《（山東專版）2019版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 圖形的認(rèn)識 4.3 等腰三角形及直角三角形（試卷部分）課件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（山東專版）2019版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 圖形的認(rèn)識 4.3 等腰三角形及直角三角形（試卷部分）課件.ppt（91頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、4.3等腰三角形及直角三角形,中考數(shù)學(xué) (山東專用),A組20142018年山東中考題組 考點(diǎn)一等腰三角形,五年中考,1.(2017濱州,8,3分)如圖,在ABC中,AB=AC,D為BC上一點(diǎn),且DA=DC,BD=BA,則B的大小為() A.40B.36C.80D.25,答案B設(shè)B=x,因?yàn)锳B=AC,所以C=B=x,因?yàn)镈A=DC,所以DAC=C=x,所以BDA=C+DAC=2x,因?yàn)锽D=BA,所以BAD=BDA=2x, 所以BAC=3x, 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得x+x+3x=180, 解得x=36.所以B=36.,2.(2017淄博,16,4分)在邊長為4的等邊三角形ABC中,D為BC邊

2、上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)D分別作DEAB,DFAC,垂足分別為E,F,則DE+DF=.,答案2,解析連接AD,過點(diǎn)C作CGAB,垂足為G,則AG=BG=2. CG===2. SABD+SACD=SABC, ABDE+ACDF=ABCG, 4DE+4DF=4CG, DE+DF=CG=2.,3.(2018濱州,25,13分)已知,在ABC中,A=90,AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn). (1)如圖,若點(diǎn)E、F分別為AB、AC上的點(diǎn),且DEDF,求證:BE=AF; (2)若點(diǎn)E、F分別為AB、CA延長線上的點(diǎn),且DEDF,那么BE=AF嗎?請利用圖說明理由.,解析(1)證明:如圖1,連接AD,BAC=90,A

3、B=AC,D為BC的中點(diǎn),DEDF,BDA=EDF=90,BD=AD,B=DAC=45,BDE+EDA=EDA+ADF,BDE=ADF, BDEADF(ASA),BE=AF. (2)BE=AF.理由如下:如圖2,連接AD,易知BDA=EDF=90,BDE+BDF=BDF+ADF, BDE=ADF,又D為BC的中點(diǎn),ABC是等腰直角三角形,BD=AD,ABC=DAC=45,,EBD=FAD=180-45=135, BDEADF(ASA),BE=AF.,4.(2016淄博,22,8分)如圖,已知ABC,AD平分BAC交BC于點(diǎn)D,BC的中點(diǎn)為M,MEAD,交BA的延長線于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F. (1

4、)求證:AE=AF; (2)求證:BE=(AB+AC).,證明(1)AD平分BAC,BAD=CAD. ADEM, BAD=AEF,CAD=AFE. AEF=AFE.AE=AF. (2)過點(diǎn)C作CGEM,交BE的延長線于G. EFCG,G=AEF,ACG=AFE. AEF=AFE, G=ACG.AG=AC. BM=CM,EMCG,BE=EG. BE=BG=(BA+AG)=(AB+AC).,思路分析(1)欲證明AE=AF,只要證明AEF=AFE即可. (2)作CGEM,交BE的延長線于G,先證明AC=AG,再證明BE=EG即可解決問題.,5.(2017濟(jì)南,27,9分)某學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)過程中遇到了

5、下面問題:如圖1,在ABC和ADE中,ACB=AED=90,CAB=EAD=60,點(diǎn)E、A、C在一條直線上,F是BD的中點(diǎn),連接EF、CF,試判斷CEF的形狀并說明理由. 問題探究: (1)小婷同學(xué)的解題思路是,先探究CEF的兩條邊是否相等,如EF=CF,以下是她的解答過程:,,請結(jié)合以上的證明過程,解答下列兩個問題: 在圖1中畫出證明所構(gòu)造的輔助線; 在證明的括號中填寫理由(請?jiān)赟AS、ASA、AAS、SSS中選擇); (2)在(1)證明過程的基礎(chǔ)上,請你幫助小婷求出CEF的度數(shù),并判斷CEF的形狀; 問題拓展: (3)如圖2,當(dāng)ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)某個角度后,連接CE,延長DE交BC的延

