2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第39講 平面的性質(zhì)與點(diǎn)線面的位置關(guān)系(Word版含解析)
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1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第39講 平面的性質(zhì)與點(diǎn)線面的位置關(guān)系 一、選擇題(共12小題) 1. 下列命題中,真命題的個(gè)數(shù)為 ?? ①如果兩個(gè)平面有三個(gè)不在一條直線上的公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合; ②兩條直線可以確定一個(gè)平面; ③空間中,相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi); ④若 M∈α,M∈β,α∩β=l,則 M∈l. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知 l1,l2,l3 是空間中三條不同的直線,則下列命題正確的是 ?? A. 若 l1⊥l2,l2⊥l3,則 l1∥l3 B. 若 l1⊥l2,l2∥l3,則 l1⊥l3 C. 若
2、 l1∥l2∥l3,則 l1,l2,l3 共面 D. 若 l1,l2,l3 共點(diǎn),則 l1,l2,l3 共面 3. 以下四個(gè)命題中,正確命題的個(gè)數(shù)是 ?? ①不共面的四點(diǎn)中,任意三點(diǎn)不共線; ②若點(diǎn) A,B,C,D 共面,點(diǎn) A,B,C,E 共面,則 A,B,C,D,E 共面; ③若直線 a,b 共面,直線 a,c 共面,則直線 b,c 共面; ④依次首尾相接的四條線段必共面. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 若直線 l1 和 l2 是異面直線,l1 在平面 α 內(nèi),l2 在平面 β 內(nèi),l 是平面 α 與平面 β 的交線,則下列命題正確
3、的是 ?? A. l 與 l1,l2 都不相交 B. l 與 l1,l2 都相交 C. l 至多與 l1,l2 中的一條相交 D. l 至少與 l1,l2 中的一條相交 5. 如圖,在底面為正方形,側(cè)棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-?A1B1C1D1 中,AA1=2AB=2,則異面直線 A1B 與 AD1 所成角的余弦值為 ?? A. 15 B. 25 C. 35 D. 45 6. 在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中,E 為棱 CC1 的中點(diǎn),則異面直線 AE 與 CD 所成角的正切值為 ?? A. 22 B. 32 C. 52 D. 72
4、 7. 若直線 l1 和 l2 是異面直線,l1 在平面 α 內(nèi),l2 在平面 β 內(nèi),l 是平面 α 與平面 β 的交線,則下列命題正確的是 ?? A. l 與 l1,l2 都不相交 B. l 與 l1,l2 都相交 C. l 至多與 l1,l2 中的一條相交 D. l 至少與 l1,l2 中的一條相交 8. 將圖(1)中的等腰直角三角形 ABC 沿斜邊 BC 的中線 AD 折起得到空間四面體 ABCD,如圖(2),則在空間四面體 ABCD 中,AD 與 BC 的位置關(guān)系是 ?? A. 相交且垂直 B. 相交但不垂直 C. 異面且垂直 D. 異面但不垂直
5、 9. 三棱錐 A?BCD 的所有棱長都相等,M,N 分別是棱 AD,BC 的中點(diǎn),則異面直線 BM 與 AN 所成角的余弦值為 ?? A. 13 B. 24 C. 33 D. 23 10. 如圖,點(diǎn) N 為正方形 ABCD 的中心,△ECD 為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M 是線段 ED 的中點(diǎn),則 ?? A. BM=EN,且直線 BM,EN 是相交直線 B. BM≠EN,且直線 BM,EN 是相交直線 C. BM=EN,且直線 BM,EN 是異面直線 D. BM≠EN,且直線 BM,EN 是異面直線 11. 在長方體 ABCD
6、?A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=3,則異面直線 AD1 與 DB1 所成角的余弦值為 ?? A. 15 B. 56 C. 55 D. 22 12. 已知直三棱柱 ABC?A1B1C1 中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線 AB1 與 BC1 所成角的余弦值為 ?? A. 32 B. 155 C. 105 D. 33 二、選擇題(共1小題) 13. 如圖,在正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中,AB=2AA1,E,F(xiàn) 分別為 AB,BC 的中點(diǎn),異面直 AB1 與 C1F 所成角的余弦值為 m,則 ??
