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2023屆大一輪復習 第53講 雙曲線(Word版含解析)

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1、2023屆大一輪復習 第53講 雙曲線 一、選擇題(共11小題) 1. 已知雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的一條漸近線方程為 y=52x,且與橢圓 x212+y23=1 有公共焦點,則 C 的方程為 ?? A. x28?y210=1 B. x24?y25=1 C. x25?y24=1 D. x24?y23=1 2. 設雙曲線 C 的方程為 x2a2?y2b2=1a>0,b>0,過拋物線 y2=4x 的焦點和點 0,b 的直線為 l.若 C 的一條漸近線與 l 平行,另一條漸近線與 l 垂直,則雙曲線 C 的方程為 ?? A. x24?y24=1

2、 B. x2?y24=1 C. x24?y2=1 D. x2?y2=1 3. 設 O 為坐標原點,直線 x=a 與雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的兩條漸近線分別交于 D,E 兩點,若 △ODE 的面積為 8,則 C 的焦距的最小值為 ?? A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4. 雙曲線 x23?y22=1 的焦距為 ?? A. 5 B. 5 C. 25 D. 1 5. 以橢圓 x24+y23=1 的焦點為頂點,頂點為焦點的雙曲線方程為 ?? A. x2?y23=1 B. x23?y2=1 C. x2?y22=1 D. x2

3、4?y23=1 6. 設 F1,F(xiàn)2 是雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦點,O 是坐標原點,過 F2 作 C 的一條漸近線的垂線,垂足為 P.若 PF1=6OP,則 C 的離心率為 ?? A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 7. 設 F1,F(xiàn)2 是雙曲線 x2?y224=1 的兩個焦點,P 是雙曲線上的一點,且 3∣PF1∣=4∣PF2∣,則 △PF1F2 的面積等于 ?? A. 42 B. 83 C. 24 D. 48 8. 已知雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的一個焦點為 F,點 A,B 是 C 的一條

4、漸近線上關于原點對稱的兩點,以 AB 為直徑的圓過 F 且交 C 的左支于 M,N 兩點,若 ∣MN∣=2,△ABF 的面積為 8,則 C 的漸近線方程為 ?? A. y=±3x B. y=±33x C. y=±2x D. y=±12x 9. 設雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦點分別為 F1,F(xiàn)2,離心率為 5.P 是 C 上一點,且 F1P⊥F2P.若 △PF1F2 的面積為 4,則 a= ?? A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 10. 已知雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的離心率為 2,過右焦點且垂直于 x 軸的

5、直線與雙曲線交于 A,B 兩點.設 A,B 到雙曲線同一條漸近線的距離分別為 d1 和 d2,且 d1+d2=6,則雙曲線的方程為 ?? A. x24?y212=1 B. x212?y24=1 C. x23?y29=1 D. x29?y23=1 11. 設 F 為雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的右焦點,O 為坐標原點,以 OF 為直徑的圓與圓 x2+y2=a2 交于 P,Q 兩點.若 PQ=OF,則 C 的離心率為 ?? A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 二、選擇題(共1小題) 12. 已知雙曲線 C 過點 3,2 且漸近線為 y=±

6、33x,則下列結論正確的是 ?? A. C 的方程為 x23?y2=1 B. C 的離心率為 3 C. 曲線 y=ex?2?1 經過 C 的一個焦點 D. 直線 x?2y?1=0 與 C 有兩個公共點 三、填空題(共11小題) 13. 在平面直角坐標系 xOy 中,若雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的右焦點 Fc,0 到一條漸近線的距離為 32c,則其離心率的值為 ?. 14. 已知雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的左焦點為 F,離心率為 2.若經過 F 和 P0,4 兩點的直線平行于雙曲線的一條

7、漸近線,則雙曲線的方程為 ?. 15. 過雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的兩焦點且與 x 軸垂直的直線與雙曲線的四個交點組成一個正方形,則該雙曲線的離心率為 ?. 16. (1)焦點在 x 軸上,焦距為 10,且與雙曲線 y24?x2=1 有相同漸近線的雙曲線的標準方程是 ?. (2)過雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>b>0 的右頂點作 x 軸的垂線,與 C 的一條漸近線相交于點 A.若以 C 的右焦點 F 為圓心、半徑為 4 的圓經過 A,O 兩點(O 為坐標原點

8、),則雙曲線 C 的標準方程為 ?. 17. 已知雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的焦點為 F1,F(xiàn)2,且雙曲線 C 上的點 P 滿足 PF1?PF2=0,PF1=3,PF2=4,則雙曲線 C 的離心率為 ?. 18. 已知 F1,F(xiàn)2 是雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的兩個焦點,以線段 F1F2 為邊作正三角形 MF1F2,若邊 MF1 的中點 P 在雙曲線上,則雙曲線的離心率是 ?. 19. (1)設雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0

