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1、第3講數(shù)列的綜合問題,專題二數(shù)列,板塊三專題突破核心考點,,考情考向分析,1.數(shù)列的綜合問題，往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式. 2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點探求參數(shù)的值或范圍. 3.將數(shù)列與實際應用問題相結合，考查數(shù)學建模和數(shù)學應用能力.,,,熱點分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點分類突破,1.數(shù)列an中，an與Sn的關系,,熱點一利用Sn，an的關系式求an,2.求數(shù)列通項的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項公式. (2)在已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項an.,(3

2、)在已知數(shù)列an中，滿足 f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累乘法求數(shù)列的通項an. (4)將遞推關系進行變換，轉化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).,解答,例1已知等差數(shù)列an中，a22，a3a58，數(shù)列bn中，b12，其前n項和Sn滿足：bn1Sn2(nN*). (1)求數(shù)列an，bn的通項公式；,解a22，a3a58， 2d23d8，d1，ann(nN*). bn1Sn2(nN*)， bnSn12(nN*，n2). 由，得bn1bnSnSn1bn(nN*，n2)， bn12bn(nN*，n2). b12，b22b1， bn是首項為2，公比為2的等比數(shù)列， bn2n(nN*).

3、,解答,兩式相減，得,給出Sn與an的遞推關系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.,,解答,跟蹤演練1(2018綿陽診斷性考試)已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：a1anS1Sn. (1)求數(shù)列an的通項公式；,解由已知a1anS1Sn，,當n2時，由已知可得a1an1S1Sn1， 得a1(anan1)an. 若a10，則an0，此時數(shù)列an的通項公式為an0. 若a12，則2(anan1)an，化簡得an2an1， 即此時數(shù)列an是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列， 故an2n(nN

4、*). 綜上所述，數(shù)列an的通項公式為an0或an2n.,解答,(2)若an0，數(shù)列 的前n項和為Tn，試問當n為何值時，Tn最??？ 并求出最小值.,解因為an0，故an2n.,由n50，解得n5，所以當n4或n5時，Tn最小，,,熱點二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題,數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應關系，將條件進行準確的轉化.數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題，不等關系或恒成立問題.,解答,例2(2018遵義聯(lián)考)已知函數(shù)f(x

5、)ln(1x) . (1)若x0時，f(x)0，求的最小值；,解由已知可得f(0)0，,若0，則當x0時，f(x)0，f(x)單調遞增， f(x)f(0)0，不合題意；,則當x0時，f(x)<0，f(x)單調遞減， 當x0時，f(x)f(0)0，符合題意.,證明,，,以上各式兩邊分別相加可得,解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點 (1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關系時要特別重視. (2)解題時準確構造函數(shù)，利用函數(shù)性質時注意限制條件. (3)不等關系證明中進行適當?shù)姆趴s.,,跟蹤演練2(2018南昌模擬)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn(nN*

6、)，滿足S42a41，S32a31. (1)求an的通項公式；,解答,解設an的公比為q， 由S4S3a4，S42a41得， 2a42a3a4，,所以a12a14a18a11，所以a11， 所以an2n1(nN*).,證明,證明由(1)知bnlog2(an1an) log2(2n2n1)2n1，,,用數(shù)列知識解相關的實際問題，關鍵是合理建立數(shù)學模型數(shù)列模型，弄清所構造的數(shù)列是等差模型還是等比模型，它的首項是什么，項數(shù)是多少，然后轉化為解數(shù)列問題.求解時，要明確目標，即搞清是求和，還是求通項，還是解遞推關系問題，所求結論對應的是解方程問題，還是解不等式問題，還是最值問題，然后進行合理推算，得出實

7、際問題的結果.,熱點三數(shù)列的實際應用,解答,例3科學研究證實，二氧化碳等溫室氣體的排放(簡稱碳排放)對全球氣候和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生了負面影響，環(huán)境部門對A市每年的碳排放總量規(guī)定不能超過550萬噸，否則將采取緊急限排措施.已知A市2017年的碳排放總量為400萬噸，通過技術改造和倡導低碳生活等措施，此后每年的碳排放總量比上一年的碳排放總量減少10%.同時，因經(jīng)濟發(fā)展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m萬噸(m0). (1)求A市2019年的碳排放總量(用含m的式子表示)；,解設2018年的碳排放總量為a1,2019年的碳排放總量為a2，， 由已知，a14000.9m， a20.9(4000.9m)

