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1、 專題?10 多變的行程問題 閱讀與思考 行程問題的三要素是：距離（?s?）、速度（?v?）、時(shí)間（?t?），基本關(guān)系是：?s?=?vt?，v?=?s t  s ，t?=??． v 行程問題按運(yùn)動(dòng)方向可分為相遇問題、追及問題；按運(yùn)動(dòng)路線可分為直線形問題、環(huán)形問題 等．其中相遇問題、追及問題是最基本的類型，它們的特點(diǎn)與常用的等量關(guān)系如下： 1．相遇問題 其特點(diǎn)是：兩人（或物）從兩地沿同一路線相向而行，而最終相遇，一般地，甲行的路程＋乙行的 路程＝兩地之間的距離． 2．追及問題 其特點(diǎn)是：兩人（或物）沿同一路線、同

2、一方向運(yùn)動(dòng)，由于位置或者出發(fā)時(shí)間不同，造成一前一 后，又因?yàn)樗俣鹊牟町愂沟煤笳咦罱K能追及前者．一般地，快者行的路程－慢者行的路程＝兩地之間 的距離． 例題與求解 【例?1】在公路上，汽車?A?、?B?、?C?分別以?80?千米/時(shí)，70?千米/時(shí)，50?千米/時(shí)的速度勻速行駛， A?從甲站開往乙站，同時(shí)，?B?、?C?從乙站開往甲站．?A?在與?B?相遇后兩小時(shí)又與?C?相遇，則甲、乙 兩站相距__________千米． （“希望杯”競(jìng)賽試題） 解題思路：本例為直線上的相遇問題，可依據(jù)時(shí)間關(guān)系列方程． 【例?2】?如圖，某人沿著邊長為?90?來的正方形，按?A

3、?→?B?→?C?→?D?→?A?…方向，甲從?A?以?65 米/分的速度，乙從?B?以?72?米/分的速度行走，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的（ ）． A．?AB?邊上 B．?DA?邊上 C．?BC?邊上 D．?CD?邊上 甲?A D B 乙 C （安徽省競(jìng)賽試題） 解題思路：本例是一個(gè)特殊的環(huán)形追及問題，注意甲實(shí)際在乙的前面3?′?90?=?270?（米）處． 【例?3】亞州鐵人三項(xiàng)賽在徐州市風(fēng)光秀麗的云龍湖畔舉行．比賽程序是：運(yùn)動(dòng)員先同時(shí)下水游泳 1.5?千米到第一換項(xiàng)點(diǎn)，在第一換項(xiàng)點(diǎn)整理服裝后，接著

4、騎自行車?40?千米到第二換項(xiàng)點(diǎn)，再跑步?10?千 米到終點(diǎn)．下表是亞洲鐵人三項(xiàng)賽女子組（19?歲以下）三名運(yùn)動(dòng)員在比賽中的成績（游泳成績即游泳所 用時(shí)間，其他類推，表內(nèi)時(shí)間單位為秒）． 所用時(shí)間???? 白行車成績 運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼 游泳成績 第一換項(xiàng)點(diǎn) 第二換項(xiàng)點(diǎn) 所用時(shí)間?????長跑成績 191 194 195 1?997 1?503 1?354 75 110 74 4?927 5?686 5?351 40 57 44 3?220 3?652 3?195

5、 （1）填空（精確到?0.01）： 第?191?號(hào)運(yùn)動(dòng)員騎自行車的平均速度是__________米/秒； 第?194?號(hào)運(yùn)動(dòng)員騎自行車的平均速度是__________米/秒； 第?195?號(hào)運(yùn)動(dòng)員騎自行車的平均速摩是__________米/秒； （2）如果運(yùn)動(dòng)員騎自行車都是勻速的，那么在騎自行車的途中，191?號(hào)運(yùn)動(dòng)員會(huì)追上?195?號(hào)或?194 號(hào)嗎？如果會(huì)，那么追上時(shí)離第一換項(xiàng)點(diǎn)有多少米（精確到?0.01）？如果不會(huì)，為什么？ （3）如果運(yùn)動(dòng)員長跑也都是勻速的，那么在長跑途中這三名運(yùn)動(dòng)員有可能某人追上某人嗎？為什 么？ （江蘇省徐州市中考試題） 解題

