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1、,高等數學,教師：孟雅琴 個人郵箱: 工作郵箱: 電話：15921365639,經典數學的研究對象是現實世界中的數量關系和空間形式。,數學形成兩大分支：幾何學和代數學,在古希臘時代（大約公元前5世紀----公元前3世紀）數學就成為一門獨立的、理性的學科發(fā)展起來了。它的最杰出的代表作是Eulid的幾何原本，至今已有兩千多年的歷史了。,初等數學時期：公元前3世紀到17世紀,-------常量數學時期,主要研究對象： 勻速的運動（速度不變） 勻加速運動（速度勻速變化） 直邊圖形（不彎曲） 圓弧邊圖形（均勻彎曲） 有限次四則運算,17世紀微積分的創(chuàng)造開始了高等數學時期

2、 -----變量數學時期,微積分最初解決的四類問題： 1 變速直線運動物體的瞬時速度與加速度 2 求曲線的切線問題 3 求函數的最值問題 4 求不規(guī)則圖形的面積,微積分Calculus（無窮小分析）分為微分和積分兩大部分，微分和積分是一對逆運算，歷史上是先產生積分學后產生的微分學。,微分學的主要內容：極限理論、導數、微分等。,積分學的主要內容：定積分、不定積分等。,第一章,高等數學的基礎,函數,極限, 研究的對象, 研究的方法,一元函數,第一節(jié),一元函數,二、函數的概念及圖形,四、反函數與復合函數,五、函數的運算,六、基本初等函數,三、函數可能具有的幾種特性,第一章,七

3、、初等函數,一、實數集 鄰域,一、實數集 鄰域,,集合的定義,集合的運算,并，交，差,數集分類:,N----自然數集,Z----整數集,Q----有理數集,R----實數集,數集間的關系:,不含任何元素的集合稱為空集.,鄰域,,.,(,),二、函數的概念及圖形,,1.常量與變量,在某過程中數值保持不變的量稱為 常量,,通常用字母a, b, c等表示常量,,而數值變化的量稱為 變量.,常量與變量的表示方法：,用字母x, y, t等表示變量.,,2. 函數的概念,定義1 設非空數集,x 稱為自變量,,y 稱為因變量 ,,D 稱為定義域 ,,y 的全體 稱為值域 .,函數圖形:,,,,,,,,稱點集

4、,為函數 f 的圖形.,變量 y 按照一定法則總有唯一確定的數值和它對應,,則稱 y 是 x 的函數，記為,,注 1 函數的二要素 定義域 D 對應法則 f,Rf,,對應法則 f,,自變量,,因變量,,,,,例1,下列各組函數是否相同？,(1),答：不同, 因為二者定義域不同. 前者的定義域為,(2),而后者的定義域為,答：不同, 因為二者的 對應法則不同.,注,,,,答：相同.,(3),,兩個函數是否相同，僅取決與D 和 f，而與f 的表達形式無關，也與變量的記號無關!,2 定義域：,使表達式及實際問題都有意義的自變量所能取得的一切實數值所組成的集合.,例2,解,3 函數的表示方法

5、:,解析法,、圖象法,、列表法.,(1)符號函數,3. 幾個特殊的函數舉例,(2) 絕對值函數,(3) 取整函數 y = x, x R,階梯曲線,x表示不超過 x 的最大整數.,(4) 狄利克雷函數,(5) 數列,數列也是一類函數, 它的定義域是全體正整數,它的圖形是平面上的一些孤,構成的集合,立點的集合.,三、函數可能具有的幾種特性,設函數,又數集,1. 有界性,為有界函數.,有,若,則稱 f (x)為偶函數;,若,則稱 f (x)為奇函數.,說明: 若,在 x = 0 有定義 ,,,則當,為奇函數時,,2. 奇偶性,偶函數的圖形關于y 軸對稱 奇函數的圖形關于原點對稱,例4,證 令,則,由

6、,消去,得,顯然,又,,在 I 上單調減少.,當,時,,稱,在 I 上單調增加；,稱,單調增加或單調減少的函數 統稱為單調函數.,,3. 單調性,注 函數單調與否同所論區(qū)間有關.,4. 周期性,且,則稱,為周期函數 ,,若,稱 T 為周期.,周期為 ,周期為,( 通常說周期函數的周期是指其最小正周期 ).,例如: 常量函數, 狄里克雷函數,x 為有理數,,x 為無理數;,,注,并非任何一個周期函數都有最小正周期.,每一個正數都是其周期.,每一個正有理數都是其周期.,這兩個函數均無最小正周期!,例5 設函數,的圖形關于,均對稱, 求證,是周期函數.,證,由,的對稱性知,于是,故,是周期函數 ,,

