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第二十七講 加法原理和乘法原理的綜合應(yīng)用

上傳人:仙*** 文檔編號(hào):146749041 上傳時(shí)間:2022-08-31 格式:DOC 頁(yè)數(shù):6 大小:115.50KB
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1、小學(xué)四年級(jí)奧數(shù) 第二十七講 加法原理和乘法原理的綜合應(yīng)用 溫馨提示 運(yùn)用加法原理計(jì)數(shù),關(guān)鍵在于合理分類(lèi),不重不漏。要求每一類(lèi)中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù);兩類(lèi)不同辦法中的具體方法,互不相同(即分類(lèi)不重);完成此任務(wù)的任何一種方法,都屬于某一類(lèi)(即分類(lèi)不漏)。合理分類(lèi)也是運(yùn)用加法原理解決問(wèn)題的難點(diǎn),不同的問(wèn)題,分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)往往不同,需要積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)。 運(yùn)用乘法原理計(jì)數(shù),關(guān)鍵在于合理分步。完成這件工作的N個(gè)步驟,各個(gè)步驟之間是相互聯(lián)系的,任何一步的一種方法都不能完成此工作,必須連續(xù)完成這N步才能完成此工作;各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立;只要有一步中所

2、采取的方法不同,則對(duì)應(yīng)的完成此工作的方法也不同。 運(yùn)用兩個(gè)原理解決的都是比較復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題,在解題時(shí)要細(xì)心、耐心、有條理地分析問(wèn)題。計(jì)數(shù)時(shí)要注意區(qū)分是分類(lèi)問(wèn)題還是分步問(wèn)題,正確運(yùn)用兩個(gè)原理。靈活機(jī)動(dòng)地分層重復(fù)使用或綜合運(yùn)用兩個(gè)原理,可以巧妙解決很多復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題。 例題精講 【例1】用1角、2角和5角的三種人民幣(每種的張數(shù)沒(méi)有限制)組成1元錢(qián),有多少種方法? 思路點(diǎn)撥:運(yùn)用加法原理,把組成方法分成三大類(lèi): ①只取一種人民幣組成1元,有3種方法:10張1角;5張2角;2張5角。 ②取兩種人民幣組成1元,有5種方法:1張5角和5張1角;一張2角和8張1角;2張2角和6張1角;3張

3、2角和4張1角;4張2角和2張1角。 ③取三種人民幣組成1元,有2種方法:1張5角、1張2角和3張1角的;1張5角、2張2角和1張1角的。 所以共有組成方法:3+5+2=10(種)。 【例2】各數(shù)位的數(shù)字之和是24的三位數(shù)共有多少個(gè)?   思路點(diǎn)撥:一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字,最大只能是9,24可分拆為:24=9+9+7; 24=9+8+7;24=8+8+8。運(yùn)用加法原理,把組成的三位數(shù)分為三大類(lèi): ① 9、9、7三個(gè)數(shù)字可組成3個(gè)三位數(shù):997、979、799; ②由9、8、7三個(gè)數(shù)字可組成6個(gè)三位數(shù):987、978、897、879、798、789; ③由8、8、8三個(gè)數(shù)字可組成1

4、個(gè)三位數(shù):888。 所以組成三位數(shù)共有:3+6+1=10(個(gè))。 【例3】下圖中共有16個(gè)方格,要把A,B,C,D四個(gè)不同的棋子放在方格里,并使每行每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子,問(wèn)共有多少種不同的放法? 思路點(diǎn)撥:從運(yùn)用乘法原理,把放棋子的過(guò)程分為三個(gè)步驟: 第一步:放棋子A。棋子A可以任意放,有16種放法。(如下圖一) 第二步:放棋子B。棋子B不能放在棋子A所在的行或列,對(duì)應(yīng)棋子A的每一種放法,棋子B都可以放在剩下的9個(gè)方格的任意一格里,有9種放法。(如下圖二) 第三步:放棋子C。棋子C不能放在棋子A、B所在的行或列,對(duì)應(yīng)前面的每一種放法,棋子C可以放在剩下的4個(gè)方格的任意一格里,有4種