6、長線于點(diǎn)P,其他條件不變,判斷CEF的形狀并說明理由.,解析(1)如圖: AAS. (2)設(shè)AE=a,AC=b,則DE=a,BC=b,CE=a+b. BGFDEF, BG=ED=a. CG=BC+BG=(a+b). 在RtECG中,由tanCEG==,得CEG=60.,又CF=EF, CEF是等邊三角形. (3)CEF是等邊三角形,理由如下: 取AD的中點(diǎn)M,連接ME、MF,如下圖: 點(diǎn)M是RtAED斜邊AD的中點(diǎn), EM=AM. 又EAD=60, AEM是等邊三角形.,AE=ME,AEM=60. 在RtABC中,易得ABC=30,AC=AB. 點(diǎn)M、F分別為AD、BD的中點(diǎn), MF=AB,M

7、FAB, FMA+MAB=180,且AC=MF, EAC=360-60-60-MAB=60+FMA=EMF. EACEMF(SAS). EF=EC,MEF=AEC, CEF=CEA+AEF=MEF+AEF=60. CEF是等邊三角形.,易錯警示本題易錯處有兩個:一是想不到利用三角函數(shù)求CEF的度數(shù),導(dǎo)致解第(2)問時陷入困境;二是求解最后一題時,不會構(gòu)造全等三角形,無法切入解題過程,導(dǎo)致望題興嘆,茫然不知所措.,方法規(guī)律(1)本題是幾何壓軸題,考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形的中位線性質(zhì)、利用特殊角的三角函數(shù)值求特殊角的度數(shù)等知識,并

8、通過閱讀材料這種課題學(xué)習(xí)的形式呈現(xiàn),較為新穎. (2)閱讀材料往往會為我們提供一些解題方法或給出解題暗示,要求在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行問題的解答,或在閱讀材料中提供一些操作方法,要求同學(xué)們?nèi)ツM并探究,或提供一個解題過程,這種題不僅考查了同學(xué)們的閱讀能力,而且還綜合考查了同學(xué)們的創(chuàng)新意識及轉(zhuǎn)化能力.,考點(diǎn)二直角三角形,1.(2018濱州,1,3分)在直角三角形中,若勾為3,股為4,則弦為() A.5B.6C.7D.8,答案A根據(jù)勾股定理直接求得弦為=5.,2.(2018棗莊,10,3分)如圖是由8個全等的小矩形組成的大正方形,線段AB的端點(diǎn)都在小矩形的頂點(diǎn)上,如果點(diǎn)P是某個小矩形的頂點(diǎn),連接PA,P

9、B,那么使ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個數(shù)是() A.2B.3C.4D.5,答案B如圖,設(shè)每個小矩形的長與寬分別為x、y,則有2x=x+2y,從而x=2y.因?yàn)榫€段AB是12的矩形對角線,所以根據(jù)網(wǎng)格作垂線可知,過點(diǎn)B與AB垂直且相等的線段有AP1和BP2,過點(diǎn)A與AB垂直且相等的線段有AP3,且P1,P2,P3都在頂點(diǎn)上,因此滿足題意的點(diǎn)P共有3個,故選B.,3.(2018淄博,11,4分)如圖,在RtABC中,CM平分ACB交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MNBC交AC于點(diǎn)N,且MN平分AMC.若AN=1,則BC的長為() A.4B.6C.4D.8,答案BMNBC,MN平分AMC,CM平分ACB,

10、AMN=NMC =NCM=BCM=B. 又A=90,AMN=B=30. MN=2AN=2=NC,AC=AN+NC=3, BC=2AC=6.,4.(2016東營,9,3分)在ABC中,AB=10,AC=2,BC邊上的高AD=6,則另一邊BC等于() A.10B.8C.6或10D.8或10,答案C由圖1可知,BD=8,CD=2,則BC=8+2=10; 由圖2可知,BD=8,CD=2,則BC=8-2=6.故選C.,思路分析根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形,然后利用勾股定理分別求出BC的長.,易錯警示解答本題易出現(xiàn)只考慮高在三角形內(nèi)部的情況,而忽視高在外部的情況而漏解.,5.(2018德州,15,4分)如圖,

