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1、,,第十一章 彎曲應(yīng)力,11-1 引言, 橫力彎曲, 純彎曲,梁橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。,梁橫截面上只有正應(yīng)力無切應(yīng)力。,常數(shù),11-2 截面（平面圖形）的幾何性質(zhì),一、截面的靜矩與形心,截面對z軸的靜矩,,,注意：截面對某軸的靜矩為零，則該軸過截面形心；反之，軸過截面形心，則截面對該軸的靜矩為零。所以截面對形心軸的靜矩恒等于零。,截面對y軸的靜矩,二、慣性積,截面對y、z軸的慣性積,若y、z軸中有一軸為截面的 對稱軸，則 Iyz = 0,主慣性軸：Iyz0的一對y、z軸。 形心主（慣性）軸：Iyz0且都過形心 的一對y、z軸,三、慣性矩,1.截面對軸的慣性矩,截面對z軸

2、的慣性矩,慣性矩與極慣性矩的關(guān)系,截面對y軸的慣性矩,2.慣性半徑,分別稱為圖形對y、z軸的慣性半徑。,3.常見截面對形心主軸慣性矩的計算, 矩形截面,（矩形截面高h(yuǎn) ，寬b ，z軸過截面形心平行矩形底邊）,,類似地：, 圓形截面,（直徑為d ，y、z軸過圓心）,,,,,類似地：, 圓環(huán)截面,（內(nèi)徑為d ，外徑為D ，y、z軸過圓心）, 組合截面,截面對軸的慣性矩等于該截面各部分對同一軸的慣性矩之和。, 型鋼截面,可以查閱有關(guān)工程手冊（型鋼表）得到。,四、平行移軸定理,截面對任一坐標(biāo)軸的慣性矩，等于對與其平行的形心軸的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離平方之乘積。,類似地：,（yC軸過形心）,例：

3、計算圖示T 形截面對其形心軸yC 的慣性矩。,解：確定形心軸的位置，坐標(biāo)系如圖,截面對形心軸yC的慣性矩,11-3 對稱彎曲正應(yīng)力,在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)作用一對等值反向的力偶，梁處于純彎曲狀態(tài)。,一、純彎曲時的正應(yīng)力,1.變形幾何關(guān)系,實驗現(xiàn)象,(1)縱向線由直線變成曲線，且ab伸長、cd縮短。 (2)橫向線仍為直線，且仍垂直于變形后的軸線，但相對 其原方位有一微小的偏轉(zhuǎn)。,,,平面假設(shè),變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，但繞截面的某一軸旋轉(zhuǎn)一個小角度。,中性層：在彎曲變形時梁中既 不伸長也不縮短的一層 纖維,中性軸：中性層與橫截面的交線。,由于載荷作用于

4、縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，故中性軸z與橫截面對稱軸y垂直。,距離中性層為y處的纖維ab變形前長度,纖維縱向線應(yīng)變?yōu)?距離中性層為y處的纖維ab變形后長度,變形規(guī)律,設(shè)中性層的曲率半徑為,變形規(guī)律：,2.物理關(guān)系,,,,公式中中性層的曲率半徑未知，其與內(nèi)力、材料、截面的尺寸、形狀有關(guān)。,時,橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律圖,中性軸z必過截面形心，同時中性軸z與截面縱向?qū)ΨQ軸y垂直，故中性軸位置可確定。y、z軸之交點(diǎn)為形心，x軸即為軸線，且軸線在中性層內(nèi)。,,,,,,,,,3.靜力關(guān)系,(1),,,,,,,,,y、z軸為截面的形心主慣性軸.,(2),,,,,,,,,抗彎剛度：截面抵抗彎曲變形的能力,,(3),純彎曲時

5、正應(yīng)力計算公式,,,,橫截面上的彎矩,橫截面對于中性軸的慣性矩,所求應(yīng)力的點(diǎn)距中性軸的垂直距離,,,,上述公式適用于任何截面形式的梁發(fā)生平面彎曲的情形。,梁彎曲變形凸出一側(cè)為拉應(yīng)力 凹入一側(cè)為壓應(yīng)力,二、橫力彎曲時的正應(yīng)力,彎曲平面假設(shè)不成立,應(yīng)用時肯定有誤差，但誤差在允許范圍內(nèi)。 特別是對于細(xì)長梁，誤差更小。,橫力彎曲時正應(yīng)力計算公式：,三、最大彎曲正應(yīng)力,同一橫截面上距離中性軸最遠(yuǎn)處正應(yīng)力最大。,,, 矩形截面, 實心圓截面, 空心圓截面,抗彎截面系數(shù),,例：圖所示懸臂梁，承受的集中力偶M = 20kNm作用。梁采用No.18工字鋼，鋼的彈性模量E = 200GPa。計算梁內(nèi)的最大彎曲

