定要注意“一正二定三相等”,同時還要注意一些變形技巧,積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。
【案例評析】學生通過這節(jié)課的學習不僅掌握了求最值的方法,還體驗到成功的喜悅。進而使學生掌握了學習數(shù)學的方法。