7、A. m=33 B. 直線 A1E 與直線 C1F 共面 C. m=23 D. 直線 A1E 與直線 C1F 異面 三、填空題(共7小題) 14. 設(shè) a,b,c 是空間中的三條直線,下面給出四個(gè)命題: ①若 a∥b,b∥c,則 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,則 a∥c; ③若 a 與 b 相交,b 與 c 相交,則 a 與 c 相交; ④若 a?平面α,b?平面β,則 a,b 一定是異面直線. 上述命題中正確的命題是 ?(填序號(hào)). 15. 四條線段順次首尾相連,它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)為
8、 ?. 16. 如圖所示,在正方體 ABCD-?A1B1C1D1 中,E,F(xiàn) 分別是 AB,AD 的中點(diǎn),則異面直線 B1C 與 EF 所成角的大小為 ?. 17. 如圖,在正方體 ABCD?-A1B1C1D1 中,M,N 分別為棱 C1D1,C1C 的中點(diǎn),有以下四個(gè)結(jié)論: ①直線 AM 與 CC1 是相交直線; ②直線 AM 與 BN 是平行直線; ③直線 BN 與 MB1 是異面直線; ④直線 AM 與 DD1 是異面直線. 其中正確的結(jié)論為 ?(填序號(hào)). 18.
9、如圖,在三棱錐 A?-BCD 中,E,F(xiàn),G,H 分別是棱 AB,BC,CD,DA 的中點(diǎn),則 (1)當(dāng) AC,BD 滿足條件 ?時(shí),四邊形 EFGH 為菱形; (2)當(dāng) AC,BD 滿足條件 ?時(shí),四邊形 EFGH 為正方形. 19. 如圖,在正方體 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分別是 BC1,CD1 的中點(diǎn),則下列判斷中錯(cuò)誤的是 ?.(填序號(hào)) ① MN 與 CC1 垂直; ② MN 與 AC 垂直; ③ MN 與 BD 平行; ④ MN 與 A1B1
10、 平行. 20. a,b 為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形 ABC 的直角邊 AC 所在直線與 a,b 都垂直,斜邊 AB 以直線 AC 為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論: ①當(dāng)直線 AB 與 a 成 60° 角時(shí),AB 與 b 成 30° 角; ②當(dāng)直線 AB 與 a 成 60° 角時(shí),AB 與 b 成 60° 角; ③直線 AB 與 a 所成角的最小值為 45°; ④直線 AB 與 a 所成角的最大值為 60°. 其中正確的是 ?.(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)) 四、解答題(共7小題) 21. 如圖所示,在正方體 AB
11、CD?A1B1C1D1 中,E,F(xiàn) 分別是 AB 和 AA1 的中點(diǎn).求證: (1)E,C,D1,F(xiàn) 四點(diǎn)共面; (2)CE,D1F,DA 三線共點(diǎn). 22. 如圖,在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中,E,F(xiàn) 分別是 AB 和 AA1 的中點(diǎn).求證: (1)E,C,D1,F(xiàn) 四點(diǎn)共面. (2)CE,D1F,DA 三線共點(diǎn). 23. 已知空間四邊形 ABCD(如圖所示),E,F(xiàn) 分別是 AB,AD 的中點(diǎn),G,H 分別是 BC,CD 上的點(diǎn),且 CG=13BC,CH=13DC.求證: (1)E,F(xiàn),G,H 四點(diǎn)共面; (2)三直線 FH,E
12、G,AC 共點(diǎn). 24. 如圖,在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中,點(diǎn) M,N 分別是 A1B1,B1C1 的中點(diǎn).求證: (1)AM 和 CN 共面; (2)D1B 和 CC1 是異面直線. 25. 已知不共面的三條直線 a,b,c 相交于點(diǎn) P,A∈a,B∈a,C∈b,D∈c,求證:AD 與 BC 是異面直線. 26. 已知直三棱柱 ABC?A1B1C1 中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,求異面直線 AB1 與 BC1 所成角的余弦值. 27. 如圖所示,在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中, (1)求