6、正應(yīng)力與梁軸的曲率半徑。,解：截面的彎矩,查型鋼表,梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力,梁軸的曲率半徑,例：寬度b = 6mm、厚度= 2mm的鋼帶環(huán)繞在直徑D = 1400mm的帶輪上，已知鋼帶的彈性模量為E = 200GPa。試求鋼帶內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力與鋼帶承受的彎矩。,解：鋼帶的變形狀態(tài)同彎曲，其軸線的曲率半徑,橫截面離中性軸最遠(yuǎn)距離,11-4 對稱彎曲切應(yīng)力,一、矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力,,假設(shè) (1)橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力方向平行于剪力. (2)切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。,左右兩個面上由正應(yīng)力引起的軸力：,頂面有切向力,由切應(yīng)力互等定理, 矩形截面,,切應(yīng)力沿截面高度拋物線分布,,最外緣處切應(yīng)力等于零

7、,中性軸處切應(yīng)力最大,,,,,,二、工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力,1.腹板的切應(yīng)力,,最大切應(yīng)力在中性軸上,腹板內(nèi)切應(yīng)力沿高度拋物線分布,最小切應(yīng)力在腹板與翼緣的交界處,,,,2.翼緣的切應(yīng)力,翼緣部分切應(yīng)力分布復(fù)雜且數(shù)值很小，一般不作計算，認(rèn)為翼緣主要承受截面的彎矩。,腹板的面積,,腹板厚度 遠(yuǎn)小于翼緣寬度 b 時， ， ，可認(rèn)為腹板上的切應(yīng)力均勻分布,三、圓形、環(huán)形截面梁的彎曲切應(yīng)力,圓形截面：,環(huán)形截面：,例：圖所示矩形截面懸臂梁承受均布載荷q作用，比較梁的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。,解：梁的最大剪力、最大彎矩為,,,,11-5 梁的彎曲強(qiáng)度條件,一、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,對于塑性材料

8、的等直梁：,對于塑性材料的變截面梁：,對于脆性材料的梁：,, 確定危險截面：充分考慮彎矩、截面尺寸 、材料。,, 當(dāng)材料抗拉、抗壓強(qiáng)度不同（如脆性材料）時，應(yīng)分別進(jìn)行抗拉、抗壓的強(qiáng)度計算。, 對于等直梁，當(dāng)中性軸為截面對稱軸時，危險截面在,當(dāng)中性軸不為截面對稱軸時，,危險截面在,處；,處（兩個截面）。,根據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件可討論三類強(qiáng)度問題（強(qiáng)度校核、截面尺寸設(shè)計、許可載荷確定）。具體計算時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：,例：圖示圓截面軸AD，中段BC承受均布載荷q = 10kN/m作用，材料許用應(yīng)力=140MPa。試確定軸徑。,解： 確定支座約束力，作彎矩圖,,, 確定軸徑,AB、CD段最大彎矩,,,,

9、確定AB、CD段軸徑,,,確定BC段軸徑,BC段最大彎矩,例：T 形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖示。鑄鐵的抗拉許用應(yīng)力為 t = 30MPa，抗壓許用應(yīng)力為 c = 160MPa，試校核梁的強(qiáng)度。,解： 求支座約束力，作彎矩圖,解得：,, 截面幾何性質(zhì),形心位置,,截面對中性軸的慣性矩,, 強(qiáng)度校核,最大拉應(yīng)力校核，B截面上邊緣和C截面下邊緣可能是最大拉應(yīng) 力發(fā)生位置,C截面,B截面,,,,C截面應(yīng) 力分布圖,,B截面應(yīng) 力分布圖,,最大壓應(yīng)力校核，最大壓應(yīng)力發(fā)生在B截面下邊緣各點(diǎn),B截面,所以此梁的強(qiáng)度滿足要求。,B截面應(yīng) 力分布圖,,例：單梁吊車跨度l = 10.5m，由No.45a工字

10、鋼制成，材料的=140MPa 。 試計算能否起吊F = 85kN的重物； 若不能，則在上下翼緣各焊接一塊10010的鋼板，鋼板長a = 7m，再校核其強(qiáng)度； 求加固鋼板的經(jīng)濟(jì)安全長度。,解： 校核未加固梁的強(qiáng)度,當(dāng)小車位于梁的中點(diǎn)時，在梁的中點(diǎn)位置處彎矩最大,查型鋼表,所以此梁不能起吊F = 85kN的重物。, 校核加固梁的強(qiáng)度,加固處截面強(qiáng)度校核,,,當(dāng)小車位于梁的中點(diǎn)時，在梁的中點(diǎn)位置處彎矩最大,,未加固處截面強(qiáng)度校核,設(shè)加固鋼板長度為a，當(dāng)小車作用在梁中點(diǎn)位置處，未加固截面的最大彎矩,當(dāng)小車作用在加固鋼板邊緣處，未加固截面的最大彎矩,所以未加固截面的最大彎矩,未加固截面,,,所以加固以后

