《第六章(3) 逆Z變換》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第六章(3) 逆Z變換（30頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)nZ變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)求逆求逆z z變換，即由象函數(shù)變換，即由象函數(shù) 求原序列求原序列 的問題。的問題。)(zF)(kf求逆求逆z z變換的方法有：冪級數(shù)展開法；變換的方法有：冪級數(shù)展開法；)()()1()()()()(12kkfkkfkfkfkf *部分分式法；部分分式法；反演積分法（留數(shù)法）。反演積分法（留數(shù)法）。本節(jié)重點(diǎn)討論最常用的部分分式法。本節(jié)重點(diǎn)討論最常用的部分分式法。一般而言，雙邊序列可分為因果序列與反因果序列。一般而言，雙邊序列可分為因果序列與反因果序列。式中因果序列為式中因果序列為)()()(1kkfkf 式中反因果序列為式中反因果序列為)1()()(2 kkfkf

2、 相應(yīng)地，其相應(yīng)地，其z z變換也分為兩部分變換也分為兩部分 zzFzFzF),()()(12本節(jié)重點(diǎn)研究因果序列的象函數(shù)的逆本節(jié)重點(diǎn)研究因果序列的象函數(shù)的逆z z變換。變換。其中其中 zzkfkkfZzFkk01)()()()(zzkfkkfZzFkk12)()1()()(根據(jù)給定的根據(jù)給定的F(z)F(z)及收斂域，不難求得及收斂域，不難求得F F1 1(z)(z)和和F F2 2(z),(z),并并分別求得它們所對應(yīng)的原序列分別求得它們所對應(yīng)的原序列f f1 1(k)(k)和和f f2 2(k)(k)。根據(jù)線性。根據(jù)線性性質(zhì)，將二者相加就得到性質(zhì)，將二者相加就得到F(z)F(z)所對應(yīng)的

3、原序列所對應(yīng)的原序列f(k)f(k)。例例6.3-1 6.3-1 已知象函數(shù)已知象函數(shù)2)2)(1()(222 zzzzzzzF其收斂域如下，分別求其相應(yīng)的原序列其收斂域如下，分別求其相應(yīng)的原序列f(k)f(k)21)3(1)2(2)1(zzz解（解（1 1）由于）由于)(zF2 z的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)楣使?為因果序列。為因果序列。)(kf)(zF用長除法將用長除法將 展開為展開為 的冪級數(shù)如下：的冪級數(shù)如下：1 z一、冪級數(shù)展開法一、冪級數(shù)展開法 521531zzz22 zz22 zz121 zz2z2 z123 z即即 321225312)(zzzzzzzF相比較可得原序列相比較可得原序列

4、,5,3,1,1)(kf0 k 2)(22 zzzzF kkzkfzF 0)(（2 2）由于）由于)(zF1 z的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)楣使?為反因果序列為反因果序列。)(kf)(zF用長除法將用長除法將 展開為展開為 的冪級數(shù)如下：的冪級數(shù)如下：z 5432165834121zzzz22zz 4322121zzz 543414121zzz 2z432121zz 544143zz 2)(22 zzzzF即即zzzzzzzzzF 02141831652)(2345221 k0,21,41,83,165,)(kf 2121)(zfzfzkfzFkk相比較可得原序列相比較可得原序列（3)3)(zF21

5、z的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)楣使?為雙邊序列。為雙邊序列。)(kf)(zF將將 展開為部分分式，有：展開為部分分式，有：21,232131)2)(1()(2 zzzzzzzzzF 321131313131131)(zzzzzzFzzzzzzF3161121232)(232 0 k,31,31,31,31,31,61,121,)(kf因果序列象函數(shù)因果序列象函數(shù)反因果序列象函數(shù)反因果序列象函數(shù)例例6.3-2 6.3-2 某因果序列的象函數(shù)某因果序列的象函數(shù)0,)(zezFza求其原函數(shù)求其原函數(shù) 。)(kf xkxxkxxekkkx,!1!21102解解 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)xe可展開為冪級數(shù)可展開為冪級

6、數(shù)zax 令令)(zF，則，則可展開為可展開為0,!)()(00 zzkakzaezFkkkkkza kkakfk!)(二、部分分式展開法二、部分分式展開法 在離散系統(tǒng)分析中，經(jīng)常遇到的象函數(shù)是在離散系統(tǒng)分析中，經(jīng)常遇到的象函數(shù)是z z的的 有理分式，它可以寫為：有理分式，它可以寫為：nmazazazbzbzbzbzAzBzFnmnmmmm )()()(011101111nm,)()()()()(0111 azazazzzBzzAzBzzFnmn2211)(zzkz-zkzzF 2211)(zzzkz-zzkzF 2211)(zzkz-zkzF 22111-1z )(zzzkzz-zzkzF

