2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練專題04一次函數(shù)含解析
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1、專題04 一次函數(shù) 必考點1 函數(shù)及其定義域(自變量取值范圍) 函數(shù)的定義:一般的,在一個變化過程中,如果有兩個變量x和y,并且對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與其對應(yīng),那么我們就把x稱為自變量,把y稱為因變量,y是x的函數(shù)。 *判斷Y是否為X的函數(shù),只要看X取值確定的時候,Y是否有唯一確定的值與之對應(yīng) 確定函數(shù)定義域的方法: (1)關(guān)系式為整式時,函數(shù)定義域為全體實數(shù); (2)關(guān)系式含有分式時,分式的分母不等于零; (3)關(guān)系式含有二次根式時,被開放方數(shù)大于等于零; (4)關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時,底數(shù)不等于零; (5)實際問題中,函
2、數(shù)定義域還要和實際情況相符合,使之有意義。 【典例1】(2019·四川中考真題)在函數(shù)中,自變量x的取值范圍是( ?。? A. B.且 C. D.且 【答案】D 【解析】 由題意得,,,解得,且,故選:D. 【點睛】 此題考查函數(shù)自變量的取值范圍,解題關(guān)鍵在于掌握其定義 【舉一反三】 1. (2019·四川中考真題)函數(shù)的自變量的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 根據(jù)題意得:, 解得, 故選D. 2. (2019·四川中考真題)函數(shù)自變量x的取值范圍是 _____. 【答案】x≥1且x≠3 【解析】 根據(jù)題意得:,解得x≥1
3、,且x≠3,即:自變量x取值范圍是x≥1且x≠3.故答案為x≥1且x≠3. 考點:函數(shù)自變量的取值范圍;分式有意義的條件;二次根式有意義的條件. 必考點2 一次函數(shù)的圖像和性質(zhì) 一次函數(shù)的定義:一般地,形如y=kx+b(k,b是常數(shù),k≠0),那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時,y=kx+b即y=kx,所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù). 必過點:(0,b)和(-,0) b>0 b<0 b=0 k>0 經(jīng)過第一、二、三象限 經(jīng)過第一、三、四象限 經(jīng)過第一、三象限 圖象從左到右上升,y隨x的增大而增大 k<0 經(jīng)過第一、二、四象限 經(jīng)過
4、第二、三、四象限 經(jīng)過第二、四象限 圖象從左到右下降,y隨x的增大而減小 直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系 (1)兩直線平行:k1=k2且b1 b2 (2)兩直線相交:k1k2 (3)兩直線重合:k1=k2且b1=b2 (4)兩直線垂直: 【典例2】(2019·四川中考真題)一次函數(shù)的圖像經(jīng)過的象限是( ) A.一、二、三 B.二、三、四 C.一、三、四 D.一、二、四 【答案】C 【解析】 解:∵一次函數(shù), ∴該函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限, 故選:C. 【點睛】 本題考查一次函數(shù)的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用一次函數(shù)的性
5、質(zhì)解答. 【舉一反三】 1. (2019·浙江中考真題)若三點,,在同一直線上,則的值等于( ) A.-1 B.0 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 設(shè)經(jīng)過(1,4),(2,7)兩點的直線解析式為y=kx+b, ∴ ∴, ∴y=3x+1, 將點(a,10)代入解析式,則a=3; 故選C. 【點睛】 本題考查一次函數(shù)上點的特點;熟練待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵. 2. (2019·黑龍江中考真題)正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的函數(shù)值y隨著x增大而減小,則一次函數(shù)y=x+k的圖象大致是( ) A.B.C. D. 【答案】A 【解析】 解:∵正比
6、例函數(shù)y=kx(k≠0)的函數(shù)值y隨x的增大而減小, ∴k<0, ∵一次函數(shù)y=x+k的一次項系數(shù)大于0,常數(shù)項小于0, ∴一次函數(shù)y=x+k的圖象經(jīng)過第一、三象限,且與y軸的負(fù)半軸相交. 故選:A. 【點睛】 本題考查了一次函數(shù)圖象:一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù),k≠0)是一條直線,當(dāng)k>0,圖象經(jīng)過第一、三象限,y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0,圖象經(jīng)過第二、四象限,y隨x的增大而減??;圖象與y軸的交點坐標(biāo)為(0,b). 3. (2019·山東中考真題)下列關(guān)于一次函數(shù)的說法,錯誤的是( ) A.圖象經(jīng)過第一、二、四象限 B.隨的增大而減小 C.圖象與軸交于點
