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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計,教材： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系 編 科學(xué)出版社,,參考書,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 浙江大學(xué) 盛驟等 編 高等教育出版社 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 教與學(xué)參考 閻國輝 主編 中國致公出版社 概率論與數(shù)理統(tǒng)計解題思路與方法 袁蔭棠 主編 世界圖書出版公司,概率(或然率或幾率) 隨機事件出現(xiàn)的可能性的量度， 其起源與博弈問題有關(guān). 概率論是一門研究客觀世界隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支學(xué)科. 16世紀(jì)意大利學(xué)者開始研究擲骰子等賭博中的一些問題；17世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家B. 帕斯卡、荷蘭數(shù)學(xué)家C. 惠更斯基于排列組合的方法，研究了較復(fù)雜的賭博問題， 解決了“ 合理分配賭注問題

2、” ( 即得分問題).,緒言,,對客觀世界中隨機現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了概率論； 使概率論成為數(shù)學(xué)的一個分支的真正奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家J.伯努利；而概率論的飛速發(fā)展則在17世紀(jì)微積分學(xué)說建立以后. 第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及大工業(yè)與 管理的復(fù)雜化產(chǎn)生了運籌學(xué)、系統(tǒng)論、信息論、 控制論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)等學(xué)科. 數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是一門研究怎樣去有效地收集、 整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以對所考察的 問題作出推斷或預(yù)測，直至為采取一定的決策 和行動提供依據(jù)和建議的數(shù)學(xué)分支學(xué)科.,,統(tǒng)計方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代數(shù)學(xué) 知識，如函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、矩陣代數(shù)、組合數(shù) 學(xué)等等，但關(guān)系最密切的是概率論，故可以這 樣說：概率

3、論是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計 學(xué)是概率論的一種應(yīng)用. 但是它們是兩個并列 的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，并無從屬關(guān)系.,本學(xué)科的應(yīng)用,概率統(tǒng)計理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟的各個部門中. 例如 1. 氣象、水文、地震預(yù)報、人口控制 及預(yù)測都與概率論緊密相關(guān)； 2. 產(chǎn)品的抽樣驗收，新研制的藥品能 否在臨床中應(yīng)用，均需要用到假設(shè)檢驗； 3. 尋求最佳生產(chǎn)方案要進(jìn)行實驗設(shè)計和數(shù)據(jù) 處理；,,4. 電子系統(tǒng)的設(shè)計, 火箭衛(wèi)星的研制與發(fā)射都離不開可靠性估計; 5.探討太陽黑子的變化規(guī)律時，時間序列分析方法非常有用; 6. 研究化學(xué)反應(yīng)的時變率，要以馬爾可夫過程來描述; 7. 在生物

4、學(xué)中研究群體的增長問題時提出了生滅型隨機模型，傳染病流行問題要用到多變量非線性生滅過程；,,8. 許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信、船舶裝卸、機器維修、病人候診、存貨控制、水庫調(diào)度、購物排隊、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到的知識就是排隊論. 目前, 概率統(tǒng)計理論進(jìn)入其他自然科學(xué)領(lǐng)域的趨勢還在不斷發(fā)展. 在社會科學(xué)領(lǐng)域,特別是經(jīng)濟學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟的穩(wěn)定增長等問題, 都大量采用概率統(tǒng)計方法. 法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace) 說對了: “ 生活中最重要的問題, 其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題.” 英國的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟學(xué)家杰文斯曾對概率論大加贊美：“ 概率論是生活真正的領(lǐng)路

5、人, 如果沒有對概率的某種估計, 那么我們就寸步難行, 無所作為.”,第一章隨機事件及其概率,本章討論了概率論的基本概念與基本方法，它的內(nèi)容將貫穿在整個這門課程的學(xué)習(xí)中 本章的基本要求 理解隨機事件、基本事件和樣本空間的概念，熟悉事件之間的關(guān)系和運算。 理解事件頻率的概念。知道概率的統(tǒng)計定義和公理化定義。理解概率的古典定義。掌握概率的基本性質(zhì)以及運用它們進(jìn)行概率的計算。 理解條件概率的概念。熟悉掌握乘法公式、全概率公式和貝葉斯(Bayes)公式，并能用這些公式進(jìn)行概率計算。 理解事件獨立性的概念。熟悉運用事件獨立性進(jìn)行概率計算。了解貝努利(Bernoulli)概型以及熟悉與這種概型有關(guān)事件的