7、將將 展開為部分分式，其方法與第五章中展開為部分分式，其方法與第五章中 展開方法相同。展開方法相同。zzF/)()(sF 的分母多項(xiàng)式為的分母多項(xiàng)式為 有有n n個根個根)(zF0)(),(zAzA,21nzzz它們稱為它們稱為 的極點(diǎn)。的極點(diǎn)。)(zF)(zF（1 1）有單極點(diǎn)有單極點(diǎn))(zF（2 2）有共軛單極點(diǎn)有共軛單極點(diǎn))(zF（3 3）有重極點(diǎn)有重極點(diǎn) niiinnzzKzzKzzKzKzzF0110)(各系數(shù)為各系數(shù)為iizzizziizFzzzzzFzzK )()()()(如如 的極點(diǎn)的極點(diǎn) 都互不相同，且不等都互不相同，且不等0 0 則則 可展開為可展開為)(zF,21nzzz

8、zzF/)()(zF（1 1）有單極點(diǎn)有單極點(diǎn) niiizzzKKzF00)(上式等號兩端乘以上式等號兩端乘以z z，得，得)()(21 zzFzzF和和根據(jù)給定的收斂域，將上式劃分為兩部分：即根據(jù)給定的收斂域，將上式劃分為兩部分：即1)(k 就可以求得展開式的原函數(shù)。就可以求得展開式的原函數(shù)。根據(jù)已知的變換對，如根據(jù)已知的變換對，如azazzkak ,)(azazzkak ,)1()2)(1()(2 zzzzF例例6.3-3 6.3-3 已知象函數(shù)已知象函數(shù)分別求其原函數(shù)。分別求其原函數(shù)。其收斂域分別為（其收斂域分別為（1 1）（2 2）（3 3）2 z21 z1 z解解 由象函數(shù)可見，其極

9、點(diǎn)為由象函數(shù)可見，其極點(diǎn)為 。其展開式為其展開式為,11 z22 z)2()1()2)(1()2)(1()(212 zKzKzzzzzzzzzF于是得于是得)2(32)1(31)(zzzzF各項(xiàng)系數(shù)為：各項(xiàng)系數(shù)為：31)()1(11 zzzFzK32)()2(22 zzzFzK即即232131)(zzzzzF 21 z 213 z 12 z)()2(32)1(31)(kkfkk 1 z（2 2）收斂域）收斂域故故)(kf為反因果序列。得為反因果序列。得)1()2(32)1(31)(kkfkk 21 z（3 3）收斂域）收斂域)()1(31)1()2(32)(kkkfkk （1 1）收斂域）收斂

10、域2 z故故)(kf為因果序列。得為因果序列。得232131)(zzzzzF12例例6.3-4 6.3-4 求下面象函數(shù)的逆求下面象函數(shù)的逆z z變換。變換。解解 由上式可見其象函數(shù)的極點(diǎn)為由上式可見其象函數(shù)的極點(diǎn)為1/21/2，1 1，2 2，3 3。21,)3)(2)(1)(21()21294()(23 zzzzzzzzzzFzzF/)(將將展開為部分分式為展開為部分分式為32121)(4321 zKzKzKzKzzF按求各項(xiàng)系數(shù)公式可得：按求各項(xiàng)系數(shù)公式可得：,1,1,2,14321 KKKK故象函數(shù)的展開式為：故象函數(shù)的展開式為：21,321221)(zzzzzzzzzzF )(2 z

11、F )(1 zF)()21(2)(1kkfk )1(32)(2 kkfkk)()21(2)1()32()()()(12kkkfkfkfkkk 12)(zF（2 2）有共軛單極點(diǎn)有共軛單極點(diǎn)如果如果)(zF有一對共軛單極點(diǎn)有一對共軛單極點(diǎn),2,1jdcz 則可將則可將zzF)(展開為展開為zzFzzKzzKzzFzzFzzFbba)()()()(2211 式中式中zzF)(zzFb)(中除共軛極點(diǎn)所形成分式外中除共軛極點(diǎn)所形成分式外是是的其余部分，而的其余部分，而jdczKjdczKzzFa 21)(可以證明，如可以證明，如 是實(shí)數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式，則是實(shí)數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式，則)(zA*21KK 將將 的極