7、D.當(dāng)時, 【答案】D 【解析】 ∵, ∴圖象經(jīng)過第一、二、四象限, A正確; ∵, ∴隨的增大而減小, B正確; 令時,, ∴圖象與軸的交點為, ∴C正確; 令時,, 當(dāng)時,; D不正確; 故選:D. 【點睛】 本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì);熟練掌握一次函數(shù)解析式中,與對函數(shù)圖象的影響是解題的關(guān)鍵. 必考點3 一次函數(shù)與方程、不等式 一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系 任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a,b為常數(shù),a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為:當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時,求相應(yīng)的自變量的值. 從圖象上看,相當(dāng)于已知直線y=ax+
8、b確定它與x軸的交點的橫坐標(biāo)的值. 一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系 任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0(a,b為常數(shù),a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:當(dāng)一次函數(shù)值大(?。┯?時,求自變量的取值范圍. 一次函數(shù)與二元一次方程組 (1)以二元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點組成的圖象與一次函數(shù)y=的圖象相同. (2)二元一次方程組的解可以看作是兩個一次函數(shù)y=和y=的圖象交點. 【典例3】(2019·貴州中考真題)如圖所示,直線l1:yx+6與直線l2:yx﹣2交于點P(﹣2,3),不等式x+6x﹣2的解集是( ?。? A.x>﹣
9、2 B.x≥﹣2 C.x<﹣2 D.x≤﹣2 【答案】A 【解析】 當(dāng)x>﹣2時,x+6x﹣2, 所以不等式x+6x﹣2的解集是x>﹣2. 故選:A. 【點睛】 本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式:從函數(shù)的角度看,就是尋求使一次函數(shù)y=kx+b的值大于(或小于)0的自變量x的取值范圍;從函數(shù)圖象的角度看,就是確定直線y=kx+b在x軸上(或下)方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合. 【舉一反三】 1.(2019·湖南中考真題)如圖,直線和與x軸分別交于點,點,則解集為( ) A. B. C.或 D. 【答案】D 【解析】∵直線和與x軸分別交于點,點, ∴解
10、集為, 故選:D. 【點睛】 本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的知識,解題的關(guān)鍵是能夠結(jié)合圖象作出判斷,難度不大. 2. (2019·安徽初二期中)用圖象法解某二元一次方程組時,在同一直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象(如圖所示),則所解的二元一次方程組是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解:根據(jù)給出的圖象上的點的坐標(biāo),(0,-1)、(1,1)、(0,2);分別求出圖中兩條直線的解析式為y=2x-1,y=-x+2,因此所解的二元一次方程組是故選D。 3. (2019·遼寧中考真題)如圖,若一次函數(shù)y=﹣2x+b的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于A
11、,B兩點,點A的坐標(biāo)為(0,3),則不等式﹣2x+b>0的解集為( ?。? A.x> B.x< C.x>3 D.x<3 【答案】B 【解析】 解:∵一次函數(shù)y=﹣2x+b的圖象交y軸于點A(0,3), ∴b=3, 令y=﹣2x+3中y=0,則﹣2x+3=0,解得:x=, ∴點B(,0). 觀察函數(shù)圖象,發(fā)現(xiàn): 當(dāng)x<時,一次函數(shù)圖象在x軸上方, ∴不等式﹣2x+b>0的解集為x<. 故選:B. 【點睛】 本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式,解題的關(guān)鍵是找出交點B的坐標(biāo).本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時,根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系解不等式是關(guān)鍵.
