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1、方法技巧2　圓錐曲線的綜合應用 一、圓錐曲線的最值問題 【考情快遞】 最值問題是高考的熱點，可能出選擇題、填空題和解答題． 方法1：定義轉(zhuǎn)化法 解題步驟 ①根據(jù)圓錐曲線的定義列方程；②將最值問題轉(zhuǎn)化為距離問題求解． 適用情況 此法為求解最值問題的常用方法，多數(shù)題可以用. 【例1】?已知點F是雙曲線－＝1的左焦點，定點A的坐標為(1,4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|＋|PA|的最小值為________． 解析　如圖所示，根據(jù)雙曲線定義|PF|－|PF′|＝4， 即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5， 將|PF|－4＝|PF′|代

2、入，得|PA|＋|PF|－4≥5， 即|PA|＋|PF|≥9，等號當且僅當A，P，F(xiàn)′三點共線， 即P為圖中的點P0時成立，故|PF|＋|PA|的最小值為9.故填9. 答案　9 方法2：切線法 解題步驟 ①求與直線平行的圓錐曲線的切線； ②求出兩平行線的距離即為所求的最值． 適用情況 當所求的最值是圓錐曲線上的點到某條直線的距離的最值時用此法. 【例2】?求橢圓＋y2＝1上的點到直線y＝x＋2的距離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點的坐標． 解　設(shè)橢圓的切線方程為y＝x＋b， 代入橢圓方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0. 由Δ＝(4b)2－4×3×(2b

3、2－2)＝0，得b＝±. 當b＝時，直線y＝x＋與y＝x＋2的距離d1＝，將b＝代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0， 解得x＝－，此時y＝， 即橢圓上的點到直線y＝x＋2的距離最小，最小值是； 當b＝－時，直線y＝x－到直線y＝x＋2的距離d2＝，將b＝－代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0， 解得x＝，此時y＝－， 即橢圓上的點到直線y＝x＋2的距離最大，最大值是. 方法3：參數(shù)法 解題步驟 ① 選取合適的參數(shù)表示曲線上點的坐標； ②求解關(guān)于這個參數(shù)的函數(shù)最值． 適用情況 可以用參數(shù)表示某個曲線并求得最值的問題. 【例3】?在平面直角坐標系xOy中，點P(

4、x，y)是橢圓＋y2＝1上的一個動點，則S＝x＋y的最大值為________． 解析　因為橢圓＋y2＝1的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))． 故可設(shè)動點P的坐標為(cos φ，sin φ)， 其中0≤φ＜2π. 因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝2＝2sin，所以，當φ＝時，S取最大值2.故填2. 答案　2 方法4：基本不等式法 解題步驟 ①將最值用變量表示． ②利用基本不等式求得表達式的最值． 適用情況 最值問題中的多數(shù)問題可用此法. 【例4】?設(shè)橢圓中心在坐標原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點，直線y＝kx(k＞0)與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點，求四邊形A

5、EBF面積的最大值． 解　依題設(shè)得橢圓的方程為＋y2＝1. 直線AB，EF的方程分別為x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)． 設(shè)E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1＜x2， 且x1，x2滿足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝.① 根據(jù)點到直線的距離公式和①式， 得點E，F(xiàn)到AB的距離分別為 h1＝＝， h2＝＝， 又|AB|＝＝，所以四邊形AEBF的面積為 S＝|AB|(h1＋h2)＝··＝ ＝2≤2， 當2k＝1，即k＝時，取等號． 所以四邊形AEBF面積的最大值為2. 二、圓錐曲線的范圍問題 【考情快遞】 圓錐曲線中的范圍問題是高考中的常見考

6、點，一般出選擇題、填空題． 方法1：曲線幾何性質(zhì)法 解題步驟 ①由幾何性質(zhì)建立關(guān)系式；②化簡關(guān)系式求解． 適用情況 利用定義求解圓錐曲線的問題. 【例1】?已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是________． 解析　根據(jù)雙曲線定義|PF1|－|PF2|＝2a，設(shè)|PF2|＝r， 則|PF1|＝4r，故3r＝2a，即r＝，|PF2|＝. 根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，|PF2|≥c－a，即≥c－a， 即≤，即e≤.又e＞1， 故雙曲線的離心率e的取值范圍是.故填. 答案