5、放法。(如下圖三) 第四步:放棋子D。棋子D不能放在棋子A、B、C所在的行或列,對(duì)應(yīng)前面的每一種放法,棋子D都只有1種放法。(如下圖四) 所以,四顆棋子共有不同的放法:16×9×4×1=576(種) 【例4】2003年12月6日0時(shí)起,南京市電話號(hào)碼從7位升至8位。由于特殊需要,電信部門(mén)一直有這樣的規(guī)定:普通市內(nèi)電話號(hào)碼的首位數(shù)字不使用0,1,9。升位前南京市普通電話號(hào)碼的容量為多少門(mén)?升位后,南京市內(nèi)電話號(hào)碼的容量增加了多少門(mén)? 思路點(diǎn)撥:從電話號(hào)碼由0~9共10個(gè)數(shù)字組成,數(shù)字可以重復(fù)使用。 升位前的7位電話號(hào)碼,首位數(shù)字不使用0,1,9,共有7種不同的選擇,第二、三、四、五

6、、六、七位數(shù)字都有10種不同選擇。總?cè)萘繛椋? 7×10×10×10×10×10×10=7000000(門(mén))。 同理可算出,升位后8位電話號(hào)碼總?cè)萘繛椋? 7×10×10×10×10×10×10×10=70000000(門(mén))。 升位后,南京市內(nèi)電話號(hào)碼的容量增加了: 70000000-7000000=6300000(門(mén))。 【例5】如下圖,用紅、綠、藍(lán)、黃四種顏色涂編號(hào)為1,2,3,4的長(zhǎng)方形,使任何相鄰的兩個(gè)長(zhǎng)方形的顏色都不同。一共有多少種不同的涂法? 思路點(diǎn)撥:涂色的過(guò)程可以分為三步。 第一步:給1號(hào)長(zhǎng)方形涂色,有4種涂法??梢赃x任意一種顏色。 第二步:給2號(hào)長(zhǎng)方形涂色,有3

7、種涂法。對(duì)于1號(hào)長(zhǎng)方形每種不同的涂法,2號(hào)長(zhǎng)方形都可以在剩下的3種顏色里選任意一種,即有3種涂法。 所以,前兩步1號(hào)和2號(hào)長(zhǎng)方形共有配色方案4個(gè)3種:4×3=12(種)。 第三步:給3號(hào)、4號(hào)長(zhǎng)方形涂色。 3號(hào)長(zhǎng)方形與1號(hào)相鄰,與2號(hào)不相鄰,對(duì)于1、2號(hào)長(zhǎng)方形的每一種配色方案,3號(hào)長(zhǎng)方形都可以選與1號(hào)不同的3種顏色,按3號(hào)長(zhǎng)方形的涂色情況,可把本題的涂法分為兩大類(lèi): 第一大類(lèi),3號(hào)長(zhǎng)方形選與2號(hào)相同的顏色。 3號(hào)長(zhǎng)方形只有一種涂法,這時(shí)4號(hào)長(zhǎng)方形可以選與2號(hào)不同的3種顏色,有3種涂法。 第一類(lèi)共有不同涂法:12×1×3=36(種)。 第二類(lèi),3號(hào)長(zhǎng)方形選與1、2號(hào)都不同的顏色。

8、 3號(hào)長(zhǎng)方形有2種涂法,這時(shí)4號(hào)長(zhǎng)方形可以選剩下的與2號(hào)、3號(hào)不同的2種顏色,有2種涂法。 第二類(lèi)共有不同涂法:12×2×2=48(種)。 所以,這題一共有不同的涂法:36+48=84(種)。 【例6】如下圖,要從A點(diǎn)沿線段走到B點(diǎn),要求每一步都是向右、向上或向斜上方,問(wèn)有多少種不同的走法? 思路點(diǎn)撥:如下圖,先用字母標(biāo)出圖中的每一個(gè)點(diǎn),沿右上方向從點(diǎn)A到點(diǎn)B可以分為多步走,而每一步的走法又可以分為幾類(lèi),比較復(fù)雜,需要重復(fù)綜合使用加法原理和乘法原理。 上圖中,從右上往左下逐步分析: 因?yàn)槊恳徊蕉际窍蛴?、向上或向斜上方,因此每個(gè)點(diǎn)只能經(jīng)過(guò)它左、下或左下方的點(diǎn)到達(dá)。