13、AC 與 A1D 所成角的大小; (2)若 E,F(xiàn) 分別為 AB,AD 的中點(diǎn),求 A1C1 與 EF 所成角的大?。? 答案 1. B 【解析】根據(jù)公理 2,可判斷①是真命題; 兩條異面直線不能確定一個(gè)平面,故②是假命題; 在空間中,相交于同一點(diǎn)的三條直線不一定共面(如墻角),故③是假命題; 根據(jù)平面的性質(zhì)可知④是真命題. 綜上所述,真命題的個(gè)數(shù)為 2. 2. B 【解析】在空間中,垂直于同一直線的兩條直線不一定平行,故A錯(cuò)誤;若兩條平行直線中的一條垂直于第三條直線,則另一條也垂直于第三條直線,故B正確;相互平行的三條直線不一定共面,如三棱柱的三條側(cè)棱,故C錯(cuò)誤
14、;共點(diǎn)的三條直線不一定共面,如三棱錐的三條側(cè)棱,故D錯(cuò)誤. 3. B 【解析】①顯然是正確的,可用反證法證明; ②若 A,B,C 三點(diǎn)共線,則 A,B,C,D,E 五點(diǎn)不一定共面; ③構(gòu)造長方體或正方體,如圖,顯然 b,c 異面,故不正確; ④空間四邊形中四條線段不共面.故正確的個(gè)數(shù)為 1. 4. D 【解析】由直線 l1 和 l2 是異面直線可知 l1 與 l2 不平行,故 l1,l2 中至少有一條與 l 相交. 5. D 【解析】連接 BC1. 易證 BC1∥AD1,則 ∠A1BC1 或其補(bǔ)角為異面直線 A1B 與 AD1 所成的角. 連接 A1C1,由
15、 AB=1,AA1=2,易得 A1C1=2,A1B=BC1=5, 故 cos∠A1BC1=5+5?22×5×5=45, 即異面直線 A1B 與 AD1 所成角的余弦值為 45. 6. C 【解析】取 DD1 中點(diǎn) F,連 EF,AF,AE, 易知 EF∥DC, 所以 ∠AEF 為兩異面直線所成的角. 在 Rt△AEF 中,令正方體棱長為 1,則 EF=1,AF=52, 所以 tan∠AEF=AFEF=52. 故選C. 7. D 【解析】由于 l 與直線 l1,l2 分別共面, 故直線 l 與 l1,l2 要么都不相交,要么至少與 l1,l2 中的一條相交. 若
16、 l∥l1,l∥l2,則 l1∥l2,這與 l1,l2 是異面直線矛盾. 故 l 至少與 l1,l2 中的一條相交. 8. C 【解析】折起前 AD⊥BC,折起后有 AD⊥BD,AD⊥DC, 所以 AD⊥平面BCD, 所以 AD⊥BC. 又 AD 與 BC 不相交,故 AD 與 BC 異面且垂直. 9. D 【解析】連接 DN,取 DN 的中點(diǎn) O,連接 MO,BO, 因?yàn)?M 是 AD 的中點(diǎn), 所以 MO∥AN, 所以 ∠BMO(或其補(bǔ)角)是異面直線 BM 與 AN 所成的角, 設(shè)三棱錐 A?BCD 的所有棱長為 2, 則 AN=BM=DN=22?12=3
17、, 則 MO=12AN=32=NO=12DN, 則 BO=BN2+NO2=1+34=72. 在 △BMO 中,由余弦定理得 cos∠BMO=BM2+MO2?BO22?BM?MO=3+34?742×3×32=23, 所以異面直線 BM 與 AN 所成角的余弦值為 23. 10. B 【解析】過 E 作 EQ⊥CD 于 Q,連接 BD,QN,BE,易知點(diǎn) N 在 BD 上. 因?yàn)?平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD, 所以 EQ⊥平面ABCD, 所以 EQ⊥QN,同理可知 BC⊥CE, 設(shè) CD=2,易知 EQ=3,QN=1, 則 EN=EQ2+Q
18、N2=3+1=2,BE=BC2+CE2=4+4=22. 易知 BE=BD, 又因?yàn)?M 為 DE 的中點(diǎn), 所以 BM⊥DE, 所以 BM=BE2?EM2=8?1=7, 所以 BM=7>2=EN. 所以 BM≠EN. 又因?yàn)辄c(diǎn) M,N,B,E 均在平面 BED 內(nèi), 所以 BM,EN 在平面 BED 內(nèi), 又 BM 與 EN 不平行, 所以 BM,EN 是相交直線. 11. C 【解析】以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1 所在直線分別為 x 軸,y 軸,z 軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示. 由條件可知 D0,0,0,A1,0,0,D10,0,3,B11,1,