11、該梁是安全的。, 計算加固鋼板的經(jīng)濟(jì)安全長度，設(shè)加固鋼板為x,,,二、彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件,不同截面形式的等直梁，其最大切應(yīng)力計算公式：,矩形截面：,工字型截面：,圓形截面：,環(huán)形截面：,注意：若為變截面梁，則還要考慮截面尺寸對最大切應(yīng)力的影響,,一般情況下，梁的強(qiáng)度主要由正應(yīng)力控制，切應(yīng)力一般會滿足要求，但以下情況必須復(fù)核切應(yīng)力強(qiáng)度：,1.梁的最大彎矩較小，而最大剪力卻很大時（粗短梁、支座附近有很大集中力作用）。,3.各向異性材料（木梁順紋、組合截面梁膠粘層抗剪強(qiáng)度計算）。,2.在焊接或鉚接的組合截面鋼梁中，橫截面腹板部分的寬度與梁高之比小于型鋼截面的相應(yīng)比值。,例：圖示起重機(jī)梁用工字鋼制成，

12、已知荷載F = 20kN，并可沿梁軸移動，梁的跨度l = 6m，許用正應(yīng)力 = 100MPa，許用切應(yīng)力 = 60MPa。試選擇工字鋼型號。,解： 按梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件初步選擇工字鋼型號,當(dāng)小車位于梁的中點(diǎn)時，在梁的中點(diǎn)位置處彎矩最大,查型鋼表選擇No.22a工字鋼,查型鋼表選擇No.22a工字鋼,, 按梁彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件復(fù)核初步選擇的工字鋼型號,當(dāng)小車位于支座位置時，在此位置剪力最大,,,所以選擇工字鋼滿足彎曲正應(yīng)力和彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件。,例：圖示左端嵌固，右端用螺栓聯(lián)結(jié)的懸臂梁，在自由端作用一集中力F。不考慮上下層梁的摩擦，試分析螺栓的受力。,解：螺栓聯(lián)結(jié)后，兩根梁看成一個整體（高2a

13、，寬b）在F作用下整體彎曲，兩根梁的接觸面相當(dāng)于整個梁的中性層,各橫截面中性軸處切應(yīng)力,中性層面上切應(yīng)力,中性層面上的剪力,實際中性層間的剪力完全由螺栓承受，所以螺栓受剪力,中性層面上切應(yīng)力,11-6 梁的合理強(qiáng)度設(shè)計,一、梁的合理截面形狀,1. 合理的截面形狀應(yīng)該是截面面積較小，抗彎截面系數(shù)較大。, 定量分析,矩形,矩形比方形合理,方形比圓形合理,方形,圓形,,,假設(shè)矩形、方形和圓形的面積相同，即：, 定性分析,Wz 與截面面積對于中性軸的分布有關(guān)。材料分布越遠(yuǎn)離中性軸，截面的Wz 越大。,梁橫截面上正應(yīng)力沿高度線性分布，中性軸附近正應(yīng)力值很小，該處的材料未發(fā)揮作用，可以將材料移置距中性軸較

14、遠(yuǎn)處，使之充分利用。,2.考慮材料的特性來選擇截面的合理形狀, 抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料，宜采用中性軸為對稱軸的截面（如矩形、工字形、圓形等）。, 抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料，宜采用中性軸偏向一側(cè)（許用應(yīng)力較小的一側(cè)）的截面，使 y1 和 y2 之比接近于下列關(guān)系,,例：圖示梯形截面承受正彎矩作用。已知材料的許用拉應(yīng)力 t=45MPa，許用壓應(yīng)力 c=80MPa ，為使梁重量最輕，試確定截面的頂邊寬度a 與底邊寬度b 的最佳比值。,解：截面形心距底邊距離是,為使截面合理，滿足下列條件,解得：,二、變截面梁和等強(qiáng)度梁,1.變截面梁,2.等強(qiáng)度梁,,改變截面尺寸，使抗彎截面系數(shù)隨彎矩而變化。,變截

15、面梁各橫截面的最大正應(yīng)力都等于許用應(yīng)力。,例：圖示集中力F 作用下的簡支梁，截面為矩形，設(shè)寬度b 不變，設(shè)計等強(qiáng)度梁。,解：,,,在支座附近，按切應(yīng)力強(qiáng)度條件確定截面最小高度,,三、梁的合理受力,1.合理布置梁的支座,2.盡量將載荷分散作用,,,11-7 平面彎曲組合, 斜彎曲,彎矩作用平面與慣性主軸平面不重合的彎曲。,外力都作用在通過梁軸線的兩個不同的主軸平面內(nèi),外力作用在通過軸線的非慣性主軸平面內(nèi),斜彎曲為若干平面彎曲的組合變形,,,一、內(nèi)力與應(yīng)力的計算,,,xy平面內(nèi)的彎曲，中性軸為z,xz平面內(nèi)的彎曲，中性軸為y,,任意截面x上的內(nèi)力,,,,,( xy平面內(nèi)的彎曲 ),( xz平面內(nèi)的