6、思路：從表格中獲取信息，注意速度、時(shí)間的比較是解本例的關(guān)鍵． 【例?4】?一小船由?A?港到?B?港順流需行?6?小時(shí)，由?B?港到?A?港逆流需行?8?小時(shí)．一天，小船從早 晨?6?點(diǎn)由?A?港出發(fā)順流行至?B?港時(shí)，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1?小時(shí)后找到救生 圈，問： （1）若小船按水流速度由?A?港漂流到?B?港時(shí)需多少小時(shí)？ （2）救生圈是何時(shí)掉人水中的？ （天津市中考試題） 解題思路：要求小船按水流速度由?A?港漂流到?B?港時(shí)所需時(shí)間，需求兩港間的距離及水流速度， 考慮增設(shè)輔助未知數(shù)． 【例?5】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)到縣城參觀，規(guī)定汽

7、車從縣城出發(fā)于上午?7?時(shí)到達(dá)學(xué)校后，接參觀的師生立即 出發(fā)去縣城，由于汽車在赴校的途中發(fā)生故障，不得不停車修理，學(xué)校師生等到?7?時(shí)?10?分，仍未見汽 車來接，就步行走向縣城．在行進(jìn)途中遇到了已經(jīng)修理好的汽車，立即上車趕赴縣城，結(jié)果比預(yù)定到 達(dá)縣城的時(shí)間晚了半小時(shí)，如果汽車的速度是步行速度的?6?倍，汽車在途中排除故障花了多少時(shí)間？ （山東省中考試題） 解題思路：?從題中比原定時(shí)間晚到半小時(shí)入手，選好未知量，找出汽車所用時(shí)間與師生步趕所用 時(shí)間之間的關(guān)系．依時(shí)間、速度和路程之間的關(guān)系列出方程． 【例?6】?甲、乙兩人分別從?A?，?B?兩地同時(shí)出發(fā)，在距離?B

8、?地?6?千米處相遇，相遇后兩人又繼續(xù) 按原方向、原速度前進(jìn)，當(dāng)他們分別到達(dá)?B?地、?A?地后，立刻返回，又在距?A?地?4?千米處相遇，求 A?，?B?兩地相距多少千米？ （“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題） 解題思路：本例有多種解法，可借助圖形輔助分析． 能力訓(xùn)練 A?級(jí) 1．某人以?4?千米/小時(shí)的速度步行由甲地到乙地，然后又以?6?千米/小時(shí)的速度從乙地返回甲地，那 么某人往返一次的平均速度是__________千米/小時(shí)． 2．汽車以每小時(shí)?72?千米的速度筆直地開向寂靜的山谷，駕駛員按一聲喇叭，4?秒后聽到回

9、響，已 知聲音的速度是每秒?340?米，聽到回響時(shí)汽車離山谷的距離是__________米． （江蘇省競(jìng)賽試題） 3．甲、乙兩地相距?70?千米，有兩輛汽車同時(shí)從兩地相向出發(fā)，并連續(xù)往返于甲、乙兩地，從甲地 開出的為第一輛汽車，每小時(shí)行?30?千米，從乙地開出的為第二輛汽車，每小時(shí)行?40?千米．當(dāng)從甲地開 出的第一輛汽車第二次從甲地出發(fā)后與第二輛汽車相遇，這兩輛汽車分別行駛了 __________千米和 __________千米． （武漢市選拔賽試題） 4．上午?9?時(shí)整，時(shí)計(jì)與分針成直角，那么下一次時(shí)針與分針成直角的時(shí)間是（ ）．

10、 11??????? D．9?時(shí)?32 A．9?時(shí)?30?分 B．10?時(shí)?5?分 C．10?時(shí)?5?5?分 8 11  分 （“希望杯”競(jìng)賽試題） 5．甲、乙兩人同時(shí)從?A?地到?B?地，如果乙的速度?v?保持不變，而甲先用?2v?的速度到達(dá)中點(diǎn)，再 用?1?v?的速度到達(dá)?B?地，則下列結(jié)論中正確的是（ 2  ）． A．甲、乙同時(shí)到達(dá)?B?地 B．甲先到?B?地 C．乙先到?B?地 D．無法確定誰先到 6．甲與乙比賽登樓，他倆從?36?層的長江大廈底層出發(fā)，當(dāng)甲到達(dá)?6?樓時(shí)，乙剛到達(dá)?5?樓，按此