19、3, 所以 AD1=?1,0,3,DB1=1,1,3. 則 cosAD1,DB1=AD1?DB1AD1?DB1=225=55, 即異面直線 AD1 與 DB1 所成角的余弦值為 55. 12. C 【解析】如圖所示,將直三棱柱 ABC?A1B1C1 補(bǔ)成直四棱柱 ABCD?A1B1C1D1, 連接 AD1,B1D1,則 AD1∥BC1, 所以 ∠B1AD1 或其補(bǔ)角為異面直線 AB1 與 BC1 所成的角. 因?yàn)?∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1, 所以 AB1=5,AD1=2. 在 △B1D1C1 中,∠B1C1D1=60°,B1C1=1,D1C1=2
20、, 所以 B1D1=12+22?2×1×2×cos60°=3, 所以 cos∠B1AD1=5+2?32×5×2=105. 13. B, C 【解析】如圖,連接 DC1,DF,則 DC1∥AB1, 所以 ∠DC1F 為異面直線 AB1 與 C1F 所成的角, 因?yàn)?AB=2AA1,ABCD?A1B1C1D1 為正四棱柱,E,F(xiàn) 分別為 AB,BC 的中點(diǎn),設(shè) AA1=2,則 AB=2,C1D=6,C1F=3,DF=5, 所以在 △DFC1 中,根據(jù)余弦定理,cos∠DC1F=6+3?52×6×3=23; 所以 m=23; 連接 A1C1,AC,EF,則 A1C1∥
21、AC,EF∥AC, 所以 EF∥A1C1, 所以 A1E 與 C1F 共面. 14. ① 【解析】由公理 4 知①正確; 當(dāng) a⊥b,b⊥c 時(shí),a 與 c 可以相交、平行或異面,故②錯(cuò)誤; 當(dāng) a 與 b 相交,b 與 c 相交時(shí),a 與 c 可以相交、平行,也可以異面,故③錯(cuò)誤; a?α,b?β,并不能說明 a 與 b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”,故④錯(cuò)誤. 15. 4 【解析】首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個(gè)平面,所以最多可以確定 4 個(gè)平面. 16. 60° 【解析】連接 B1D1,D1C,則 B1D1∥EF, 故 ∠D1B1C 即為所求的角.
22、 又 B1D1=B1C=D1C, 所以 △B1D1C 為等邊三角形, 所以 ∠D1B1C=60°. 17. ③④ 【解析】直線 AM 與 CC1 是異面直線,直線 AM 與 BN 也是異面直線,故①②錯(cuò)誤. 18. AC=BD,AC=BD 且 AC⊥BD 【解析】(1)因?yàn)樗倪呅?EFGH 為菱形, 所以 EF=EH, 故 AC=BD. (2)因?yàn)樗倪呅?EFGH 為正方形, 所以 EF=EH 且 EF⊥EH, 因?yàn)?EF 平行相等于 12AC,EH 平行相等于 12BD, 所以 AC=BD 且 AC⊥BD. 19. ④ 【解析】如圖所示,連接 B1C,B1D
23、1, 則 M 是 B1C 的中點(diǎn),MN 是 △B1CD1 的中位線, 所以 MN∥B1D1, 又 BD∥B1D1, 所以 MN∥BD. 因?yàn)?CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1, 所以 MN⊥CC1,MN⊥AC. 又因?yàn)?A1B1 與 B1D1 相交, 所以 MN 與 A1B1 不平行.故④錯(cuò)誤. 20. ②③ 【解析】由題意,AB 是以 AC 為軸,BC 為底面半徑的圓錐的母線,又 AC⊥a,AC⊥b,AC⊥ 圓錐底面, 所以在底面內(nèi)可以過點(diǎn) B,作 BD∥a,交底面圓 C 于點(diǎn) D, 如圖所示,連接 DE,則 DE⊥BD, 所以 DE∥b,連接 AD,設(shè)
24、BC=1,在等腰 △ABD 中,AB=AD=2,當(dāng)直線 AB 與 a 成 60° 角時(shí),∠ABD=60°,故 BD=2, 又在 Rt△BDE 中,BE=2, 所以 DE=2,過點(diǎn) B 作 BF∥DE,交圓 C 于點(diǎn) F,連接 AF,EF, 所以 BF=DE=2, 所以 △ABF 為等邊三角形, 所以 ∠ABF=60°,即 AB 與 b 成 60° 角,故②正確,①錯(cuò)誤. 由最小角定理可知③正確; 很明顯,可以滿足 平面ABC⊥ 直線 a, 所以直線 AB 與 a 所成角的最大值為 90°,④錯(cuò)誤. 所以正確的說法為②③. 21. (1) 連接 EF,CD1,A1B.
25、
因?yàn)?E,F(xiàn) 分別是 AB,AA1 的中點(diǎn),
所以 EF∥BA1.
又 A1B∥D1C,
所以 EF∥CD1,
所以 E,C,D1,F(xiàn) 四點(diǎn)共面.