9、 的左、右焦點分別為 F1,F(xiàn)2,離心率為 e,過 F2 的直線與雙曲線的右支交于 A,B 兩點,若 △F1AB 是以 B 為直角頂點的等腰直角三角形,則 e2= ?. (2)已知點 P 為雙曲線 x216?y29=1 右支上一點,點 F1,F(xiàn)2 分別為雙曲線的左、右焦點,M 為 △PF1F2 的內心(角平分線交于一點),若 S△PMF1=S△PMF2+8,則 △MF1F2 的面積為 ?. 20. 設雙曲線 x24?y22=1 的左、 右焦點分別為 F1,F(xiàn)2,過 F1 的直線 l 交雙曲線左支于 A,B 兩點,則

10、∣BF2∣+∣AF2∣ 的最小值為 ?. 21. 已知 F 是雙曲線 C:x2?y28=1 的右焦點,P 是 C 左支上一點,A0,66,當 △APF 周長最小時,該三角形的面積為 ?. 22. (1)已知雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的左焦點為 F,離心率為 2.若經過 F 和 P0,4 兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為 ?. (2)與雙曲線 x29?y216=1 有共同的漸近線,且經過點 ?3,23 的雙曲線的標準方程為

11、 ?. 23. 已知雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦點分別為 F1,F(xiàn)2,點 P 在雙曲線的右支上,且 PF1=4PF2,則雙曲線的離心率 e 的最大值為 ?. 四、解答題(共3小題) 24. 根據(jù)下列條件,求雙曲線的標準方程. (1)虛軸長為 12,離心率為 54; (2)焦距為 26,且經過點 M0,12; (3)經過兩點 P?3,27 和 Q?62,?7. 25. 一條斜率為 1 的直線 l 與離心率為 3 的雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 交于 P,Q 兩點,直線 l 與 y 軸

12、交于點 R,且 OP?OQ=?3,PR=3RQ,求直線和雙曲線的方程. 26. 若雙曲線 E:x2a2?y2=1a>0 的離心率等于 2,直線 y=kx?1 與雙曲線 E 的右支交于 A,B 兩點. (1)求 k 的取值范圍; (2)若 ∣AB∣=63,點 C 是雙曲線上一點,且 OC=mOA+OB,求 k,m 的值. 答案 1. B 【解析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為 y=52x,可知 ba=52,???① 根據(jù)橢圓 x212+y23=1 可知其焦點坐標為 ±3,0, 則雙曲線 C 的焦點為 ±3,0, 所以 a2+b2=9,???② 根據(jù) ①②,

13、解得 a2=4,b2=5, 所以雙曲線 C 的方程為 x24?y25=1. 2. D 【解析】由題可知,拋物線的焦點為 1,0, 所以直線 l 的方程為 x+yb=1,即直線的斜率為 ?b, 又雙曲線的漸近線的方程為 y=±bax, 所以 ?b=?ba,?b×ba=?1, 因為 a>0,b>0,解得 a=1,b=1. 故選:D. 3. B 【解析】因為 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0, 所以雙曲線的漸近線方程是 y=±bax, 因為直線 x=a 與雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的兩條漸近線分別交于 D,E 兩點, 不妨設 D 為在第一

14、象限,E 在第四象限, 聯(lián)立 x=a,y=bax, 解得 x=a,y=b, 故 Da,b, 聯(lián)立 x=a,y=?bax, 解得 x=a,y=?b, 故 Ea,?b, 所以 ∣ED∣=2b, 所以 △ODE 的面積為:S△ODE=12a×2b=ab=8, 因為雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0, 所以其焦距為 2c=2a2+b2≥22ab=216=8, 當且僅當 a=b=22 取等號, 所以 C 的焦距的最小值:8. 故選:B. 4. C 【解析】由題意得 c2=3+2=5,所以 c=5,所以雙曲線的焦距為 25. 5. A 【解析】設雙曲線的

15、方程為 x2a2?y2b2=1a>0,b>0. 由題意得雙曲線的頂點為 ±1,0,焦點為 ±2,0, 所以 a=1,c=2, 所以 b2=c2?a2=3, 所以雙曲線的標準方程為 x2?y23=1. 6. C 【解析】由題易知 PF2=b,OP=a.過 P 向 x 軸作垂線,垂足為 E,可知 PE=abc,F(xiàn)2E=b2c,所以 PF12=abc2+2c?b2c2=6OP2=6a2,從而可得 e=3. 7. C 【解析】雙曲線的實軸長為 2,焦距為 ∣F1F2∣=10.根據(jù)題意和雙曲線的定義知 2=∣PF1∣?∣PF2∣=43∣PF2∣?∣PF2∣=13∣PF2∣,所以 ∣P