6、概率計算,本章的重點,計算隨機事件的概率掌握乘法公式 全概率公式 掌握貝努利概型事件概率的計算,第一章隨機事件及其概率,確定性現(xiàn)象 隨機現(xiàn)象 每次試驗前不能預(yù)言出現(xiàn)什么結(jié)果 每次試驗后出現(xiàn)的結(jié)果不止一個 在相同的條件下進(jìn)行大量的觀察或試驗時，出現(xiàn)的結(jié)果有一定的規(guī)律性--稱之為統(tǒng)計規(guī)律性,1.1 隨機試驗(簡稱“試驗”),隨機試驗的特點： 1.可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； 2.試驗可能結(jié)果不止一個,但能確定所有的可能結(jié)果； 3.一次試驗之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。 隨機試驗可表為 E,E1: 拋一枚硬幣，分別用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情

7、況； E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù); E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點數(shù)； E5: 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點擊次數(shù)； E6:在一批燈泡中任取一只，測其壽命; E7:任選一人，記錄他的身高和體重 。,隨機試驗的例子,1.2 樣本空間、隨機事件,(一） 樣本空間 實驗E的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為 ；試驗的每一個結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個樣本點,記為e. 由一個樣本點組成的單點集稱為一個基本事件, 記為e.,例： 給出E1-E7的樣本空間,,（二）隨機事件,定義 試驗中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況叫“隨機事件”, 簡稱“事件”.記作A、B、C等. 任何事件均可表

8、示為樣本空間的某個子集. 稱事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗的結(jié)果是子集A中的元素 兩個特殊事件: 必然事件 、不可能事件.,,例如 對于試驗E2 ，以下A 、 B、C即為三個隨機事件: A“至少出一個正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B=“兩次出現(xiàn)同一面”=HHH,TTT C=“恰好出現(xiàn)一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，試驗E6中D“燈泡壽命超過1000小時” x:1000

9、有一定的關(guān)系，如試驗E2 ，當(dāng)試驗的結(jié)果是HHH時，可以說事件A和B同時發(fā)生了；但事件B和C在任何情況下均不可能同時發(fā)生。易見，事件之間的關(guān)系是由他們所包含的樣本點所決定的，這種關(guān)系可以用集合之間的關(guān)系來描述。,,1.包含關(guān)系 “ A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為AB AB AB且BA.,,,（三）事件之間的關(guān)系,2.和事件：“事件A與B至少有一個發(fā)生”， 記作AB,n個事件A1, A2,, An至少有 一個發(fā)生，記作,3.積事件 :A與B同時發(fā)生，記作 ABAB,n個事件A1, A2,, An同時發(fā)生，記作 A1A2An,4.差事件 ：AB稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生.,

10、思考：何時A-B=?何時A-B=A？,5.互斥的事件 ：AB ,6. 互逆的事件 AB , 且AB ,,（四）事件的運算律,1、交換律：ABBA，ABBA 2、結(jié)合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) 4、對偶(De Morgan)律：,例1：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運算關(guān)系表示下列事件：,,例2 化簡事件 解 原式= 作業(yè): P33 習(xí)題一 2 (1)(2)(3)(6)(7)(8)，3，5，6,1.3 概率的定義

11、及其運算,從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性,?,P（A）應(yīng)具有何種性質(zhì)？,?,拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？ 擲一顆骰子，出現(xiàn)6點的概率為多少？ 出現(xiàn)單數(shù)點的概率為多少？ 向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？,定義 事件A在n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)nA次，則比值nA/n稱為事件A在n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A). 即,(一) 頻率與概率,歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時，出現(xiàn)正反面的機會均等。 實驗者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 204

12、8 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005 實踐證明：當(dāng)試驗次數(shù)n增大時， fn(A) 逐漸趨向一個穩(wěn)定值。 可將此穩(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率.,頻率的性質(zhì): (1) 0 fn(A) 1； (2) fn()1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB ，則 fn(AB) fn(A) fn(B).,(二) 概率的公理化定義,注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出

13、概率的公理化定義.,,,1.定義 若對隨機試驗E所對應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件： (1) 非負(fù)性: P(A) 0； (2) 規(guī)范性: P()1； (3) 可列可加性：設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 則稱P(A)為事件A的概率。,,2.概率的性質(zhì) (1) 有限可加性：設(shè)A1，A2，An , 是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,則有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2

14、)+ P(An);,,,(3) 事件差: A、B是兩個事件，則 P(A-B)=P(A)-P(AB),(2) 單調(diào)不減性：若事件AB，則 P(A)P(B),(4) 加法公式：對任意兩事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) P(AB) P(A)+P(B),該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，，An的情形,右端共有 項.,(5) 互補性：P(A)1 P( A );(6) 可分性：對任意兩事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB ) .,,例1 某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙

15、.沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.,解: 設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報,例2 在110這10個自然數(shù)中任取一數(shù)，求 （1）取到的數(shù)能被2或3整除的概率， （2）取到的數(shù)即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的概率。,解:設(shè)A取到的數(shù)能被2整除; 取到的數(shù)能被3整除,故,,例3 某人外出旅游兩天，需要知道兩天的天氣情況，據(jù) 天氣預(yù)報，第一天下雨的概率為0.6, 第二天下雨的概率為0.3, 兩天都下雨的概率為0.1. 求 (1)第一天下雨，第二天不下雨的概率 (2)兩天至少有一天下雨的概率 (3)兩天都不下

16、雨的概率 (4)兩天至少有一天不下雨的概率 解設(shè)A1, A2分別表示第一天下雨與第二天下雨,,例4 設(shè)A, B是兩事件，P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 問在什么條件下，P(AB) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？,解,若某實驗E滿足 1.有限性：樣本空間 e1, e 2 , , e n ; 2.等可能性： P(e1)=P(e2)==P(en). 則稱E為古典概型也叫等可能概型。,(三）古典概型與概率,設(shè)事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A) ，以N()記樣本空間 中樣本點總數(shù)，則有 P(A)=N(A)/N(),P(A)具有如下性質(zhì)：,(1) 0 P(A) 1； (2

17、) P()1； P( )=0 (3) AB，則 P( A B ) P(A) P(B),古典概型中的概率:,,等可能概型中概率計算應(yīng)注意的基本問題： 明確所作的試驗是等可能概型，有時需要設(shè)計符合問題要求的隨機試驗，使其成為等可能概型 在計算時,常要用到排列和組合的有關(guān)知識 除了直接數(shù)以外，還應(yīng)注意用概率計算的有關(guān)公式，將復(fù)雜問題化為簡單問題,,排列、組合有關(guān)知識的復(fù)習(xí)： 加法原理：完成一件事情有n類方法，第i類方法中有mi種具體的方法，則完成這件事情共有 種不同的方法 乘法原理：完成一件事情有n個步驟，第i個步驟中有mi種具體的方法，則完成這件事情共有 種不同的方法,,排列：從n 個不同的元素

18、中取出m個（不放回地） 按一定的次序排成一排，不同排法的種數(shù)共有 全排列： 可重復(fù)排列：從n個不同的元素中可重復(fù)地取出m個 排成一排, 不同的排法種數(shù)有 不盡相異元素的全排列：n個元素中有m類，第i 類 中有ki個相同的元素，k1+k2++km=n, 將這n個元素按一定的次序排成一排，不同的 排法種數(shù)共有,,組合：從n 個不同的元素中取出m個（不放回地） 組成一組，不同的分法種數(shù)有 多組組合：把n個元素分成m個不同的組（組編號），各組分別有k1,k2,,km 個元素，k1+k2++km=n,不同的分法種數(shù)共有,例5:有三個子女的家庭,設(shè)每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概

19、率是多少? 解:設(shè)A--至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩,=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,P(A)=N(A)/N()=7/8,例6： 袋中有a只白球，b只紅球，從袋中按不放回與放回兩種方式取m個球（ ),求其中恰有k個（ ）白球的概率 解：不放回 E: 球編號，任取一球，記下顏色，放在一邊，重復(fù)m次 : 記事件A為m個球中有k個白球，則 則,,E1: 球編號，一次取出m個球，記下顏色 1: 記事件A為m個球中有k個白球，則 因此 不放回地逐次取m個球，與一次任取m個球 算得的結(jié)果

20、相同。稱為超幾何分布,,有放回地 E2: 球編號，任取一球，記下顏色，放回去， 重復(fù)m次 2: 記事件B為有放回地取m 個球，其中有k個白球，則,,例7 袋中有a只白球，b只紅球， （1）從袋中不放回地取球k次, 每次一只，求第k次取得的是白球的概率（ ） （2）從袋中不放回地將球一個個取出，直到剩下的球的顏色都相同為止，求剩下的球都是白球的概率 解(1) E: 球編號，任取一球，記下顏色，放在一 邊，重復(fù)k次 : 記事件A為第k次取得白球，則,,E1: 球編號，任取一球，記下顏色，放在一邊，將球全部取出 1： E2: 球不編號，將a + b個球有次序地排成一排，觀察a個白球的排列位置，