7、　 方法2：判別式法 解題步驟 ① 聯(lián)立曲線方程，消元后求判別式； ②根據(jù)判別式大于零、小于零或等于零結(jié)合曲線性質(zhì)求解． 適用情況 當直線和圓錐曲線相交、相切和相離時，分別對應著直線和圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程的判別式大于零、等于零、小于零．此類問題可用判別式法求解. 【例2】?(2011·瀏陽一中月考)在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個不同的交點P和Q. (1)求k的取值范圍； (2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數(shù)m，使得向量＋與共線？如果存在，求m值；如果不存在，請說明理由．

8、 解　(1)由已知條件，知直線l的方程為y＝kx＋， 代入橢圓方程，得＋(kx＋)2＝1， 整理得x2＋2kx＋1＝0.① 由直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q， 得Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0， 解得k＜－或k＞， 即k的取值范圍為∪. (2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)． 由方程①，知x1＋x2＝－.② 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.③ 由A(，0)，B(0,1)，得＝(－，1)． 所以＋與共線等價于x1＋x2＝－(y1＋y2)， 將②③代入，解得k＝. 由(1)知k＜－或k＞， 故不存在符合題意的常數(shù)k.

9、 三、圓錐曲線的定值、定點問題 【考情快遞】 此類問題也是高考的熱點，圓錐曲線中的定值問題是指某些幾何量不受運動變化的點的影響而有固定取值的一類問題，定點問題一般是指運動變化中的直線或曲線恒過平面內(nèi)的某個或某幾個定點而不受直線和曲線的變化影響的一類問題． 方法1：特殊到一般法 解題步驟 ① 根據(jù)特殊情況確定出定值或定點； ②對確定出來的定值或定點進行證明． 適用情況 根據(jù)特殊情況能找到定值(或定點)的問題. 【例1】?已知雙曲線C：x2－＝1，過圓O：x2＋y2＝2上任意一點作圓的切線l，若l交雙曲線于A，B兩點，證明：∠AOB的大小為定值． 證明　當切線的斜率不存在時

10、，切線方程為x＝±. 當x＝時，代入雙曲線方程，得y＝±， 即A(，)，B(，－)，此時∠AOB＝90°， 同理，當x＝－時，∠AOB＝90°. 當切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y＝kx＋b， 則＝，即b2＝2(1＋k2)． 由直線方程和雙曲線方程消掉y， 得(2－k2)x2－2kbx－(b2＋2)＝0， 由直線l與雙曲線交于A，B兩點． 故2－k2≠0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 則x1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2 ＝＋＋＝， 故x1x2＋y1y2＝＋＝， 由于b2＝2(1＋k2

11、)， 故x1x2＋y1y2＝0，即·＝0，∠AOB＝90°. 綜上可知，若l交雙曲線于A，B兩點， 則∠AOB的大小為定值90°. 方法2：引進參數(shù)法 解題步驟 ① 引進參數(shù)表示變化量； ②研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定值或定點． 適用情況 定值、定點是變化中的不變量，引入?yún)?shù)找出與變量與參數(shù)沒有關(guān)系的點(或值)即是定點(或定值). 【例2】?如圖所示，曲線C1：＋＝1，曲線C2：y2＝4x，過曲線C1的右焦點F2作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C1，C2依次交于B，C，D，E四點．若G為CD的中點、H為BE的中點，證明為定值． 證明　由題意，知F1(

