《2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù) 2.2.1 導(dǎo)數(shù)的概念課件4 北師大版選修2-2.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù) 2.2.1 導(dǎo)數(shù)的概念課件4 北師大版選修2-2.ppt（30頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、導(dǎo)數(shù)的概念,2.1 導(dǎo)數(shù)的概念,1.曲線的切線,如圖,曲線C是函數(shù)y= f(x) 的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的 任意一點(diǎn),Q(x0+Δx,y0+Δy) 為P鄰近一點(diǎn),PQ為C的割線, PM//x軸,QM//y軸,β為PQ的 傾斜角.,,,,,,P,Q,,,,,,,,,割線,切線,T,,,請(qǐng)看當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí),割線PQ繞著點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況.,我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線PQ有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.,設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時(shí),割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.,即:,這個(gè)概念:①提供了求曲

2、線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)平均變化率的極限.,注意,曲線在某點(diǎn)處的切線: (1)與該點(diǎn)的位置有關(guān)； (2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解切線。,因此,切線方程為y-2=2(x-1), 即y=2x.,求曲線在某點(diǎn)處的切 線方程的基本步驟 : 先利 用切線斜率的定義求出切 線的斜率,然后利用點(diǎn)斜式求切線方程.,練習(xí):求曲線 上一點(diǎn)P(1,-1)處的切線方程.,答案:y=3x-4.,2.瞬時(shí)速度,已知物體作變速直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為s＝s(t)(ｓ表示位移,t表示時(shí)間),求物體在t0時(shí)刻的速度．,如圖設(shè)該物體在時(shí)刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在時(shí)刻t0

3、+Δt 的位置是s(t0+ Δ t)=OA1,則從t0 到 t0 +Δt 這段時(shí)間內(nèi),物體的位移是:,在時(shí)間段( t0+Dt)－ t0 = Dt 內(nèi)，物體的平均速度為:,平均速度反映了物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的快慢程度,但要精確地描述非勻速直線運(yùn)動(dòng),就要知道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢程度,也既需要通過瞬時(shí)速度來反映.,如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是 s=s(t)，那么物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v，就是物體在t到 t+Δt這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng) Δt?0 時(shí)平均速度:,例2:物體作自由落體運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方程為： 其中位 移單位是m,時(shí)間單位是s, g=10m/s2.求： (1) 物體在時(shí)間區(qū)間[2,2.1]上的平均速度； (2)

4、 物體在時(shí)間區(qū)間[2,2.01]上的平均速度； (3) 物體在t=2(s)時(shí)的瞬時(shí)速度.,解:,(1)將 Δt=0.1代入上式，得:,(2)將 Δt=0.01代入上式，得:,即物體在時(shí)刻t0=2(s)的瞬時(shí)速度等于20(m/s). 當(dāng)時(shí)間間隔Δt 逐漸變小時(shí),平均速度就越接近t0=2(s) 時(shí)的瞬時(shí)速度v=20(m/s).,練習(xí):某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=5t2+6,求: (1)2≤t≤2+Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度,這里Δt取值 范圍為1; (2)t=2時(shí)刻的瞬時(shí)速度.,3.導(dǎo)數(shù)的概念,從上面兩個(gè)實(shí)例,一個(gè)是曲線的切線的斜率,一個(gè)是瞬時(shí)速度,具體意義不同,但通過比較可以看出它們

5、的數(shù) 學(xué)表達(dá)式結(jié)構(gòu)是一樣的,即計(jì)算極限 ,這就是我們要學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)的定義.,定義：設(shè)函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x0處及其附近有定義,當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處有改變量Δx時(shí)函數(shù)有相應(yīng)的改變量Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果當(dāng)Δx?0 時(shí),Δy/Δx的極限存在,這個(gè)極限就叫做函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)記作 即:,如瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s (t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù).,是函數(shù)f (x)在以x0與x0+Δx 為端點(diǎn)的區(qū)間[x0,x0+Δx](或[x0-Δx,x0])上的平均變化率,而導(dǎo)數(shù)則是函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0 處的變化率,它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度．,如果

6、函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x=x0存在導(dǎo)數(shù),就說函數(shù)y= f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),如果極限不存在,就說函數(shù) f (x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo).,由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是:,例1:(1)求函數(shù)y=x2在x=1處的導(dǎo)數(shù); (2)求函數(shù)y=x+1/x在x=2處的導(dǎo)數(shù).,如果函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a ,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),就說函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a ,b)內(nèi)可導(dǎo).這時(shí),對(duì)每一個(gè)x? (a ,b)都有唯一確定的導(dǎo)數(shù)值與它對(duì)應(yīng),這樣在區(qū)間(a，b)內(nèi)就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù).這個(gè)新的函數(shù)叫做函數(shù)f (x)在區(qū)間(a ,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù),記作 ,即:,

