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1、1,第一篇 復(fù)變函數(shù)論,主要內(nèi)容: 復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù) 復(fù)變函數(shù)的積分 復(fù)變函數(shù)的級數(shù) 留數(shù)定理 傅立葉變換,2, 1.1 復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算,（一）復(fù)數(shù)的基本概念,數(shù)的擴(kuò)展：正數(shù)負(fù)數(shù)實(shí)數(shù) 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)：方程 ax2 + bx + c = 0 當(dāng) = b2 4ac < 0時(shí)，沒有實(shí)根。 擴(kuò)大數(shù)域，引進(jìn)復(fù)數(shù),第一章 復(fù)變函數(shù),3,,復(fù)數(shù)定義：,4,復(fù)數(shù)相等：,兩復(fù)數(shù)： x1+i y1， x2+i y2 當(dāng)且僅當(dāng)： x1 x2 , y1 y2 時(shí)，我們才能說兩復(fù)數(shù)相等，記為 x1+iy1=x2 iy2,注意：復(fù)數(shù)不能夠比較大小。,復(fù)數(shù)的共軛,復(fù)數(shù)z=x+iy的共軛復(fù)數(shù) 為z*=x-iy

2、,共軛復(fù)數(shù)z*是復(fù)數(shù)z關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn),5,注意：,1）、,2）、,6,復(fù)數(shù)的其它表示法,,7,（2）向量表示法,復(fù)數(shù)的模(或絕對值),,8,模的性質(zhì),三角不等式,復(fù)數(shù)的輻角,,,9,輻角的主值,,10,（3）三角表示法,,11,補(bǔ)充：歐拉公式的證明,設(shè),可以證明級數(shù),在整個(gè)復(fù)數(shù)范圍是絕對收斂的,定義它的和函數(shù)為,z為純虛數(shù)iy時(shí),12,（二）無限遠(yuǎn)點(diǎn),復(fù)平面上有些個(gè)點(diǎn)比較特殊，比如：零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。 (1)復(fù)數(shù)零的幅角無意義，模為0。 (2)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的模為，幅角沒有意義。關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的定義需要借助測地投影法。,復(fù)球面,復(fù)平面的無限遠(yuǎn)處看成一個(gè)“點(diǎn)”無限遠(yuǎn)點(diǎn) 包括有無限遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)數(shù)平面稱為擴(kuò)充了

3、的復(fù)平面,實(shí)數(shù)： (-,+) -,+,模有限的復(fù)數(shù)跟復(fù)平面上的有限遠(yuǎn)點(diǎn)一一對應(yīng) 模為無限大的復(fù)數(shù)也跟復(fù)平面上一點(diǎn)對應(yīng)（無限遠(yuǎn)點(diǎn)）,13,如圖，一球的南極與復(fù)數(shù)平面的原點(diǎn)相切，平面上任意點(diǎn) A 與球的北極由一條直線相連，直線與球相交于 A 。由此，每一有限的復(fù)數(shù) 投影到球上一點(diǎn) 。這個(gè)投影叫測地投影，這個(gè)球叫復(fù)數(shù)球。,所有的無窮大復(fù)數(shù)（平面上無限遠(yuǎn)點(diǎn)）投影到唯一的北極 N。故我們?yōu)榉奖悖瑢o窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作一個(gè)點(diǎn)。其模無窮大，幅角無意義。,無窮遠(yuǎn)點(diǎn),14,設(shè)z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是兩個(gè)復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)加減法滿足平行四邊形法則，或三角形法則,（三）復(fù)數(shù)的運(yùn)算,交換律、結(jié)合律、分配律成立,15

4、,乘法運(yùn)算,兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相乘，幅角相加,除法運(yùn)算,兩個(gè)復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除，幅角相減,16,乘方（n整數(shù)）,開方（n整數(shù)）,17,逼近,實(shí)變數(shù)極限相關(guān)定理完全適用于復(fù)數(shù)。,18,,例：討論式子 在復(fù)平面上的意義,解：,,,為,圓上各點(diǎn),19,,例：計(jì)算,解：,,令,,20,21,,例：計(jì)算,解：,,,令,22,,,23,,,,24,25,,1.2 復(fù)變函數(shù),（一）、復(fù)變函數(shù)的定義,對于復(fù)變集合E中的每一復(fù)數(shù),有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)值,w稱為的z復(fù)變函數(shù),z稱為w的宗量,,26,（二）、區(qū)域概念,由,確定的平面點(diǎn)集，稱為定點(diǎn)z0的鄰域,（1）、鄰域,（2）、內(nèi)點(diǎn),定點(diǎn)z0的鄰域

