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1、7/21/2020 2:54 AM,2.7 一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點,1. 函數(shù)的連續(xù)性,,2. 函數(shù)的間斷點,3. 連續(xù)函數(shù)的運算法則,4. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),7/21/2020 2:54 AM,1. 函數(shù)的連續(xù)性,【定義 2.8】設(shè)變量從初值改變到終,說明改變量可以是正的，也可是負(fù)的。,例如,從0變到1，,從1變到0，,第2章 極限與連續(xù),值，,變量，,終值與初值之差稱為變量的改,記作。,則,則,7/21/2020 2:54 AM,,,,,,,,如圖所示,設(shè)函數(shù)，,第2章 極限與連續(xù),時，,當(dāng)自變量從改變到,函數(shù)相應(yīng)的改變量為。,7/21/2020 2:54 AM,例設(shè)正方形的邊長有

2、一個改變量,如圖所示，,,,,,,面積的改變量,面積改變了多少？,第2章 極限與連續(xù),,,7/21/2020 2:54 AM,簡單地說，,,,,,,,,,,,,,,。,如圖所示,處不連續(xù),處連續(xù),第2章 極限與連續(xù),函數(shù)也有一個很小的變化。,當(dāng)自變量有一個很小的變化時，,即時，,7/21/2020 2:54 AM,或,則稱函數(shù)在點處連續(xù)。,函數(shù)連續(xù)定義的等價形式,【定義 2.9】設(shè)函數(shù)在點的某,即,【定義 2.10】設(shè)函數(shù)在的某個,在點處連續(xù)。,第2章 極限與連續(xù),鄰域內(nèi)有定義，,若,則稱函數(shù),個鄰域內(nèi)有定義，,得的改變量時，,如果當(dāng)自變量在點處取,函數(shù)的改變量，,7/21/2020 2:54

3、 AM,,事實上，,（1）函數(shù)在處有定義；,（2）極限存在；,（3）極限值等于函數(shù)值。,若有一條不滿足，函數(shù)在處不連續(xù),第2章 極限與連續(xù),具備下列三個條件：,函數(shù)在處連續(xù)要同時,7/21/2020 2:54 AM,例1證明函數(shù) 在給定點處連續(xù)。,證當(dāng)在處有一個改變量時，,函數(shù)有改變量,所以，函數(shù)在處連續(xù)。,第2章 極限與連續(xù),證畢。,7/21/2020 2:54 AM,【定義 2.11】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上,說明在左端點處和右端點處連,如上例中，,在內(nèi)連續(xù)。,第2章 極限與連續(xù),每一點都連續(xù)，,是的連續(xù)區(qū)間。,則稱在上連續(xù)，,并稱,續(xù)是指,而點可以是內(nèi)的任意一點，,函數(shù)在給定點處連續(xù)，,因此,7/

4、21/2020 2:54 AM,例2證明函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù)。,證設(shè)為內(nèi)任意一點，,因為,所以,即,第2章 極限與連續(xù),處有改變量，,函數(shù)的改變量,在,7/21/2020 2:54 AM,因而,所以函數(shù)在點處連續(xù)。,再由的任意性知，,證畢。,同理可證在內(nèi)連續(xù)。,第2章 極限與連續(xù),內(nèi)連續(xù)。,函數(shù)在,7/21/2020 2:54 AM,,說明由函數(shù)在一點處連續(xù)的定義及,連續(xù)函數(shù)的極限符號與函數(shù)符號可以交換,例如求,解,第2章 極限與連續(xù),有,7/21/2020 2:54 AM,2. 函數(shù)的間斷點,【定義 2.12】若函數(shù)在點處不滿足,定義等價于,第2章 極限與連續(xù),連續(xù)條件，,稱函數(shù)在點處間斷，,斷

5、點。,則稱函數(shù)在點處不連續(xù)，,或,點稱為的間,7/21/2020 2:54 AM,若函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)有定義，,（1）函數(shù)在處無定義；,（2）不存在；,（3）,第2章 極限與連續(xù),則下列情形之一，,稱函數(shù)在處間斷,7/21/2020 2:54 AM,例3討論函數(shù)在點處的連續(xù),,,,,如圖所示,解由于函數(shù),在點處無定義，,函數(shù)在,處間斷。,第2章 極限與連續(xù),性。,故,7/21/2020 2:54 AM,例4設(shè)函數(shù)，,函數(shù)在點處的連續(xù)性。,,,,解由于,則不存在，,在處間斷。,如圖所示,第2章 極限與連續(xù),故,討論,7/21/2020 2:54 AM,,,例5設(shè)函數(shù)，,數(shù)在點處的連續(xù)性。,,解由

6、于,故函數(shù)在處,如圖所示,第2章 極限與連續(xù),間斷。,討論函,7/21/2020 2:54 AM,間斷點的類型,【定義2.13】,設(shè)是函數(shù)的間斷點,均存在,若，稱為可去間斷點。,若，稱為跳躍間斷點。,例4中，是跳躍間斷點。,例5中，是可去間斷點；,第2章 極限與連續(xù),第一類間斷點,7/21/2020 2:54 AM,第二類間斷點,至少有一個不存在,若其中至少有一個振蕩，,例3中，是無窮間斷點；,若其中至少有一個為，,,,如圖,是函數(shù),的振蕩間斷點。,第2章 極限與連續(xù),稱為無窮間斷點；,稱為振蕩間斷點。,7/21/2020 2:54 AM,3. 連續(xù)函數(shù)的運算法則,【定理】若函數(shù)與在點處,在處

