《（浙江專用）2020版高考數(shù)學一輪總復習 專題5 平面向量與解三角形 5.2 平面向量的數(shù)量積及其應用課件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用）2020版高考數(shù)學一輪總復習 專題5 平面向量與解三角形 5.2 平面向量的數(shù)量積及其應用課件.ppt（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、高考數(shù)學（浙江專用）,5.2平面向量的數(shù)量積及其應用,考點一平面向量的數(shù)量積,考點清單,考向基礎 1.向量的數(shù)量積的定義 (1)向量a與b的夾角 已知兩個非零向量a和b,過O點作=a,=b,則AOB=(0180) 叫做向量a與b的夾角. 當=90時,a與b垂直,記作ab;當=0時,a與b同向;當=180時,a與b反向. (2)a與b的數(shù)量積 已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為,則把|a||b|cos 叫做a和b的數(shù),量積(或內(nèi)積),記作ab=|a||b|cos . (3)規(guī)定:0a=0. (4)ab的幾何意義 a.一個向量在另一個向量方向上的投影 設是非零向量a與b的夾角,則|a|cos 叫

2、做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一個實數(shù),而不是向量.當0<90時,它是正值;當90<180時,它是負值;當=90時,它是0. b.ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積. 2.向量的數(shù)量積的性質(zhì) 設a、b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與e的夾角,則,(3)當a與b同(1)ea=ae=|a|cos . (2)abab=0. 向時,ab=|a||b|, 當a與b反向時,ab=-|a||b|, 特別地,aa=|a|2. (4)亦為a、b的夾角,且cos =. (5)|ab||a||b|. 3.向量的數(shù)量

3、積的運算律 (1)ab=ba. (2)(a)b=(ab)=a(b)(R). (3)(a+b)c=ac+bc.,4.平面向量的數(shù)量積的坐標表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2. (2)若a=(x,y),則aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=. (3)若A(x1,y1),B(x2,y2),則||=,這就是平面內(nèi)兩點間 的距離公式. (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abx1x2+y1y2=0. 5.向量中的重要不等式 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則-|a||b|ab|a||b|-x1x2+y1y2 .,考點二向量的綜合

4、應用,考向基礎 1.向量的坐標表示與運算可以大大簡化向量數(shù)量積的運算.由于有關長度、角度和垂直的問題可以利用向量的數(shù)量積來解決,因此我們可以利用表示向量的直角坐標求出向量的長度、平面內(nèi)兩點間的距離、兩個向量的夾角,判斷兩向量是否垂直. 2.用向量法證明幾何問題的基本思想:將問題中有關幾何量表示為向量,然后根據(jù)圖形的性質(zhì)和特點,應用向量的運算法則,推出所要求證的結論.要注意挖掘題目中,特別是幾何圖形中的隱含條件. 3.證明直線平行、垂直,線段相等等問題的基本方法 (1)要證AB=CD,可轉(zhuǎn)化為證明=或||=||. (2)要證ABCD,只要證存在一實數(shù)0,使等式=成立即可.,(3)要證ABCD,只

5、需證=0. 【知識拓展】 向量中常用的結論: 在ABC中,設A,B,C所對的邊分別為a,b,c. (1)在=的條件下,存在,使得I為ABC的內(nèi)心; a+b+c=0P為ABC的內(nèi)心. (2)||=||=||P為ABC的外心. (3)++=0G為ABC的重心. (4)==P為ABC的垂心.,考向突破,考向一利用數(shù)量積求長度問題,例1(2017浙江名校(諸暨中學)交流卷四,7)已知A,B是半徑為的O 上的兩個點,=1,O所在平面上有一點C滿足|+-|=1,則| |的取值范圍是() A.2-1,2+1 B. C.-1,+1D.-1,+1,解析以O為原點,OA為x軸建立平面直角坐標系,由=1,得AOB

6、=,于是A(,0),B,設C(x,y),則+=1. 問題轉(zhuǎn)化為求圓+=1上一點到原點的距離的取值范 圍.因為原點到圓心的距離為,且圓的半徑為1,所以||的 取值范圍為-1,+1.,答案C,考向二用數(shù)量積求角度問題,例2(2018浙江嵊州第一學期期末質(zhì)檢,15)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=|2b-a|,則|b|的最大值為,a與b的夾角的取值范圍為.,解析因為|2|b|-|a|||2b-a|2|b|+|a|,即|2|b|-|a|||b|2|b|+|a|, 所以-|b|2|b|-|a||b|,從而|b||a|,即|b|1. 對|b|=|2b-a|兩邊平方,可得b2=4b2-4ab+a2,

7、從而cos ===(3|b|+),當且僅當|b|=時等號 成立. 所以a與b的夾角的取值范圍為.,答案1;,方法1利用數(shù)量積求長度和夾角的方法 一、求夾角的方法 1.定義法:利用向量數(shù)量積的定義知,cos =,其中兩個向量的夾角 0,,求解時應求出三個量:ab,|a|,|b|或找出這三個量之間的關系. 2.坐標法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),為a,b的夾角,則cos =. 3.三角函數(shù)法:可以把所求兩向量的夾角放到三角形中,利用正、余弦定理和三角形的面積公式進行求解.,方法技巧,二、求長度的方法 1.|a|==; 2.|ab|=; 3.若a=(x,y),則|a|=.,例1(201

8、8浙江嘉興教學測試(4月),16)已知|c|=2,向量b滿足2|b-c|=bc,當b,c的夾角最大時,|b|=.,解題導引,解析設向量b,c的夾角為,因為bc=2|b-c|0,所以, 由2|b-c|=bc知,2=|b||c|cos , 兩邊平方可知,4+|b|2-4|b|cos =|b|2cos 2,即sin2|b|2-4|b|cos +4=0, 所以關于|b|的方程有解,此時=16cos2-16sin20,要使夾角最大,僅需考慮sin 0, 所以tan 1,即, 所以的最大值為,此時|b|=2.,答案2,方法2利用向量解決幾何問題的方法 1.用向量法解決平面幾何問題的基本步驟:建立平面幾何與

9、向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的問題;通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題;把運算結果轉(zhuǎn)化成幾何關系. 2.用向量法解平面幾何問題,主要是通過建立平面直角坐標系將問題坐標化,然后利用平面向量的坐標運算求解有關問題,這樣可以避免繁雜的邏輯推理,同時加強了數(shù)形結合思想在解題中的應用.,例2(2017浙江鎮(zhèn)海中學第一學期期中,15)已知ABC的外心為O,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,且++=0,則a,b,c的關系 為,cos B的取值范圍為.,解題導引,解析設AC邊上的中點為D,則ODAC,從而有=(+) =+=+0=b2,同理有=c2,= (-)=b2-c2.同理有=c2-a2,=a2-b2,由 ++=0,得a2+2c2=3b2. cos B====(當且僅當 a=c時取等號),cos B<1,cos B<1.,答案a2+2c2=3b2;,