16、F2∣=6,∣PF1∣=8,所以 ∣PF1∣2+∣PF2∣2=∣F1F2∣2,所以 PF1⊥PF2.所以 S△PF1F2=12∣PF1∣?∣PF2∣=12×6×8=24. 8. B 【解析】設雙曲線的另一個焦點為 F?, 由雙曲線的對稱性,可得四邊形 AFBF? 是矩形, 所以 S△ABF=S△ABF?,即 bc=8, 由 x2+y2=c2,x2a2?y2b2=1 可得 y=±b2c, 則 ∣MN∣=2b2c=2,即 b2=c, 所以 b=2,c=4, 所以 a=c2?b2=23, 所以 C 的漸近線方程為 y=±33x. 故選B. 9. A 【解析】因為 ca=5

17、,所以 c=5a,根據(jù)雙曲線的定義可得 PF1?PF2=2a, S△PF1F2=12PF1?PF2=4,即 PF1?PF2=8, 因為 F1P⊥F2P,所以 PF12+PF22=2c2, 所以 PF1?PF22+2PF1?PF2=4c2, 即 a2?5a2+4=0,解得 a=1. 10. C 11. A 【解析】設 PQ 與 x 軸交于點 A,由對稱性可知 PQ⊥x 軸, 又因為 PQ=OF=c,所以 PA=c2, 所以 PA 為以 OF 為直徑的圓的半徑,所以 A 為圓心 OA=c2. 所以 Pc2,c2,又 P 點在圓 x2+y2=a2 上, 所以 c24+c24

18、=a2,即 c22=a2, 所以 e2=c2a2=2,所以 e=2. 12. A, C 【解析】設雙曲線 C 的方程為 x2a2?y2b2=1,根據(jù)條件可知 ba=33, 所以方程可化為 x23b2?y2b2=1,將點 3,2 代入得 b2=1, 所以 a2=3,所以雙曲線 C 的方程為 x23?y2=1,故A對; 離心率 e=ca=a2+b2a2=3+13=233,故B錯; 雙曲線 C 的焦點為 2,0,?2,0,將 x=2 代入得 y=e0?1=0,所以C對; 聯(lián)立 x23?y2=1,x?2y?1=0, 整理得 y2?22y+2=0, 則 Δ=8?8=0,故

19、只有一個公共點,故D錯. 13. 2 14. x28?y28=1 【解析】由離心率為 2,可知 a=b,c=2a,所以 F?2a,0, 由題意知 kPF=4?00??2a=42a=1, 所以 2a=4,解得 a=22, 所以雙曲線的方程為 x28?y28=1. 15. 5+12 【解析】將 x=±c 代入雙曲線的方程得 y2=b4a2?y=±b2a,則 2c=2b2a,即有 ac=b2=c2?a2, 由 e=ca,可得 e2?e?1=0, 解得 e=5+12 或 e=1?52(舍). 16. x25?y220=1,x24?y212=1 【解析】(1)設所

20、求雙曲線的標準方程為 y24?x2=?λλ>0,即 x2λ?y24λ=1,則有 4λ+λ=25,解得 λ=5,所以所求雙曲線的標準方程為 x25?y220=1. (2)因為漸近線 y=bax 與直線 x=a 交于點 Aa,b,c=4 且 4?a2+b2=4,解得 a2=4,b2=12,因此雙曲線的標準方程為 x24?y212=1. 17. 5 【解析】由雙曲線的定義可得 2a=PF2?PF1=1,所以 a=12. 因為 PF1?PF2=0,所以 PF1⊥PF2, 所以 2c2=PF12+PF22=25,解得 c=52, 所以雙曲線 C 的離心率為 e=ca=5. 18. 3+

21、1 【解析】因為 MF1 的中點 P 在雙曲線上,所以 PF2?PF1=2a. 因為 △MF1F2 為正三角形,邊長都是 2c,所以 3c?c=2a, 所以 e=ca=23?1=3+1. 19. 5?22,10 【解析】(1)如圖所示. 因為 AF1?AF2=2a,BF1?BF2=2a,BF1=AF2+BF2, 所以 AF2=2a,AF1=4a.所以 BF1=22a,所以 BF2=22a?2a. 因為 F1F22=BF12+BF22,所以 2c2=22a2+22a?2a2, 所以 e2=5?22. (2)設內切圓的半徑為 R,a=4,b=3,c=5, 因為 S△PMF1

