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1、 福建省福州市2012年10月高中數(shù)學學科會議專題講座 立體幾何一輪復習建議 1．考綱要求 1.1立體幾何初步 　　 1.1.1空間幾何體 　　① 認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)． 　?、?能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖． 　?、?了解平行投影與中心投影，了解空間圖形的不同表示形式． 　?、?會畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求）． 　?、?了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積

2、和體積的計算公式（不要求記憶公式）． 　　1.1.2點、直線、平面之間的位置關系 　?、?理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理． 　　◆公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點在此平面內(nèi)． 　　◆公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面． 　　◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線． 　　◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行． 　　◆定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補． 　　② 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點

3、，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質(zhì)與判定． 　　理解以下判定定理． 　　◆如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行． 　　◆如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行． 　　◆如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直． 　　◆如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直． 　　理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明． 　　◆如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行． 　　◆如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行． 　　◆

4、垂直于同一個平面的兩條直線平行． 　　◆如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直． ③ 能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關系的簡單命題． 1.2．空間向量與立體幾何(理科) 　　1.2.1空間向量及其運算 　　① 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示． 　?、?掌握空間向量的線性運算及其坐標表示． 　?、?掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直． 　　1.2.2空間向量的應用 　　① 理解直線的方向向量與平面的法向量． 　?、?能用向量語言表述直線與

5、直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系． 　?、?能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）． ④ 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的應用． 2.考試說明要求 “重視數(shù)學基本能力和綜合能力的考查” “數(shù)學基本能力主要包括空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、計算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應用意識和創(chuàng)新意識這幾方面的能力” “空間想象能力的考查要求是:能夠根據(jù)題設條件想象并作出正確的平面直觀圖形，能夠根據(jù)平面直觀圖形想象出空間圖形；能夠正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系，并能夠?qū)臻g

6、圖形進行分解和組合” “立體幾何是考查空間想象能力的主要載體,同時，又考查邏緝思維能力、推理論證能力、運算求解能力” “由于空間向量的雙重身份,能把空間元素間的位置關系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系,形式邏輯證明轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.降低了思維難度.因此空間向量成為處理空間幾何問題的重要工具”（理科） 3.考點分析 立體幾何歷年都是高考重點內(nèi)容之一 ，屬中檔題. 3.1福建近四年高考中的立體幾何題見下表： 理科 年份 選擇題 填空題 解答題考點及簡要分析 2009 7.平行命題的真假辯析 17.條件:長方體一部分 線面垂直 中點 結(jié)論:(1)異面角 (2)探究 線面垂直 線段長

7、2010 6. 直線與平面平行、垂直的判定與性質(zhì) 12. 三視圖 表面積 18.條件:組合體(圓柱 三棱柱) 結(jié)論:(1)面面垂直 (2)體積 面面角 2011 12.三棱錐 線面垂直 體積 20. 條件:四棱錐 線面垂直 線線垂直 結(jié)論:(1) 面面垂直 (2) 線面角 線段長度 探究 距離相等的點 2012 4. 三視圖 18. 條件:長方體 結(jié)論:(1) 線面垂直 (2)探究 線面平行 (3)二面角 文科 年份 選擇題 填空題 解答題考點及簡要分析 2009 5.三視圖 體積 10.平行命題的真假辯析

8、 20.條件:折疊 三棱錐 面面垂直 結(jié)論:(1)線面垂直 (2)側(cè)面積 2010 3.三視圖 側(cè)面積 20.條件:長方體 線線平行 結(jié)論:(1)線面平行 (2)體積 幾何概型 最值 2011 15.正方體 線面平行 線段長度 20. 條件:四棱錐 線面垂直 線線垂直 線線平行 結(jié)論:(1) 線面垂直 (2) 體積 2012 4. 三視圖 19. 條件:長方體 線段和的最小值(展開) 結(jié)論:(1)體積 (2) 線面垂直 從結(jié)構(gòu)上看，立體幾何題型一般是一個解答題，一至兩個填空或選擇題。解答題常以空間幾何體為載

9、體，設計幾個小問題，第一小問考查線線、線面、面面的位置關系，后面幾問考查空間角、線段長度、面積、體積等度量關系。開放性問題、探究性問題在立體幾何試題之中也頻頻出現(xiàn)。如2009、2011、2012年高考福建理科卷。 3.2存在問題分析 比較突出的問題有：①空間想象能力不夠②推理論證能力不強③書寫不規(guī)范④運算求解能力偏弱等.也體現(xiàn)在以下幾個方面: ①有的學生不能將文字語言、符號語言和圖形語言進行轉(zhuǎn)化，對基本圖形的認識不夠，對圖形的解讀能力不高，不能根據(jù)目標對圖形進行分解組合，不能從空間圖形中準確抽取有用的某一個平面圖形來研究，不能作出有用的輔助線和面. ②有的學生對定理的理解不準確，記憶有