11、速 度，當(dāng)甲到達(dá)頂層時(shí)，乙可到達(dá)（ ）． A．31?層 B．30?層 C．29?層 D．28?層 7．如圖，甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)分別從正方形?ABCD?的頂點(diǎn)?A?，?C?同時(shí)沿正方形的邊開始移動(dòng)，甲點(diǎn)依 順時(shí)針方向環(huán)行，乙點(diǎn)依逆時(shí)針方向環(huán)行，若乙的速度是甲的速度的?4?倍，則它們的第?2007?次相遇在 邊（ ）上． A．?AB B．?BC C．?CD D．?DA A 甲  D 乙 B C （湖北省黃岡市競(jìng)賽試題） 8．甲、乙兩列火車同時(shí)從相距?120?千米的兩地相向行駛，甲速為每小時(shí)?8

12、4?千米，乙速為每小時(shí)?60 千米，則當(dāng)兩車相距?24?千米時(shí)行駛的時(shí)間為（ ）． A．40?分鐘 B．1?小時(shí) C．1?小時(shí)或?20?分鐘 D．40?分鐘或?1?小時(shí) 9．有一個(gè)只允許單向通過的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過?9?人，一天王老師到達(dá)道口 時(shí)，發(fā)現(xiàn)由于擁擠，每分鐘只能有?3?人通過道口，此時(shí)自己前面還有?36?人等待通過（假定先到的先過， 王老師過道口的時(shí)間忽略不計(jì)）．通過道口后，還需?7?分鐘到達(dá)學(xué)校： （1）此時(shí)，若繞道而行，要?15?分鐘到達(dá)學(xué)校，從節(jié)省時(shí)間考慮，王老師應(yīng)繞道去學(xué)校，還是選擇 通過擁擠的道口去學(xué)校？ （2）若在王老師等人的維持下

13、，幾分鐘后，秩序恢復(fù)正常（維持秩序期間，每分鐘仍有?3?人通過 道口），結(jié)果王老師比擁擠的情況下提前了?6?分鐘通過逬口，求維持秩序的時(shí)間． （江西省中考試題） 10．某人從家里騎摩托車到火車站，如果每小時(shí)行?30?千米，那么比火車開車時(shí)間早到?15?分鐘，若 每小時(shí)行?18?千米，則比火車開車時(shí)間遲到?15?分鐘，現(xiàn)在此人打算在火車開車前?10?分鐘到達(dá)火車站， 求此人此時(shí)騎摩托車的速度應(yīng)該是多少？ （湖北省孝感市競(jìng)賽試題） 11．鐵路旁的一條平行小路上有一行人與一騎車人同時(shí)向東行進(jìn)，行人速度為3.6?千米/小時(shí)，騎車 人速度為?16.8?千米

14、/小時(shí)，如果有一列火車從他們背后開過來，它通過行人用?22?秒，通過騎車人用?26 秒，問這列火車的車身長為多少米？ （河北省競(jìng)賽試題） B?級(jí) 1．甲、乙兩人從兩地同時(shí)出發(fā)，若相向而行，?a?小時(shí)相遇；若同向而行，則?b?小時(shí)甲追及乙，那 么甲、乙兩人的速度之比為__________． （江蘇省競(jìng)賽試題） 2．甲、乙兩列客車的長分別為?150?米和?200?米，它們相向行駛在平行的軌道上，已知甲車上某乘 客測(cè)得乙車在他窗口外經(jīng)過的時(shí)間是 10?秒，那么乙車上的乘客看見甲車在他窗口外經(jīng)過的時(shí)間是 ______

15、____秒． （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 3．某人乘船由?A?地順流而下到?B?地，然后又逆流而上到?C?地，共乘船?4?小時(shí)，已知船在靜水中的 速度為每小時(shí)?7.5?千米，水流速度為每小時(shí)?2.5?千米，若?A?，?C?兩地的距離為?10?千米，則?A?，?B?的距 離為__________千米． （重慶市競(jìng)賽試題） 4．某段公路由上坡、平坡、下坡三個(gè)等長的路段組成，已知一輛汽車在三個(gè)路段上行駛的平均速 度分別為?v?，?v?，?v?．則該汽車在這段公路上行駛的平均速度為（ ）． 1 2 3 3???????