7、在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)．,如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),那么函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)．,求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)可分如下三步:,4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線 y=f(x)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0))處的切線的斜率，即曲線y= f(x)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0)) 處的切線的斜率是 .,故曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0))處的切線方程是:,例1:設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù),且滿足條件 , 求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率.,故所求的斜率為-2.,例2:如圖,已知曲線 ,求: (

8、1)點(diǎn)P處的切線的斜率; (2)點(diǎn)P處的切線方程.,即點(diǎn)P處的切線的斜率等于4.,(2)在點(diǎn)P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,例1:判斷下列各命題的真假: (1)已知函數(shù)y=f (x)的圖象上的點(diǎn)列P1,P2,P3,…Pn…, 則過P0與Pn兩點(diǎn)的直線的 斜率就是函數(shù)在點(diǎn)P0處的導(dǎo)數(shù).,答:由函數(shù)在點(diǎn)P0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義知:函數(shù)在點(diǎn) P0處的導(dǎo)數(shù)是過P0點(diǎn)曲線(即函數(shù)y=f (x)的圖象) 的切線的斜率,而不是割線P0Pn的斜率,故它是一 個(gè)假命題.,(2)若物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是S=f (t),則物體在時(shí)刻t0的瞬 時(shí)速度V等

9、于,答:由于它完全符合瞬時(shí)速度的定義,故它是一個(gè)真 命題.,(3)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,則對(duì)任一 只要 函數(shù)在x0處連續(xù),則 就必存在.,5.例題選講,答:它是一個(gè)假命題.例如,函數(shù) 在x=0處連續(xù),但 它在x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在.,(4)設(shè) 是函數(shù)y=f(x)的圖象上的三點(diǎn),且函數(shù)在P1,P2,P3 三點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)均存在.若 ,則必有,答: ,由于f (x)的導(dǎo)函 數(shù) 未必是單調(diào)增函數(shù).因此, 不一定成立,例如f (x)=x3,則 顯然有 故是假命題.,說明:要正確判斷命題的真假,需真正理解:曲

10、線在點(diǎn)P處 切線的斜率、瞬時(shí)速度、連續(xù)與可導(dǎo)等概念,還要 把握好要確定一個(gè)命題為真命題,則需給出論證, 而要給出否定的結(jié)論,舉一個(gè)反例就足夠了.,例2:設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),求下列各極限值:,分析:利用函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的條件,將題目中給定 的極限恒等變形為導(dǎo)數(shù)定義的形式.注意在導(dǎo)數(shù)定 義中,自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx 選擇哪種形式, Δy也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式.,例3:證明:(1)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù); (2)可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).,證:(1)設(shè)偶函數(shù)f (x),則有f (-x)=f (x).,(2)仿(1

11、)可證命題成立,在此略去,供同學(xué)們?cè)谡n后練 習(xí)用.,練習(xí)1:設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),求下列各極限值:,練習(xí)2:設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo),試用a、f(a)和,例4:判斷函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處是否可導(dǎo).,從而函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處不可導(dǎo).,注:這是一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)的例子.,練習(xí)3:函數(shù)f (x)=|x|(1+x)在點(diǎn)x0=0處是否有導(dǎo)數(shù)?若有, 求出來,若沒有,說明理由.,故函數(shù)f(x)=|x|(1+x)在點(diǎn)x0=0處沒有導(dǎo)數(shù),即不可導(dǎo).,6.小結(jié),a.導(dǎo)數(shù)是從眾多實(shí)際問題中抽象出來的具有相同的數(shù) 學(xué)表達(dá)式的一個(gè)重要概念，要從它的幾何意義和物

12、 理意義了認(rèn)識(shí)這一概念的實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)用事物在全過 程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時(shí)刻的狀態(tài)。,b.要切實(shí)掌握求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟：（1）求函數(shù)的增 量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)。,c.弄清“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)” 之間的區(qū)別與聯(lián)系。,（1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改 變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè) 常數(shù)，不是變數(shù)。,（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的, 就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 。,（3）如果函數(shù)y＝f (x)在開區(qū)間(a ,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo), 就說函數(shù)y＝f (x)在開區(qū)間(a ,b)內(nèi)可導(dǎo)，這時(shí)

13、,對(duì)于開區(qū)間內(nèi)每一個(gè)確定的值x0，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) ，這樣就在開區(qū)間(a ,b)內(nèi) 可構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，稱作f (x)的導(dǎo)函數(shù)。,（4）函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)函數(shù) 在x=x0處的函數(shù)值，即 。這也是 求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。,d.函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處有導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)處函數(shù)f (x)的曲線必有切線，且導(dǎo)數(shù)值是該切線的斜率;但函數(shù)f (x) 的曲線在點(diǎn)x0處有切線，而函數(shù)f (x)在該點(diǎn)處不一定 可導(dǎo)。如函數(shù) 在x=0處有切線，但不可導(dǎo)。,e.求切線方程的步驟：,（1）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率 ，得到曲線 在點(diǎn)(x0,f(x0))的切線的斜率。,（2）根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程，即,f.無限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)概念、用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本思想，丟掉極限思想就無法理解導(dǎo)數(shù)概念。,