21、每種排法都是等可能的 2： 無放回地取球，P( A) 與k無關(guān),,(2)設(shè)對應(yīng)的事件為B將球全部取出，最后取得白球,例8（分組問題）30名學(xué)生中有3名運動員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運動員的概率；（2）3名運動員集中在一個組的概率。 解:設(shè)A:每組有一名運動員;B: 3名運動員集中在一組,一般地，把n個球隨機地分成m組(nm),要求第 i 組恰有ni個球(i=1,m)，共有分法：,例9（分球問題）將3個球隨機的放入3個盒子中去，問： （1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？,解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒,設(shè)有 k 個不同的球, 每個 球等可能地

22、落入 N 個盒子中（ ）, 設(shè) 每個盒子容球數(shù)無限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 個盒子中各有一球；,（4）恰有 k 個盒子中各有一球；,（3）某指定的一個盒子沒有球；,（2）某指定的一個盒子恰有 m 個球( ),（5）至少有兩個球在同一盒子中；,（6）每個盒子至多有一個球.,例10 （分房模型）,例4,解,設(shè) (1) (6)的各事件分別為,則,,,,,,,,例10的“分房模型”可應(yīng)用于很多類似場合,信封,信,鑰匙,門鎖,女舞伴,生日,人,男舞伴,例11 “分房模型”的應(yīng)用,生物系二年級有 n 個人，求至少有兩,人生日相同（設(shè)為事件A ) 的概率.,解,為 n 個人的生日均不

23、相同,這相當(dāng)于,本問題中的人可被視為“球”，365天為,365只“盒子”,若 n = 64，,每個盒子至多有一個球. 由例4（6）,例5,59,解,例12 在0,1,2,3, ,9中不重復(fù)地任取四個數(shù)， 求它們能排成首位非零的四位偶數(shù)的概率.,設(shè) A為“能排成首位非零的四位偶數(shù)”,四位偶數(shù)的末位為偶數(shù), 故有 種可能,而前三位數(shù)有 種取法,由于首位為零的四,位數(shù)有 種取法,所以有利于A發(fā)生的取,法共有 種.,例6,解,設(shè) A 表示事件 “n 次取到的數(shù)字的乘積 能被10整除”,設(shè) A1 表示事件 “n 次取到的數(shù)字中有偶數(shù)” A2表示事件 “n 次取到的數(shù)字中有5

24、”,,A = A1 A2,例13 在1,2,3, ,9中重復(fù)地任取 n ( )個數(shù), 求 n 個數(shù)字的乘積能被10整除的概率.,例7,1o 明確所作的試驗是等可能概型,有時需 設(shè)計符合問題要求的隨機試驗, 使其成為 等可能概型.,3o 計算古典概率時須注意應(yīng)用概率計算的有關(guān)公式, 將復(fù)雜問題簡單化. 如例13.,2o 同一題的樣本空間的基本事件總數(shù) 隨試驗設(shè)計的不同而不同, 如 例6不放回試驗的兩種不同設(shè)計. 一般 越小越好.,,例14 把標(biāo)有1,2,3,4 的4 個球隨機地放入標(biāo)有1,2,3,4 的4 個盒子中，每盒放一球，求至少有一個盒子的號碼與放入的球的號碼一致的概率 解設(shè)A為所

25、求的事件 設(shè)Ai表示i 號球放入i 號盒，i = 1,2,3,4 則,,由加法公式，,例15 某人的表停了，他打開收音機聽電臺 報時，已知電臺是整點報時的，問他等待 報時的時間短于十分鐘的概率,,9點,10點,,10分鐘,例9,幾何概型 設(shè)樣本空間為有限區(qū)域 , 若樣本點 落入 內(nèi)任何區(qū)域 G 中的概率與區(qū)域G 的測度成正比, 則樣本點落入G內(nèi)的概率 為,例16 兩船欲停同一碼頭, 兩船在一晝夜內(nèi) 獨立隨機地到達(dá)碼頭. 若兩船到達(dá)后需在 碼頭停留的時間分別是 1 小時與 2 小 時， 試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時，需 要等 待空出碼頭的概率.,解 設(shè)船1 到達(dá)碼頭的瞬時為 x , 0 x < 24 船2 到達(dá)碼頭的瞬時為 y , 0 y < 24,設(shè)事件 A 表示任一船到達(dá)碼頭時需要等待 空出碼頭,例10,,,用幾何概型可以回答“概率為 1 的事件為什么不一定發(fā)生?”這一問題.,如圖，設(shè)試驗E 為“ 隨機地向邊,長為1 的正方形內(nèi)投點” 事件A 為“點投在黃、藍(lán)兩個三角形內(nèi)” ,,由于點可能投在正方形的對角線上, 所以,事件A未必一定發(fā)生.,求,作業(yè) P 34習(xí)題一,習(xí)題,7，9，11，13，15，17，19，21 , 22 (1) (2),