10、偏差，考試時不能正確地提取和應用． ③有的學生缺少證明平行與垂直的常用方法，思路不清晰，簡單套題型. 遇到象2012年文科18(2)對條件“線段和的最小值”這樣的立體幾何題，就只能怪題目出的不好了． ④有的學生(理科)對點的坐標,法向量的運算出錯率很高. ⑤有的學生不知道哪些結(jié)論可以作為推理的依據(jù)，哪些要經(jīng)過證明才能用． 證明題按邏輯段給分，每個邏輯段分條件和結(jié)論，結(jié)論必須寫，某些條件容許缺省，但不能所有條件都不寫，必須寫出的為“關鍵詞”，各個邏輯段的推理是否完成就看條件“關鍵詞”與結(jié)論“關鍵詞”有沒有寫出.若缺少某個關鍵詞，且沒有“等價替代詞”，則該邏輯段不給分．若某個邏輯段盡管不缺

11、關鍵詞，但推理錯誤，也不給分.　　評卷過程中按完成的邏輯段給分，各個邏輯段中的分值不再拆分. 　例1: 如圖，在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別是的中點，點D在上，. 求證：（1）EF∥平面ABC； （2）平面⊥平面 分析: 4.精典試題剖析 下面從識圖與畫圖的結(jié)合、概念與推理的結(jié)合、對圖形的處理等三方面進行討論. 4．1 識圖與畫圖的結(jié)合 例2.(2012高考湖南卷文4 ) 某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是 本題以空間幾何體的三視圖為載體，考查空間想象能力.是近年高考中的熱點題型.由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示知，原圖下面圖為圓柱或直

12、四棱柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是該幾何體的俯視圖，Ｄ不可能是該幾何體的俯視圖，因為它的正視圖上面應為中間帶虛線的矩形. 例3.（2012高考北京卷理7） 某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（ ） A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12 本題以空間幾何體的三視圖為載體，考查空間想象能力.從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，圖中藍色數(shù)字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長度，黑色數(shù)字代表通過勾股定理的計算得到的邊長。本題所求表面

13、積應為三棱錐四個面的面積之和，利用垂直關系和三角形面積公式，可得：，，，，因此該幾何體表面積，故選B。 能根據(jù)給出的三視圖，通過畫圖、分析，想象出空間幾何體，并找出兩者的聯(lián)系，是解題的關鍵。 4．2 概念與推理的結(jié)合 例4．（2012高考浙江卷文5）設是直線，a，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ） A. 若∥a，∥β，則a∥β B. 若∥a，⊥β，則a⊥β C. 若a⊥β，⊥a，則⊥β D. 若a⊥β, ∥a，則⊥β 本題主要考察空間平行與垂直關系的定理，從每一個平行與垂直關系出發(fā)，理解和把握是否合乎定理的內(nèi)容是關鍵，考查了空

14、間想象能力和推理論證能力。利用排除法可得選項B是正確的，∵∥a，⊥β，則a⊥β．如選項A：∥a，∥β時，a⊥β或a∥β；選項C：若a⊥β，⊥a，∥β或；選項D：若若a⊥β, ⊥a，∥β或⊥β．故選B 例5．（2012高考四川卷理6）下列命題正確的是（ ） A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行 B、若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行 C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行 D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行 本題以空間幾何體線面位置關系為載體，通過對線面角、點面距、線線平行、線面平行、面

15、面平行、面面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力推理論證能力。A.兩直線可能平行，相交，異面故A不正確；B.兩平面平行或相交；C.正確；D.這兩個平面平行或相交。選C。 若把此題改為多項選擇，比如正確的命題有幾個？或有哪些？難度會加大很多的。 4．3 對圖形的處理 對圖形常見的處理有：分割、補形、展開、平移和對稱；添加輔助線輔助面；將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題等。通過處理，使得復雜圖形簡單化、非標準圖形標準化。對空間圖形的處理能力是空間想象能力深化的標志，是高考從深層次上考查空間想象能力的主要方面。 例6．（2012高考上海卷理14）如圖，與是四面體中互相垂直的棱，，若，且

16、，其中、為常數(shù)，則四面體的體積的最大值是 。 本題主要考查空間四面體的體積公式、空間中點線面的關系.本題主要考慮根據(jù)已知條件構(gòu)造體積表達式，這是解決問題的關鍵，本題綜合性強，運算量較大.屬于中高檔試題. 過點A做AE⊥BC，垂足為E，連接DE，由AD⊥BC可知，BC⊥平面ADE，所以=， 當AB=BD=AC=DC=a時，四面體ABCD的體積最大。過E做 EF⊥DA，垂足為點F，∴EF=， ∴==，得體積的最大值= 例7．（2012高考遼寧卷理16 ）已知正三棱錐ABC，點P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為__