12、必考點4 一次函數(shù)的實際應(yīng)用 【典例4】(2019·湖南中考真題)某生態(tài)體驗園推出了甲、乙兩種消費卡,設(shè)入園次數(shù)為x時所需費用為y元,選擇這兩種卡消費時,y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示,解答下列問題 (1)分別求出選擇這兩種卡消費時,y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式; (2)請根據(jù)入園次數(shù)確定選擇哪種卡消費比較合算. 【答案】(1), (2)見解析 【解析】 【分析】 (1)運用待定系數(shù)法,即可求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式; (2)解方程或不等式即可解決問題,分三種情形回答即可. 【詳解】 (1)設(shè),根據(jù)題意得, 解得, ∴; 設(shè),根據(jù)題意得: , 解得, ∴;
13、 (2)①,即,解得,當(dāng)入園次數(shù)小于10次時,選擇甲消費卡比較合算; ②,即,解得,當(dāng)入園次數(shù)等于10次時,選擇兩種消費卡費用一樣; ③,即,解得,當(dāng)入園次數(shù)大于10次時,選擇乙消費卡比較合算. 【點睛】 此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、學(xué)會利用方程組求兩個函數(shù)圖象的解得坐標(biāo),正確由圖象得出正確信息是解題關(guān)鍵,屬于中考??碱}型. 【舉一反三】 1. (2019·上海中考真題)在登山過程中,海拔每升高1千米,氣溫下降6℃,已知某登山大本營所在的位置的氣溫是2℃,登山隊員從大本營出發(fā)登山,當(dāng)海拔升高x千米時,所在位置的氣溫是y℃,那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式是______. 【答案】y=
14、-6x+2 【解析】 根據(jù)題意得y=-6x+2 故答案為:y=-6x+2 【點睛】 此題考查一次函數(shù)的解析式,解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意列出方程組 2. (2019·浙江中考真題)元朝朱世杰的《算學(xué)啟蒙》一書記載:“今有良馬日行二百四十里,駑馬日行一百五十里,駑馬先行一十二日,問良馬幾何日追及之.”如圖是兩匹馬行走路s關(guān)于行走的時間t和函數(shù)圖象,則兩圖象交點P的坐標(biāo)是_____. 【答案】(32,4800) 【解析】 由題意可得,150t=240(t﹣12), 解得,t=32, 則150t=150×32=4800, ∴點P的坐標(biāo)為(32,4800), 故答案為:(3
15、2,4800). 【點睛】 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)題意列出方程150t=240(t﹣12)是解決問題的關(guān)鍵. 3. (2019·四川中考真題)為了節(jié)能減排,我市某校準(zhǔn)備購買某種品牌的節(jié)能燈,已知3只A型節(jié)能燈和5只B型節(jié)能燈共需50元,2只A型節(jié)能燈和3只B型節(jié)能燈共需31元. (1)求1只A型節(jié)能燈和1只B型節(jié)能燈的售價各是多少元? (2)學(xué)校準(zhǔn)備購買這兩種型號的節(jié)能燈共200只,要求A型節(jié)能燈的數(shù)量不超過B型節(jié)能燈的數(shù)量的3倍,請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由. 【答案】(1)1只A型節(jié)能燈的售價是5元,1只B型節(jié)能燈的售價是7元;(2)當(dāng)購買A型號節(jié)能燈150
16、只,B型號節(jié)能燈50只時最省錢,見解析. 【解析】 解:(1)設(shè)1只A型節(jié)能燈的售價是x元,1只B型節(jié)能燈的售價是y元, ,解得,, 答:1只A型節(jié)能燈的售價是5元,1只B型節(jié)能燈的售價是7元; (2)設(shè)購買A型號的節(jié)能燈a只,則購買B型號的節(jié)能燈只,費用為w元, ∴當(dāng)時,w取得最小值,此時 答:當(dāng)購買A型號節(jié)能燈150只,B型號節(jié)能燈50只時最省錢. 【點睛】 本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答. 1. (2019·上海中考真題)下列函數(shù)中,函數(shù)值隨自變