9、 最后一步到達(dá)點(diǎn)B的走法有兩類(lèi):由I到B或由J到B。A到B的不同走法種數(shù),就等于A到I的走法種數(shù)與A到L的走法種數(shù)之和。 此前一步,①到點(diǎn)I的走法有兩類(lèi):由F到I或由G到I,走法種數(shù)即A到F的走法種數(shù)與A到G的走法種數(shù)之和;②到點(diǎn)J的走法有三類(lèi):分別由I、G或H到J,走法種數(shù)即A到I的走法種數(shù)、A到G的走法種數(shù)與A到H的走法種數(shù)之和。 依次類(lèi)推…… 從左下到右上標(biāo)出點(diǎn)A到每個(gè)點(diǎn)的走法種數(shù),逐層解題: 第一層:從A到C、D、E三個(gè)點(diǎn)只能向右,都只有1種走法。 第二層:到F點(diǎn)有兩類(lèi)走法,分別由A、C到達(dá),每類(lèi)都只有一種走法,共2種走法;到G點(diǎn)有三類(lèi)走法,分別由F、C、D到達(dá),三類(lèi)走法種數(shù)

10、之和為4種;到H點(diǎn)有三類(lèi)走法,分別由G、D、E到達(dá),三類(lèi)走法種數(shù)之和為6種。 第三層:到I點(diǎn)有兩類(lèi)走法,分別由F、G到達(dá),兩類(lèi)走法種數(shù)之和為6種;到J點(diǎn)有三類(lèi)走法,分別由I、G、H到達(dá),三類(lèi)走法種數(shù)之和為16種。 最后一步到B點(diǎn)有兩類(lèi)走法,分別由I、J到達(dá),兩類(lèi)走法種數(shù)之和為22種。 所以,從A到B共有不同的走法22種。 按:類(lèi)似的復(fù)雜路線問(wèn)題,都可以用這種方法求解。 智慧挑戰(zhàn) 1.某人到食堂去買(mǎi)飯菜,食堂里有4種葷菜,3種蔬菜,2種湯。他要各買(mǎi)一樣,共有多少種不同的買(mǎi)法? 2.從5幅國(guó)畫(huà),3幅油畫(huà),2幅水彩畫(huà)中選取兩幅不同類(lèi)型的畫(huà)布置教室,問(wèn)有幾種不同的選法?

11、 3. “IMO”是“國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克”的縮寫(xiě),要求把這三個(gè)字母涂上三種不同的顏色,且每個(gè)字母只能涂一種顏色.現(xiàn)有五種不同顏色的筆,按上述要求能有多少種不同的涂色方法 4. 老師要求小剛在黑板上寫(xiě)出一個(gè)減法算式,要求被減數(shù)必須是三位數(shù),減數(shù)必須是兩位數(shù).請(qǐng)問(wèn)小剛共有多少種不同的寫(xiě)法 5. 書(shū)架上有三層書(shū),第一層放了15本小說(shuō),第二層放了10本漫畫(huà),第三層放了5本科普書(shū),并且這些書(shū)都各不相同.請(qǐng)問(wèn): (1)如果從所有的書(shū)中任取1本,共有多少種不同的取法? (2)如果從每一層中各任取1本,共有多少種不同的取法? (3)如果從中取出2本不同類(lèi)別的書(shū),共有多少種不同的取

12、法? 家庭驛站 1. 從甲地到乙地有3條路,從乙地到丙地有3條路,從甲地到丁地有2條路,從丁地到丙地有4條路.如果要求所走路線不能重復(fù),那么從甲地到丙地共有多少條不同的路線 ???????????? 2. 在下圖中,從A點(diǎn)沿線段走到B點(diǎn),每次只能向上或向右走一步,共有多少種不同走法? B A A 參考答案: 1.2×4×3=24(種).  2.15+10+6=31(種) 3. 5×4×3=60(種).  4. 900×90=81000(個(gè)). 5. (1)30種 (2)750種 (3)275種 1.17種不同走法 2.10種。

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