5、全含于點(diǎn)集E內(nèi)，稱z0為點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn),（3）、外點(diǎn),定點(diǎn)z0及其鄰域不含于點(diǎn)集E內(nèi)，稱z0為點(diǎn)集E的外點(diǎn),（4）、鏡界點(diǎn),定點(diǎn)z0的鄰域既有含于E內(nèi)，又有不含于E內(nèi)的點(diǎn)，稱z0為點(diǎn)集E的鏡界點(diǎn)。,,,內(nèi)點(diǎn),鏡界點(diǎn),外點(diǎn),27,,,內(nèi)點(diǎn),鏡界點(diǎn),外點(diǎn),（5）、區(qū)域,A）全由內(nèi)點(diǎn)組成,B）具連通性：點(diǎn)集中任何兩點(diǎn)都可以用一條折線連接，且折線上的點(diǎn)屬于該點(diǎn)集。,（6）、閉區(qū)域,區(qū)域連同它的邊界稱為閉區(qū)域，如,表示以原點(diǎn)為圓心半徑為1的閉區(qū)域,（7）、單連通與復(fù)連通區(qū)域,單連通區(qū)域：區(qū)域內(nèi)任意閉曲線，其內(nèi)點(diǎn)都屬于該區(qū)域,,,,28,多項(xiàng)式,有理分式,根式,指數(shù)函數(shù),三角函數(shù),雙曲函數(shù),對數(shù)函數(shù),冪函數(shù)

6、,(三) 復(fù)變函數(shù)例,實(shí)周期2,純虛數(shù)周期2i,純虛數(shù)周期2i,29,, 三角函數(shù),實(shí)數(shù)周期 2； (2) 當(dāng) (3) 同樣有公式,?？梢源笥?,30,具純虛數(shù)周期 ， 而對應(yīng)的實(shí)函數(shù)為非周期函數(shù),為無窮多值的多值函數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)的對數(shù)仍有意義,,,指數(shù)函數(shù),雙曲函數(shù),對數(shù)函數(shù),31,,一般冪函數(shù),32,例：求方程 sinz=2,解：,設(shè),,33,,,,,,,兩種情況：,,,,34,,,,,或,由于,35,（四）、極限與連續(xù)性,設(shè)w=f(z)在z0點(diǎn)的某鄰域有定義,對于0，存在0,使,有,稱z -- z0時(shí)w0為極限，計(jì)為,注意：z在全平面，z -- z0須以任意方式,若有,稱f(z)在z0點(diǎn)

7、連續(xù),,36,復(fù)變函數(shù)論（theory of complex functions）： 研究自變量是復(fù)數(shù)的函數(shù)的基本理論及應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，主要研究對象是解析函數(shù)。,復(fù)數(shù)函數(shù)發(fā)展簡史,早在16世紀(jì)，一元二次、一元三次代數(shù)方程求解時(shí)就引入了虛數(shù)的基本思想，給出了虛數(shù)的符號和運(yùn)算法則。,1,復(fù)數(shù)起源于代數(shù)方程求根,意大利的卡丹諾（G.Cardano,1501-1576）在解三次方程時(shí)首先產(chǎn)生了負(fù)數(shù)開平方的思想。如,但，由于 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義，在很長時(shí)間內(nèi)，直到19世紀(jì)中葉，這類數(shù)仍然是不合法的。,法國的笛卡爾（R.Descartes,1596-1690）稱其為虛數(shù)(“虛幻數(shù)” imaginary

8、 number),37,2,Bernoulli和Leibniz的爭論 17121713,Bernoulli：負(fù)數(shù)的對數(shù)是實(shí)數(shù),Leibniz ：不可能有負(fù)數(shù)的對數(shù),只對正數(shù)成立,3,Euler 在1747年對這場爭論作了中肯的分析,差一常數(shù),1740年，Euler 給Bernoulli的信中說：,和,是同一個(gè)微分方程的解，因此應(yīng)該相等,1743年，發(fā)表了Euler公式,38,Euler 認(rèn)為復(fù)數(shù)僅在想象中存在，1777年，Euler采用 i 代表,5,十九世紀(jì)，有三位代表性人物： 柯西(Cauchy，17891857) 維爾斯特拉斯(Weierstrass，18151897) 黎曼(Rieman，18261866),經(jīng)過他們的不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)論,4,復(fù)數(shù)真正被接受主要?dú)w功于德國數(shù)學(xué)家高斯(C.F.Gauss,1777-1855), 1799年，他把復(fù)數(shù)的思想融入到對代數(shù)學(xué)基本定理的證明中。,