17、量x的值增大而增大的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 、該函數(shù)圖象是直線,位于第一、三象限,隨增大而增大,故本選項正確; 、該函數(shù)圖象是直線,位于第二、四象限,隨增大而減小,故本選項錯誤; 、該函數(shù)圖象是雙曲線,位于第一、三象限,在每一象限內(nèi),隨增大而減小,故本選項錯誤; 、該函數(shù)圖象是雙曲線,位于第二、四象限,在每一象限內(nèi),隨增大而增大,故本選項錯誤. 故選:. 【點睛】 本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的增減性;熟練掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵. 2. (2019·海南中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點,點,平移線段AB,使點
18、A落在點處,則點B的對應(yīng)點的坐標(biāo)為( ?。? A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解:由點平移后可得坐標(biāo)的變化規(guī)律是:左移4個單位,上移1個單位, 點B的對應(yīng)點的坐標(biāo). 故選:C. 【點睛】 本題運用了點的平移的坐標(biāo)變化規(guī)律,解題關(guān)鍵得出點B的對應(yīng)點的坐標(biāo). 3. (2019·廣西中考真題)直線向下平移2個單位,所得直線的解析式是( ?。? A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解:直線向下平移2個單位,所得直線的解析式是:. 故選:D. 【點睛】 考核知識點:一次函數(shù)圖象的平移.理解平移性質(zhì)是關(guān)鍵. 4. (2019·江蘇中考真題)若一次函
19、數(shù)(為常數(shù),且)的圖象經(jīng)過點,,則不等式的解為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如下圖圖象,易得時, 故選D 【點睛】 本題考查一次函數(shù)與不等式的關(guān)系,本題關(guān)鍵在于利用畫出圖像,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題 5.(2019·湖南初二期末)如圖,一次函數(shù)y=k1x+b1的圖象l1與y=k2x+b2的圖象l2相交于點P,則方程組的解是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根據(jù)圖象求出交點P的坐標(biāo),根據(jù)點P的坐標(biāo)即可得出答案: ∵由圖象可知:一次函數(shù)y=k1x+b1的圖象l1與y=k2x+b2的圖象l2的交點P的坐標(biāo)是(﹣2,3),
20、 ∴方程組的解是.故選A. 6.(2019·四川中考真題)如圖,一束光線從點出發(fā),經(jīng)軸上的點反射后經(jīng)過點,則點的坐標(biāo)是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如圖所示,延長交軸于點.設(shè) ∵這束光線從點出發(fā),經(jīng)軸上的點反射后經(jīng)過點, ∴由反射定律可知,, ∵∠1=∠OCD, ∴, ∵于, ∴=90°, 在和中, ∴, ∴, ∴, 設(shè)直線的解析式為, ∴將點,點代入得:, 解得:, ∴直線的解析式為:, ∴點坐標(biāo)為. 故選B. 【點睛】 本題考查了反射定律、全等三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識點,綜合性較
21、強,難度略大. 7. (2019·山東中考真題)某快遞公司每天上午9:00~10:00為集中攬件和派件時段,甲倉庫用來攬收快件,乙倉庫用來派發(fā)快件,該時段內(nèi)甲,乙兩倉庫的快件數(shù)量(件)與時間(分)之間的函數(shù)圖象如圖所示,那么當(dāng)兩倉庫快遞件數(shù)相同時,此刻的時間為( ) A.9:15 B.9:20 C.9:25 D.9:30 【答案】B 【解析】 設(shè)甲倉庫的快件數(shù)量y(件)與時間x(分)之間的函數(shù)關(guān)系式為:y1=k1x+40,根據(jù)題意得60k1+40=400,解得k1=6, ∴y1=6x+40; 設(shè)乙倉庫的快件數(shù)量y(件)與時間x(分)之間的函數(shù)關(guān)系式為:y2=k2x+240,
22、根據(jù)題意得60k2+240=0,解得k2=-4, ∴y2=-4x+240, 聯(lián)立,解得, ∴此刻的時間為9:20. 故選B. 【點睛】 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵:(1)熟練運用待定系數(shù)法就解析式;(2)解決該類問題應(yīng)結(jié)合圖形,理解圖形中點的坐標(biāo)代表的意義. 8. (2019·遼寧中考真題)一條公路旁依次有三個村莊,甲乙兩人騎自行車分別從村、村同時出發(fā)前往村,甲乙之間的距離與騎行時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,下列結(jié)論:①兩村相距10;②出發(fā)1.25后兩人相遇;③甲每小時比乙多騎行8;④相遇后,乙又騎行了15或65時兩人相距2.其中正確的個數(shù)是( ) A.1個 B.