7、周期為,四、 反函數與復合函數,1. 反函數的定義及性質,定義,對于以D為定義域，f (D)為值域的函數y =f (x),,,,,習慣上 ,,的反函數記成,例如, 函數,其反函數為,性質:,(1) 函數,與其反函數,的圖形關于,直線,對稱 .,其反函數,(減),(減) .,(2) 單調遞增,也單調,遞增,例如 ,,對數函數,互為反函數 ,,它們都單調遞增,,其圖形關于直線,對稱 .,指數函數,,,,,例6,解,分段函數的反函數應當逐段求：,解得,反函數為,解得,反函數為,又對于直接函數 y = x 3 來說其值域為 1, 8 ，,故反函數 的定義域為 1, 8 ;,x 1, 8 ;,解

8、得,反函數為,綜上所述，所求反函數為,2. 復合函數,定義:,,注,1 并非任何兩個 函數都能構成復合函數， 函數的復合是有條件的.,條件：,如：,解,故,例7,,,統稱為 基本初等函數.,冪函數、,指數函數、,對數函數、,三角函數、,反三角函數,五、基本初等函數,1、冪函數,2、指數函數,3、對數函數,4、三角函數,正割函數,余割函數,5、反三角函數,六、初等函數,由常數及基本初等函數,稱為初等函數 . 否則稱為非初等函數 .,例如 ,,并可用一個式子表示的函數 ,,經過有限次四則運算和,復合步驟所構成 ,,可表為,故為初等函數.,為奇函數,(1) 雙曲正弦,記,,,,,,,,,,,1.

9、雙曲函數,(2) 雙曲余弦,為偶函數,記,工程中常用的一類初等函數:,,,為奇函數,,,,(3) 雙曲正切,記,,內容小結,,定義域 對應規(guī)律,2. 函數的特性,,有界性, 奇偶性, 單調性, 周期性,3. 初等函數的結構,1. 函數的定義及函數的二要素,例3-1 已知函數,求,及,解,函數無定義,并寫出定義域及值域 .,,定義域,值 域,,例4-1,證明,設f(x)是定義在(-a,a)內的任意函數，證明 （1）f(x)+f(-x)是偶函數； （2）f(x)-f(-x)是奇函數； （3）f(x)總可以表示為一個偶函數與一個 奇函數之和.,(1)令F(x)=f(x)+f(-x),,因為在對稱區(qū)間

10、(a,-a)內，,有 F(-x)=f(-x)+f(x),=f(x)+f(-x)=F(x),,所以，F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數.,(2)令F(x)=f(x)-f(-x),,所以,F(x)=f(x)-f(-x)是奇函數.,(3)作以上兩個函數的線形組合,可得,f(x)=,即 f(x)表示一個偶函數與一個奇函數之和.,F(-x)=f(-x)-f(x),=-f(x)-f(-x)=-F(x),,例6 -1 求,的反函數及其定義域.,解,當,時,,則,當,時,,則,當,時,,則,反函數,定義域為,,,,,,,令,則,故,解,例7-1,例7-2,解,例7-3,解,例7-4,解,,,,,0,,,1

11、,-1,x,y,例7-5,已知,,解,故,又因,所以,積分學的歷史可追溯到遙遠的古希臘，從歐多克索斯（柏拉圖時代最偉大的數學家和天文學家）的窮竭法，阿基米德的平衡法，到中國古代科學家劉徽的割圓術，縱跨了二千年的時間。,窮竭法：如果從任意一個量中減去一個不小于其一半的部分，再從余下的部分減去一個不小于其一半的部分，等等一直下去，則最終將剩下一個比任意事先給定的一個同類量為小的量,割圓術：割之彌細，所失彌少，割之又割，以致不可割。,,萊布尼茲1646年出生在德國的萊比錫，15歲進入大學學習法律，畢業(yè)之后從事外交工作，26歲時與荷蘭數學家物理學家天文學家惠更斯的會晤，激起了他對數學的興趣。,他是數學史上最偉大的符號學者，他在創(chuàng)造微積分的過程中花了很多的時間去選擇精巧的符號，現在微積分的符號基本上都是他創(chuàng)造的。,