22、=S△PMF2+8,所以 12PF1?R=12PF2?R+8, 所以 12PF1?PF2R=8,即 aR=8,所以 R=2, 所以 S△MF1F2=12?2c?R=10. 20. 10 【解析】由雙曲線的標準方程為 x24?y22=1,得 a=2,由雙曲線的定義可得 ∣AF2∣?∣AF1∣=4,∣BF2∣?∣BF1∣=4, 所以 ∣AF2∣?∣AF1∣+∣BF2∣?∣BF1∣=8. 因為 ∣AF1∣+∣BF1∣=∣AB∣,當 ∣AB∣ 是雙曲線的通徑時,∣AB∣ 最小, 所以 ∣AF2∣+∣BF2∣min=∣AB∣min+8=2b2a+8=10. 21. 126 【解析】

23、設左焦點為 F1,PF?PF1=2a=2,所以 PF=2+PF1,△APF 的周長為 AF+AP+PF=AF+AP+2+PF1,△APF 周長最小即為 AP+PF1 最小,當 A,P,F(xiàn)1 在一條直線時最小,過 AF1 的直線方程為 x?3+y66=1,與 x2?y28=1 聯(lián)立,解得 P 點坐標為 ?2,26,此時 S=S△AF1F?S△F1PF=126. 22. x28?y28=1,x294?y24=1 【解析】(1)由題意得 a=b,4?00??c=1, 所以 c=4,所以 a=b=22, 所以所求雙曲線的方程為 x28?y28=1. (2)(方法 1) 由題意可知所求雙曲

24、線的焦點在 x 軸上, 設雙曲線的方程為 x2a2?y2b2=1, 由題意,得 ba=43,?32a2?232b2=1, 解得 a2=94,b2=4. 所以雙曲線的方程為 4x29?y24=1. (方法 2) 設所求雙曲線方程 x29?y216=λλ≠0, 將點 ?3,23 代入得 λ=14, 所以雙曲線方程為 4x29?y24=1. 23. 53 【解析】設 ∠F1PF2=θ, 由 PF1?PF2=2a,PF1=4PF2, 得 PF1=83a,PF2=23a. 由余弦定理得 cosθ=17a2?9c28a2=178?98e2. 因為 θ∈0,π, 所以

25、cosθ∈?1,1,即 ?1≤178?98e2<1. 又 e>1, 所以 10,b>0. 由題意知 2b=12,e=ca=54, 所以 b=6,c=10,a=8. 所以雙曲線的標準方程為 x264?y236=1 或 y264?x236=1. ??????(2) 因為雙曲線經過點 M0,12,所以 M0,12 為雙曲線的一個頂點, 故焦點在 y 軸上,且 a=12.又 2c=26,所以 c=13, 所以 b2=c2?a2=25.

26、 所以雙曲線的標準方程為 y2144?x225=1. ??????(3) 設雙曲線方程為 mx2?ny2=1mn>0,所以 9m?28n=1,72m?49n=1, 解得 m=?175,n=?125, 所以雙曲線的標準方程為 y225?x275=1. 25. 因為 e=3,所以 b2=2a2,所以雙曲線方程可化為 2x2?y2=2a2. 設直線 l 的方程為 y=x+m, 由 y=x+m,2x2?y2=2a2 得 x2?2mx?m2?2a2=0, 所以 Δ=4m2+4m2+2a2>0,所以直線 l 一定與雙曲線相交. 設 Px1,y1,Qx2,y2,則 x1+x2=2m,

27、x1x2=?m2?2a2. 因為 PR=3RQ,xR=x1+3x24=0, 所以 x1=?3x2,所以 x2=?m,?3x22=?m2?2a2, 消去 x2,得 m2=a2.又 OP?OQ=x1x2+y1y2=x1x2+x1+m?x2+m=2x1x2+mx1+x2+m2=m2?4a2=?3, 所以 m=±1,a2=1,b2=2. 直線 l 的方程為 y=x±1,雙曲線的方程為 x2?y22=1. 26. (1) 由 ca=2,a2=c2?1 得 a2=1,c2=2. 故雙曲線 E 的方程為 x2?y2=1. 設 Ax1,y1,Bx2,y2, 由 y=kx?1,x2?y

28、2=1, 得 1?k2x2+2kx?2=0,???① 因為直線與雙曲線右支交于 A,B 兩點, 所以 x1+x2>0,x1?x2>0,Δ>0, 即 k>1,Δ=2k2?41?k2×?2>0, 即 k>1,?2

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