7、也連續(xù)。,例,因為在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，,所以在其定義域內(nèi)連續(xù)。,第2章 極限與連續(xù),連續(xù)，,則,7/21/2020 2:54 AM,【定理】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),例由于函數(shù)在閉區(qū)間,上單調(diào)增加且連續(xù)，,在閉區(qū)間上也是單調(diào)增加且連續(xù)。,所以其反函數(shù),第2章 極限與連續(xù),增加（減少）且連續(xù)，,也在對應(yīng)的區(qū)間上，,調(diào)增加（減少）且連續(xù)。（證略）,則其反函數(shù),單,7/21/2020 2:54 AM,【定理】設(shè)函數(shù)由函數(shù),例求,即,解,第2章 極限與連續(xù),與函數(shù)復(fù)合而成，,而函數(shù)在連續(xù)，,若,則,（證略）,7/21/2020 2:54 AM,例討論函數(shù)的連續(xù)性。,【定理】設(shè)函數(shù)由函數(shù),解由于函數(shù)在內(nèi)連續(xù),而在內(nèi)

8、連續(xù)，,在內(nèi)連續(xù)。,第2章 極限與連續(xù),與函數(shù)復(fù)合而成，,連續(xù)，且，,連續(xù)，,也連續(xù)。（證略）,若函數(shù)在,而函數(shù)在,則復(fù)合函數(shù)在,則函數(shù),7/21/2020 2:54 AM,,初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的,基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的,初等函數(shù)的連續(xù)性,第2章 極限與連續(xù),包含在定義域內(nèi)的區(qū)間,7/21/2020 2:54 AM,4. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),【定理】（有界性定理）若函數(shù),【定理】（最大值與最小值定理）,第2章 極限與連續(xù),嚴(yán)格的理論證明省略。,下面定理只從幾何直觀上加以說明，,在閉區(qū)間上連續(xù)，,區(qū)間上有界。,則在此,若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，,在此區(qū)間上一定有最大值和最

9、小值。,則,將,7/21/2020 2:54 AM,,,,,,,如圖所示,在閉區(qū)間上連續(xù)，,得最小值；,在處取得最大值。,函數(shù)在此區(qū)間上有界。,第2章 極限與連續(xù),在處取,因此，,7/21/2020 2:54 AM,【定理】（介值定理）若函數(shù)在,推論（零點存在定理）若函數(shù)在閉區(qū),第2章 極限與連續(xù),閉區(qū)間上連續(xù)，,上的最大值和最小值，,任一個實數(shù),使得。,和分別為在,則對介于和之間的,至少存在一點,間上連續(xù)，,點，,且，,則至少存在一,使得。,7/21/2020 2:54 AM,,,,,,,,,,,,,,,,如圖所示,介值定理,零點存在定理,第2章 極限與連續(xù),7/21/2020 2:54 A

10、M,例6利用介值定理證明方程,在區(qū)間內(nèi)各有一個實根。,證設(shè),由介值定理知，存在,使得,即為給定方程的實根。,又由于三次,方程最多有三個根，,第2章 極限與連續(xù),所以各區(qū)間內(nèi)只有一個。,7/21/2020 2:54 AM,例7求,解,例8求,解,第2章 極限與連續(xù),7/21/2020 2:54 AM,例9證明當(dāng)時，,證,所以,證畢。,第2章 極限與連續(xù),7/21/2020 2:54 AM,內(nèi)容小結(jié),1.函數(shù)連續(xù)的等價定義,2. 間斷點,函數(shù)在點連續(xù),第一類間斷點,（可去間斷點，跳躍間斷點）,第二類間斷點,（無窮間斷點，振蕩間斷點）,第2章 極限與連續(xù),存在,左右極限至少有一個不,左右極限都存在,

11、充分必要條件,7/21/2020 2:54 AM,3.初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),4.分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性，,5.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),（有界性定理，最大值、最小值定理，介值定,第2章 極限與連續(xù),定義或充要條件討論。,需要用,理，零點存在定理）,7/21/2020 2:54 AM,備用題,1.若函數(shù)在點連續(xù)，,解因為,所以,即在處連續(xù)。,反之不成立，,處處間斷，,第2章 極限與連續(xù),是否在處連續(xù)？,問,反之是否成立？,而處處連續(xù)。,如,7/21/2020 2:54 AM,2.討論函數(shù)間斷點的類型,解,是其間斷點。,因為,所以，,是可去間斷點，,是無窮間斷點，,第2章 極限與連續(xù),即第一類間斷點。,即第二類間斷點。,7/21/2020 2:54 AM,時，函數(shù)為連續(xù)函數(shù)。,解,由連續(xù)性知,第2章 極限與連續(xù),3.設(shè)函數(shù),7/21/2020 2:54 AM,4.確定函數(shù)間斷點的類型。,解間斷點,為無窮間斷點。,故，為跳躍間斷點。,第2章 極限與連續(xù),