16、?? C． B． 1 D．???? 3 A．?v1?+?v2?+?v3 3 1??1??1 +??+ v??v?v 2?3  1 1??1??1 +??+ v?v?v 1?2?3  1??1??1 +??+ v?v?v 1?2?3 （天津市競(jìng)賽試題） 5．靜水中航行，甲船的速度比乙船快，在水流速度不為零的河流中，甲、乙兩船同時(shí)從 A?港出 發(fā)，同向航行?1?小時(shí)后立即返航，那么（ ）． A．甲船先返回?A?港 B．乙船先返回?A?港 C．甲、乙兩船同時(shí)返回?A?港 D．不能確定哪條船先返回?A?港

17、 （《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題） 6．某商場(chǎng)有一部自動(dòng)扶梯勻速由下而上運(yùn)動(dòng)，甲、乙二人都急于上樓辦事，因此在乘扶梯的同時(shí) 勻速登梯，甲登了?55?級(jí)后到達(dá)樓上，乙登梯速度是甲的?2?倍（單位時(shí)間內(nèi)乙登樓級(jí)數(shù)是甲的?2?倍）， 他登了?60?級(jí)后到達(dá)樓上，那么，由樓下到樓上的自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)為__________． （北京市競(jìng)賽試題） 7．甲、乙兩同學(xué)從?400?米的環(huán)形跑道上的某一點(diǎn)背向出發(fā)，分別以每秒?2?米和每秒?3?米的速度慢 跑．6?秒鐘后，一只小狗從甲處以每秒?6?

18、米的速度向乙跑，遇到乙后，又從乙處以每秒?6?米的速度向甲 跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了__________米． 8．某風(fēng)景區(qū)的旅游線路如右圖所示，其中?A?為入口處，?B?，?C?，?D?為風(fēng)景點(diǎn)，?E?為三岔路的交 匯點(diǎn)，圖中所給的數(shù)據(jù)為相應(yīng)兩點(diǎn)間的路程（單位：千米）．某游客從?A?處出發(fā)，以每小時(shí)?2?千米的速 度步行游覽，每到一個(gè)景點(diǎn)逗留的時(shí)間均為半小時(shí)． （1）若該游客沿跨線“?A?→?D?→?C?→?E?→?A?”游覽回到?A?處，共用去?3?小時(shí)，求?C?,?E?兩點(diǎn)間 的路程． （2）若該游客從?A?處出發(fā)，打算在最短時(shí)間內(nèi)游完三個(gè)景點(diǎn)

19、并返回?A?處（仍按上述步行速度和在 景點(diǎn)的逗留時(shí)間，不考慮其他因素），請(qǐng)你為他設(shè)計(jì)一個(gè)步行路線，并對(duì)路線設(shè)計(jì)的合理性予以說明． D  1  C  1.2 1.3  B A?1.1?E?0.4 （江蘇省競(jìng)賽試題） 9．某人沿電車路行走，每?12?分鐘有一輛電車從后面追上，每?4?分鐘有一輛電車迎面開來，假定此 人和電車都是勻速前進(jìn)，則電車是每隔多少分鐘從起點(diǎn)站開出一輛？ （湖北省黃岡市競(jìng)賽試題） 10．如圖，甲、乙兩人分別在?A?，?B?兩地同時(shí)相向而行，于?E?處相遇后，甲繼續(xù)向?B?地行走，乙 則休息了?14?分鐘，再繼續(xù)向?A?地行走，甲和乙到達(dá)?B?和?A?后立即折返，仍在?E?處相遇，已知甲每分 鐘行走?60?米，乙每分鐘行走?80?米，則?A?和?B?兩地相距多少千米？ A 甲 E????????B 乙 （“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題）