12、點(diǎn)的極點(diǎn) 寫為指數(shù)形式，即令寫為指數(shù)形式，即令)(zF21,zz jejdcz 2,1前式可改寫為前式可改寫為 jjaezKezKzzF 21)(取上式逆變換，得取上式逆變換，得令令 jeKK11 jeKK 12 jjjjaezzeKezzeKzF 11)()()cos(2)(1kkKkfka 若若,z)1()cos(2)(1 kkKkfka 若若,z jejdcz 2,1等號兩端乘以等號兩端乘以z z，得，得2,)4)(1(6)(22 zzzzzF例例6.3-5 6.3-5 求下面象函數(shù)的逆變換。求下面象函數(shù)的逆變換。解解 的極點(diǎn)為的極點(diǎn)為可展開為可展開為,22,123,21 jejzz )

13、(zFzzF)(221)4)(1(6)(*221022jzKjzKzKzKzzzzzzF 求得各項(xiàng)系數(shù)求得各項(xiàng)系數(shù)5.1)(00 zzzFzK1)()1(11 zzzFzK 4.632245421)()2(jjzejzzFjzK2224524515.1)(4.634.63 jjjjezzeezzezzzF 于是得于是得取上式的逆變換，得取上式的逆變換，得)()1()(5.1)(kkkfk )()4.632cos(25)1()(5.11kkkkk )4.632cos(225 kkazriiizzFazdzdiK )()()!1(1111)(zF（3 3）有重極點(diǎn)有重極點(diǎn)如果如果)(zF在在 處有

14、處有r r重極點(diǎn)，重極點(diǎn)，azz 1則可將則可將zzF)(展開為展開為zzFazKazKazKzzFzzFzzFbrrrba)()()()()()(111211 zzFb)(式中式中 是除重極點(diǎn)是除重極點(diǎn) 以外的項(xiàng)，在以外的項(xiàng)，在 處處 )(zFbaz 。各項(xiàng)系數(shù)。各項(xiàng)系數(shù) 可用下式求得可用下式求得az irK)()()()(111211zFazzKazzKazzKzFbrrr 根據(jù)給定的收斂域，求上式的逆變換。根據(jù)給定的收斂域，求上式的逆變換。)(zF如果如果 有共軛二重極點(diǎn)，有共軛二重極點(diǎn)，可得：可得：jejdcz 2,1若若 ，則，則 z )()1(cos2)()(11111221121

15、1111111kkkKzzeKzzzeKzZkjj )()cos2121221211211212kkKzzeKzzzeKzZkjj zzFzzKzzKzzKzzKzzFb 22222211122111)()()(22122111 kkkk且且若若 ，則，則 z )1()1(cos2)()(111112211211111111 kkkKzzeKzzzeKzZkjj )1()cos(2121221211211212 kkKzzeKzzzeKzZkjj 例例6.3-6 6.3-6 求下面象函數(shù)的逆變換。求下面象函數(shù)的逆變換。1,)1()(323 zzzzzF解解 將將 展開為展開為zzF)()1()

16、1()1()1()(1321231132 zKzKzKzzzzzF根據(jù)求系數(shù)公式可得：根據(jù)求系數(shù)公式可得：2)()1(1311 zzzFzK)1(1)1(3)1(2)(23 zzzzzF所以所以3)()1(1312 zzzFzdzdK1)()1(132213 zzzFzdzdK)1()1(3)1(2)(23 zzzzzzzF即即由于收斂域由于收斂域 ，由表，由表6-26-2可得逆變換為可得逆變換為1 z)()1()(13)1(212)(2kkkkkkkf 例例6.3-7 6.3-7 求下面象函數(shù)的逆變換。求下面象函數(shù)的逆變換。2,)4()(224 zzzzF解解 有一對共軛二重極點(diǎn)有一對共軛二

17、重極點(diǎn) )(zF2222,1 jejz 將將 展開為展開為zzF)()2()2()2()2()2()2()(*12122*11211223jzKjzKjzKjzKjzjzzzzF 22121)()2(2211 jjzejzzFjzK 21)()2(2212 jzzzFjzdzdK)2(21)2(21)2(21)2(21)(2222jzzjzzjzzejzzezFjj 所以所以)()2cos(2)(22)1cos()2()(1kkkkkkfkk )()2cos(2)12(kkkk 2222,1 jejz 本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié)n1、冪級數(shù)展開法求逆、冪級數(shù)展開法求逆z變換變換n2、部分分式展開法求逆、部分分式展開法求逆Z變換變換