8、m 4000.920.9mm3241.9m.,解答,(2)若A市永遠不需要采取緊急限排措施，求m的取值范圍.,解a30.9(4000.920.9mm)m 4000.930.92m0.9mm， ， an4000.9n0.9n1m0.9n2m0.9mm,(40010m)0.9n10m. 由已知nN*，an550， (1)當40010m0，即m40時，顯然滿足題意； (2)當40010m0，即m<40時，,由指數(shù)函數(shù)的性質可得(40010m)0.910m550，解得m190. 綜合得m40時， 由指數(shù)函數(shù)的性質可得10m550， 解得m55，綜合得40

9、常見數(shù)列應用題模型的求解方法 (1)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間n的總產(chǎn)值yN(1p)n. (2)銀行儲蓄復利公式：按復利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1r)n. (3)銀行儲蓄單利公式：利息按單利計算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1nr). (4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b .,,跟蹤演練3(2018上海崇明區(qū)模擬)2016 年崇明區(qū)政府投資 8 千萬元啟動休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項目.規(guī)劃從 2017 年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資 2 千萬元用于此項目.

10、2016 年該項目的凈收入為 5 百萬元，并預測在相當長的年份里，每年的凈收入均在上一年的基礎上增長50%.記 2016 年為第 1 年，f(n)為第 1 年至此后第n(nN*)年的累計利潤(注：含第n年，累計利潤累計凈收入累計投入，單位：千萬元)，且當f(n)為正值時，認為該項目贏利.,解答,(1)試求f(n)的表達式；,解由題意知，第1年至此后第n(nN*)年的累計投入為82(n1)2n6(千萬元)， 第1年至此后第n(nN*)年的累計凈收入為,解答,(2)根據(jù)預測，該項目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由.,當n3時，f(n1)f(n)0， 故當n4時，f(n)遞增.,該項目將從第8年

11、開始并持續(xù)贏利. 答：該項目將從2023年開始并持續(xù)贏利.,x4.,從而當x1,4)時，f(x)0，f(x)單調遞增.,該項目將從第8年開始并持續(xù)贏利. 答：該項目將從2023年開始并持續(xù)贏利.,真題押題精練,1.(2018全國)記Sn為數(shù)列an的前n項和.若Sn2an1，則S6______.,真題體驗,解析,63,答案,解析Sn2an1，當n2時，Sn12an11， anSnSn12an2an1(n2)， 即an2an1(n2). 當n1時，a1S12a11，得a11. 數(shù)列an是首項a11，公比q2的等比數(shù)列，,S612663.,2.(2017山東)已知xn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1

12、x23，x3x22. (1)求數(shù)列xn的通項公式；,解答,解設數(shù)列xn的公比為q.,所以3q25q20， 由已知得q0， 所以q2，x11. 因此數(shù)列xn的通項公式為xn2n1(nN*).,(2)如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1，1)，P2(x2，2)，，Pn1(xn1，n1)得到折線P1P2Pn1，求由該折線與直線y0，xx1，xxn1所圍成的區(qū)域的面積Tn.,解答,解過P1，P2，，Pn1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，，Qn1. 由(1)得xn1xn2n2n12n1， 記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn，,所以Tnb1b2bn 321520721(2n1)2n

13、3(2n1)2n2. 又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1， ,得 Tn321(2222n1)(2n1)2n1,押題預測,已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足關系式Snkan1，k為不等于0的常數(shù). (1)試判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列；,押題依據(jù)本題綜合考查數(shù)列知識，考查反證法的數(shù)學方法及邏輯推理能力.,解答,押題依據(jù),解若數(shù)列an是等比數(shù)列，則由n1得a1S1ka2，從而a2ka3. 又取n2，得a1a2S2ka3， 于是a10，顯然矛盾，故數(shù)列an不是等比數(shù)列.,押題依據(jù)是高考的熱點問題，即數(shù)列與不等式的完美結合，其中將求數(shù)列前n項和的常用方法“裂項相消法”與“錯位相減法”結合在一起，考查了綜合分析問題、解決問題的能力.,解答,押題依據(jù),從而Snan1. 當n2時，由Sn1an，得anSnSn1an1an，,從而其前n項和Sn2n2(nN*). 由得bnn2，,記C2121220n2n2， 則2C2120221n2n1，,即n2n900，因為nN*且n1，故n9， 從而最小正整數(shù)n的值是10.,