12、－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 直線y＝k(x－1)，代入＋＝1， 得82＋9y2－72＝0，即(8＋9k2)y2＋16ky－64k2＝0， 則y1＋y2＝－，y1y2＝－. 同理，將y＝k(x－1)代入y2＝4x，得ky2－4y－4k＝0， 則y3＋y4＝，y3y4＝－4， 所以＝· ＝ ＝ ＝＝3為定值． 方法運用訓練2 1．設(shè)P是曲線y2＝4x上的一個動點，則點P到點A(－1,1)的距離與點P到x＝－1直線的距離之和的最小值為(　　)． A. B. C. D. 解析　如圖，易知拋

13、物線的焦點為F(1,0)， 準線是x＝－1，由拋物線的定義知： 點P到直線x＝－1的距離等于點P到焦點F的距離； 于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P， 使點P到點A(－1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最??；顯然，連AF交曲線于P點． 故最小值為，即為. 答案　C 2．橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圓x2＋y2＝2有四個交點，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓離心率e的范圍為(　　)． A.＜e＜ B．0＜e＜ C.＜e＜ D.＜e＜ 解析　此題的本質(zhì)是橢圓的兩個頂點(a,0)與(0，b)一個在圓外、一個在圓內(nèi)即： ?? ?＜e＜. 答

14、案　A 3．(2011·長郡中學1次月考)設(shè)F是橢圓＋＝1的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點Pi(i＝1,2,3，…)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為________． 解析　若公差d＞0，則|FP1|最小，|FP1|＝－1； 數(shù)列中的最大項為＋1，并設(shè)為第n項， 則＋1＝－1＋(n－1)d?n＝＋1≥21?d≤， 注意到d＞0，得0＜d≤；若d＜0，易得－≤d＜0. 那么，d的取值范圍為∪. 答案　∪ 4．過拋物線y2＝2px(p＞0)上一定點P(x0，y0)(y0＞0)作兩直線分別交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y

15、2)，當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，則的值為________． 解析　設(shè)直線PA的斜率為kPA，PB的斜率為kPB， 由y＝2px1，y＝2px0，得kPA＝＝， 同理kPB＝， 由于PA與PB的斜率存在且傾斜角互補， 因此＝－，即y1＋y2＝－2y0(y0＞0)， 那么＝－2. 答案?。? 5．橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的左焦點為F，過F點的直線l交橢圓于A，B兩點，P為線段AB的中點，當△PFO的面積最大時，求直線l的方程． 解　求直線方程，由于F(－c,0)為已知，僅需求斜率k， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則y

16、0＝， 由于S△PFO＝|OF|·|y0|＝|y0|只需保證|y0|最大即可， 由?(b2＋a2k2)y2－2b2cky－b4k2＝0， |y0|＝＝＝≤ 得：S△PFO≤，此時＝a2|k|?k＝±， 故直線方程為：y＝±(x＋c)． 6．(長沙雅禮中學最新月考)已知⊙O′過定點A(0，p)(p＞0)，圓心O′在拋物線C：x2＝2py(p＞0)上運動，MN為圓O′在軸上所截得的弦． (1)當O′點運動時，|MN|是否有變化？并證明你的結(jié)論； (2)當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，試判斷拋物線C的準線與圓O′的位置關(guān)系，并說明理由． 解　(1)設(shè)O′(x0，

17、y0)，則x＝2py0(y0≥0)， 則⊙O′的半徑|O′A|＝， ⊙O′的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝x＋(y0－p)2， 令y＝0，并把x＝2py0，代入得x2－2x0x＋x－p2＝0， 解得x1＝x0－p，x2＝x0＋p，所以|MN|＝|x1－x2|＝2p， 這說明|MN|是不變化，其為定值2p. (2)不妨設(shè)M(x0－p,0)，N(x0＋p,0)． 由題2|OA|＝|OM|＋|ON|，得2p＝|x0－p|＋|x0＋p|， 所以－p≤x0≤p. O′到拋物線準線y＝－的距離d＝y(tǒng)0＋＝， ⊙O′的半徑|O′A|＝＝ ＝. 因為r＞d?x＋4p4＞2?x＜p2， 又x≤p2＜p2(p＞0)，所以r＞d， 即⊙O′與拋物線的準線總相交．