23、2個 C.3個 D.4個 【答案】D 【解析】 解: 由圖象可知村、村相離10,故①正確, 當(dāng)1.25時,甲、乙相距為0,故在此時相遇,故②正確, 當(dāng)時,易得一次函數(shù)的解析式為,故甲的速度比乙的速度快8.故③正確 當(dāng)時,函數(shù)圖象經(jīng)過點設(shè)一次函數(shù)的解析式為 代入得,解得 ∴ 當(dāng)時.得,解得 由 同理當(dāng)時,設(shè)函數(shù)解析式為 將點代入得 ,解得 ∴ 當(dāng)時,得,解得 由 故相遇后,乙又騎行了15或65時兩人相距2,④正確. 故選:D. 【點睛】 此題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)的圖像與應(yīng)用. 9. (2019·山東中考真題)當(dāng)直線經(jīng)過第二、
24、三、四象限時,則的取值范圍是_____. 【答案】. 【解析】 經(jīng)過第二、三、四象限, ∴,, ∴,, ∴, 故答案為:. 【點睛】 本題考查一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;掌握一次函數(shù),與對函數(shù)圖象的影響是解題的關(guān)鍵. 10. (2019·天津中考真題)直線與軸交點坐標(biāo)為_____________. 【答案】 【解析】 解:∵當(dāng)y=0時,2x-1=0 ∴x= ∴直線與軸交點坐標(biāo)為: 故答案為: 【點睛】 本題考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì),明確當(dāng)y=0時的x的值即為直線與x軸交點的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵 11. (2019·廣西中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,由
25、繞點順時針旋轉(zhuǎn)而得,則所在直線的解析式是___. 【答案】. 【解析】 解:∵ ∴ 過點作軸于點, ∴∠BOA=∠ADC=90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAO+∠CAD=90°. ∵∠ABO+∠BAO=90°, ∴∠CAD=∠ABO. ∵AB=AC, ?∴. ∴ ∴ 設(shè)直線的解析式為,將點,點坐標(biāo)代入得 ∴ ∴直線的解析式為. 故答案為:. 【點睛】 本題是幾何圖形旋轉(zhuǎn)與待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的綜合題,難度中等. 12. (2019·黑龍江中考真題)甲、乙兩地間的直線公路長為千米.一輛轎車和一輛貨車分別沿該公路從甲、乙兩地以各自
26、的速度勻速相向而行,貨車比轎車早出發(fā)小時,途中轎車出現(xiàn)了故障,停下維修,貨車仍繼續(xù)行駛.小時后轎車故障被排除,此時接到通知,轎車立刻掉頭按原路原速返回甲地(接到通知及掉頭時間不計).最后兩車同時到達(dá)甲地,已知兩車距各自出發(fā)地的距離(千米)與轎車所用的時間(小時)的關(guān)系如圖所示,請結(jié)合圖象解答下列問題: (1)貨車的速度是_______千米/小時;轎車的速度是_______千米/小時;值為_______. (2)求轎車距其出發(fā)地的距離(千米)與所用時間(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量的取值范圍; (3)請直接寫出貨車出發(fā)多長時間兩車相距千米. 【答案】(1);;(2)(3)貨車出
27、發(fā)小時或小時后兩車相距千米 【解析】 解:(1)車的速度是千米/小時;轎車的速度是:千米/小時;. 故答案為:;;; (2)由題意可知:,,, 設(shè)直線的解析式為, , 當(dāng)時,, 設(shè)直線的解析式為, 把,代入得: ,解得, , ; (3)設(shè)貨車出發(fā)小時后兩車相距千米,根據(jù)題意得: 或, 解得或. 答:貨車出發(fā)小時或小時后兩車相距千米. 【點睛】 本題主要考查根據(jù)圖象的信息來解答問題,關(guān)鍵在于函數(shù)的解析式的解答,這是這類題的一個難度,必須分段研究. 13. (2019·河南中考真題)學(xué)校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品.已知購買3個A獎品和2個B獎品共需
28、120元;購買5個A獎品和4個B獎品共需210元. (1)求A,B兩種獎品的單價; (2)學(xué)校準(zhǔn)備購買A,B兩種獎品共30個,且A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的.請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由. 【答案】(1)A的單價30元,B的單價15元(2)購買A獎品8個,購買B獎品22個,花費最少 【解析】 解:(1)設(shè)A的單價為x元,B的單價為y元, 根據(jù)題意,得 , , A的單價30元,B的單價15元; (2)設(shè)購買A獎品z個,則購買B獎品為個,購買獎品的花費為W元, 由題意可知,, , , 當(dāng)時,W有最小值為570元, 即購買A獎品8個,購買B獎品22個,花費最少; 【點睛】 本題考查二元一次方程組的應(yīng)用,一次函數(shù)的應(yīng)用;能夠根據(jù)條件列出方程組,將最優(yōu)方案轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)性質(zhì)解題是關(guān)鍵.
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