??????(2) 因?yàn)?EF∥CD1,EF 26、A1B 且 EF=12A1B.
又因?yàn)?A1D1∥BC 且 A1D1=BC,
所以四邊形 A1BCD1 是平行四邊形.
所以 A1B∥CD1,
所以 EF∥CD1,
所以 EF 與 CD1 確定一個(gè)平面 α.
所以 E,F,C,D1∈α,
即 E,C,D1,F(xiàn) 四點(diǎn)共面.
??????(2) 由(1)知,EF∥CD1,且 EF=12CD1,
所以四邊形 CD1FE 是梯形,
所以 CE 與 D1F 必相交.
設(shè)交點(diǎn)為 P,則 P∈CE?平面ABCD,且 P∈D1F?平面A1ADD1,
所以 P∈平面ABCD 且 P∈平面A1ADD1.
又因?yàn)槠矫?ABCD∩平面A1A 27、DD1=AD,
所以 P∈AD,
所以 CE,D1F,DA 三線共點(diǎn).
23. (1) 如圖所示,連接 EF,GH.
因?yàn)?E,F(xiàn) 分別是 AB,AD 的中點(diǎn),
所以 EF∥BD.
又因?yàn)?CG=13BC,CH=13DC,
所以 GH∥BD,
所以 EF∥GH,
所以 E,F(xiàn),G,H 四點(diǎn)共面.
??????(2) 易知直線 FH 與直線 AC 不平行,但共面,
所以設(shè) FH∩AC=M,
所以 M∈平面EFHG,M∈平面ABC.
又因?yàn)?平面EFHG∩平面ABC=EG,
所以 M∈EG,
所以 FH,EG,AC 共點(diǎn).
24. (1) 如圖,連接 MN,A1C 28、1,AC.
因?yàn)辄c(diǎn) M,N 分別是 A1B1,B1C1 的中點(diǎn),
所以 MN∥A1C1.
因?yàn)?A1A∥C1C,
所以四邊形 A1ACC1 為平行四邊形,
所以 A1C1∥AC,
所以 MN∥AC,
所以 A,M,N,C 四點(diǎn)共面,即 AM 和 CN 共面.
??????(2) 因?yàn)?ABCD?A1B1C1D1 是正方體,
所以 B,C,C1,D1 不共面.
假設(shè) D1B 與 CC1 不是異面直線,
則存在平面 α,使 D1B?平面α,CC1?平面α,
所以 D1,B,C,C1∈α,這與 B,C,C1,D1 不共面矛盾.
所以假設(shè)不成立,即 D1B 與 CC1 是 29、異面直線.
25. (方法 1)(反證法):
假設(shè) AD 和 BC 共面,所確定的平面為 α,那么點(diǎn) P,A,B,C,D 都在平面 α 內(nèi),
所以直線 a,b,c 都在平面 α 內(nèi),與已知條件 a,b,c 不共面矛盾,假設(shè)不成立,
所以 AD 和 BC 是異面直線.
(方法 2)(直接證法):
因?yàn)?a∩c=P,
所以它們確定一個(gè)平面,設(shè)為 α,
由已知 C?平面α,B∈平面α,BC?平面α,AD?平面α,B?AD,
所以 AD 和 BC 是異面直線.
26. 如圖所示,將直三棱柱 ABC?A1B1C1 補(bǔ)成直四棱柱 ABCD?A1B1C1D1,
連接 AD1,B 30、1D1,則 AD1∥BC1,
所以 ∠B1AD1 或其補(bǔ)角為異面直線 AB1 與 BC1 所成的角.
因?yàn)?∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,
所以 AB1=5,AD1=2.
在 △B1D1C1 中,∠B1C1D1=60°,B1C1=1,D1C1=2,
所以 B1D1=12+22?2×1×2×cos60°=3,
所以 cos∠B1AD1=5+2?325×2=105.
27. (1) 連接 B1C,AB1,由 ABCD?A1B1C1D1 是正方體,
易知 A1D∥B1C,從而 B1C 與 AC 所成的角就是 AC 與 A1D 所成的角.
因?yàn)?AB1=AC=B1C,
所以 ∠B1CA=60°.
即 A1D 與 AC 所成的角為 60°.
??????(2) 連接 BD,在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中,AC⊥BD,AC∥A1C1,
因?yàn)?E,F(xiàn) 分別為 AB,AD 的中點(diǎn),
所以 EF∥BD,
所以 EF⊥AC.
所以 EF⊥A1C1.
即 A1C1 與 EF 所成的角為 90°.
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