16、彎曲）,任取截面x上任意點(diǎn)，坐標(biāo)為( y ,z ),,,,,,中性軸方程,,,二、最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件,設(shè)危險截面上危險點(diǎn)（正應(yīng)力最大點(diǎn)）的坐標(biāo)為( y0 ,z0),,,,,1.矩形截面,,,2.圓截面,,,正應(yīng)力分布規(guī)律同前，離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)應(yīng)力最大。對于圓形截面兩個最大正應(yīng)力值的位置不重合在一點(diǎn)，但圓截面對于任意直徑軸的抗彎截面系數(shù)是一樣的，同時有一根直徑軸必為截面中性軸，所以截面的最大正應(yīng)力可求出截面的合彎矩后采用上述公式計算。,,,例：圖所示一矩形截面懸臂梁，截面寬度b = 90mm ，高度h = 180mm ，兩在兩個不同的截面處分別承受水平力F1和鉛垂力F2。已知F1 = 800N

17、 ，F(xiàn)2 = 1650N ，l = 1m ，求梁內(nèi)的最大正應(yīng)力并指出其作用位置。,解：經(jīng)分析固定端處A 點(diǎn)拉 應(yīng)力最大，B 點(diǎn)壓應(yīng)力最大,,,例：圖示吊車梁，跨度l = 4m ，用No.20a 工字鋼制成。當(dāng)起吊時，由于被吊物體位置偏斜，致使載荷偏離梁截面的鉛垂對稱軸。若載荷F = 20kN ，偏斜角=5o，試計算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。,,,解：當(dāng)載荷位于梁中點(diǎn)時，梁截面的彎矩My 、Mz 在中點(diǎn)位置同時有最大值,,,查型鋼表,,,,,,11-8 彎拉（壓）組合,軸向力與橫向力同時作用, 拉（壓）與彎曲的組合,不通過截面形心的縱向力，即偏心拉伸與壓縮,,,一、軸向力與橫向力同時作用引起的彎拉（

18、壓）組合,1.內(nèi)力與應(yīng)力的計算,軸向力,橫向力,（對實心截面引起切應(yīng)力很小，忽略）,,,,,,,,,2.最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件,軸力為拉力,軸力為壓力,危險點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)（忽略彎曲切應(yīng)力），強(qiáng)度條件：,,,二、偏心載荷引起的彎拉（壓）組合,1.內(nèi)力與應(yīng)力的計算,偏心力F 向截面形心平移,,,,,,,,2.最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件, 矩形截面,軸力為拉力,,,軸力為壓力,危險點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)，強(qiáng)度條件：,,,例：小型壓力機(jī)的鑄鐵框架如圖，已知材料的許用拉應(yīng)力t = 30MPa ，許用壓應(yīng)力c = 160MPa 。試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的最大許用壓力F 。,解： 計算截面的幾何性質(zhì),,,,,, 求截

19、面內(nèi)力,由平衡條件可得截面的軸力和彎矩分別為, 求截面最大拉、壓應(yīng)力，以抗拉、壓強(qiáng)度條件求最大許用壓力,解得：,解得：,所以壓力機(jī)的最大許用壓力 F = 45.1kN 。,,,例：圖示梁承受集中載荷F 作用，已知載荷F = 10kN ，梁長l = 2m ，載荷作用點(diǎn)與梁軸的距離e = l / 10 ，方位角=30o ，許用應(yīng)力=160MPa 。試選擇合適的工字鋼型號。,解： 計算簡圖確定,,,,軸向拉伸,xy 平面內(nèi)彎曲,,,,,, 作各變形對應(yīng)的內(nèi)力圖,由內(nèi)力圖及強(qiáng)度公式可判斷A 截面為危險截面,FN 圖,M 圖,,, 根據(jù)彎曲強(qiáng)度條件初步選擇工字鋼型號,查型鋼表初步選擇No.12.6 工字鋼,按彎拉組合受力校核強(qiáng)度,所以選擇No.12.6 工字鋼滿足強(qiáng)度要求。,例：單臂液壓機(jī)機(jī)架的橫截面尺寸如圖，計算該截面對形心軸yC的慣性矩。,解：確定形心軸的位置，坐標(biāo)系如圖,截面對形心軸yC的慣性矩,