17、______ 本題主要考查組合體的位置關系、抽象概括能力、空間想象能力、運算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想，該題靈活性較強，難度較大。該題若直接利用三棱錐來考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關系，把三棱錐看作為一個正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對角線為球的直徑，球心為正方體對角線的中點。球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的高。已知球的半徑為，所以正方體的棱長為2，可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為。 例8．（2102高考福建卷文19）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M為棱D

18、D1上的一點。 ⑴求三棱錐A-MCC1的體積； ⑵當A1M+MC取得最小值時，求證：B1M⊥平面MAC。 本題以長方體為載體，主要考查了直線和直線直線和平面的位置關系及幾何體的體積等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、計算求解能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想和化歸轉(zhuǎn)化思想。（2）中將側(cè)面繞轉(zhuǎn)展開，與側(cè)面共面，當共線時A1M+MC取得最小值，也即為中點時…. 個人感覺對文科生來說“當A1M+MC取得最小值時”這個條件有點難,若把條件直接改為“當為的中點時”,平均得分會高2-3分. 例9．（2012高考湖北卷理19 ）如圖1，，，過動點A作，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB

19、，沿將△折起，使（如圖2所示）． （Ⅰ）當?shù)拈L為多少時，三棱錐的體積最大； （Ⅱ）當三棱錐的體積最大時，設點，分別為棱，的中點，試在 棱上確定一點，使得,并求與平面所成角的大?。? D A B C A C D B 圖2 圖1 M E . · 本題以三角形折疊后的三棱錐為載體，主要考查直線和平面的位置關系、幾何體的體積、空間向量的運算、函數(shù)的最值等基本知識，考查空間想象能力、推理論證能力、計算求解能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想和化歸轉(zhuǎn)化思想。 以向量為工具解空間幾何題，仍需對圖形進行觀察、

20、思考、推理、判斷，做到“眼里有圖，腦中有圖”，把圖形和概念、圖形和條件聯(lián)系起來。解題過程中，空間想象是前提，代數(shù)運算是保證。 例10．（2012高考江西理19）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O。 （1）證明在側(cè)棱AA1上存在一點E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的長； （2）求平面與平面BB1C1C夾角的余弦值。 本題以三棱柱為載體，考查線面垂直，二面角、向量法在解決立體幾何問題中的應用以及空間想象的能力. 高考中，立體幾何解答題一般有以下三大方向的考查.一、考查與垂直，平行有關的線面關系的證明；二、

21、考查空間幾何體的體積與表面積；三、考查異面角，線面角，二面角等角度問題.前兩種考查多出現(xiàn)在第1問，第3種考查多出現(xiàn)在第2問；對于角度問題，一般有直接法與空間向量法兩種求解方法。 5．幾種常見題型復習基本策略的分享 5．1基本題型一：空間幾何體的認識及表面積與體積的計算（選填題） 基本策略：涉及柱、錐、臺、球及其簡單組合體的側(cè)面積和體積的計算問題，要在正確理解概念的基礎上，畫出符合題意的圖形或輔助線(面)，分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的公式，進行計算．另外要重視空間問題平面化的思想和割補法、等積轉(zhuǎn)換法的運用． 5．2基本題型二：空間中點線面位置關系的判斷（選填題） 基本策略：正確轉(zhuǎn)

22、換符號語言、圖形語言與文字語言；構(gòu)造并利用具體模型(比如長方體)，直觀感知，操作確認；熟練運用4條公理、3條推論和8條判定與性質(zhì)定理來判斷空間位置關系，通過證明或舉反例來確定命題的真假．注意不要把平面幾何結(jié)論簡單類比到空間． 5．3基本題型三：線線、線面、面面平行與垂直的證明（解答題） 基本策略：證明或探究空間中線線、線面、面面平行與垂直的位置關系，一要熟練掌握所有判定定理與性質(zhì)定理，梳理好幾種位置關系的常見證明方法，如證明線面平行，既可以構(gòu)造線線平行，也可以構(gòu)造面面平行．而證明線線平行常用的是三角形中位線性質(zhì)，或構(gòu)造平行四邊形；二要用分析與綜合相結(jié)合的方法來尋找證明的思路；三要注意表述

23、規(guī)范，推理嚴謹，避免使用一些雖然正確但不能作為推理依據(jù)的結(jié)論．有條件時，可以適當涉及一些簡單的計算，或是添加探究性的小問，或是在圖形上作一點變化，但一定要控制難度，且最終的落腳點一定是平行與垂直． 5．4基本題型四：運用空間向量證明與計算（解答題） 基本策略：空間向量的基礎知識可以類比于《必修4》中平面向量的相關知識進行整理與記憶；通過建立適當?shù)淖鴺讼担孟蛄縼肀硎军c，刻畫直線和平面的“方向”；理解用向量判定空間位置關系、求角的原理，并掌握一般解題步驟，其中，線線角、線面角與二面角是本類題型中的重點考查對象，應加強訓練．此外，在計算平面的法向量、探究點的位置等問題中，要善于運用“待定系數(shù)法”合理設出坐標，尋找滿足條件的方程（組）來解決問題． 7