11、OC為AOB的平分線,CMOB,OC=5,OM=4,則點(diǎn)C到射線OA的距離為 .,答案3,解析如圖,過點(diǎn)C作CNOA,垂足為N, OC平分AOB,CMOB,CN=CM. 在Rt中,CM===3,CN=3,即點(diǎn)C到射線OA的距離為3.,6.(2017青島,13,3分)如圖,在四邊形ABCD中,ABC=ADC=90,E為對角線AC的中點(diǎn),連接BE,ED,BD,若BAD=58,則EBD為度.,答案32,解析ABC=ADC=90,E為AC的中點(diǎn), AE=BE=DE,BAE=ABE,DAE=ADE. BED=BAE+ABE+DAE+ADE=2BAD=116. BE=DE,EBD=(180-BED)=(1

12、80-116)=32.,思路分析先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,得AE=BE=DE,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BAE=ABE,DAE=ADE,再利用三角形外角的性質(zhì)求得BED的度數(shù),進(jìn)而求得等腰三角形BED的底角EBD的度數(shù).,方法規(guī)律由于直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,所以若問題中出現(xiàn)直角三角形斜邊中點(diǎn)時,通常從斜邊上的中線,把直角三角形分成的兩個等腰三角形入手進(jìn)行解答.,7.(2015聊城,15,3分)如圖,在ABC中,C=90,A=30,BD是ABC的平分線.若AB=6,則點(diǎn)D到AB的距離是.,答案,解析C=90,A=30,ABC=60,BC=3,BD平分ABC,CBD=

13、ABC=30,由 題意知點(diǎn)D到AB的距離等于DC的長,在RtBDC中,DC=BCtanDBC=3=,點(diǎn)D到AB 的距離等于.,思路分析根據(jù)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,得到點(diǎn)D到AB的距離等于DC,在RtBDC中,利用三角函數(shù)知識可以求出DC.,B組20142018年全國中考題組 考點(diǎn)一等腰三角形,1.(2018福建,5,4分)如圖,等邊三角形ABC中,ADBC,垂足為D,點(diǎn)E在線段AD上,EBC=45,則ACE等于() A.15B.30C.45D.60,答案A由等邊三角形ABC中,ADBC,垂足為點(diǎn)D,可得ACB=60,且點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),所以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根據(jù)等

14、邊對等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.,2.(2017浙江臺州,8,4分)如圖,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以點(diǎn)B為圓心,BC長為半徑畫弧,交腰AC于點(diǎn)E,則下列結(jié)論一定正確的是() A.AE=ECB.AE=BE C.EBC=BACD.EBC=ABE,答案CABC是等腰三角形, AB=AC,ABC=ACB,又BC=BE,ACB=BEC,BAC=EBC,故選C.,3.(2016湖北荊門,4,3分)如圖,ABC中,AB=AC,AD是BAC的平分線,已知AB=5,AD=3,則BC的長為() A.5B.6C.8D.10,答案C因?yàn)锳B=AC,AD平分B

15、AC, 所以ADBC,BD=CD, 所以ADB=90,在RtABD中,AB=5,AD=3, 所以BD==4,所以BC=2BD=8.,4.(2018天津,17,3分)如圖,在邊長為4的等邊ABC中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),EFAC于點(diǎn)F,G為EF的中點(diǎn),連接DG,則DG的長為.,答案,解析連接DE,在等邊ABC中, D、E分別是AB、BC的中點(diǎn), DEAC,DE=EC=AC=2, DEB=C=60. EFAC,EFC=90, FEC=30,EF=, DEG=180-60-30=90. G是EF的中點(diǎn),EG=.,在RtDEG中,DG===.,思路分析連接DE,根據(jù)題意可得DEAC,又EFAC

16、,可得到FEC的度數(shù),判斷出DEG是直角三角形,再根據(jù)勾股定理即可求解DG的長.,疑難突破本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì),勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段DG的長,DG與圖中的線段無直接的關(guān)系,所以應(yīng)根據(jù)條件連接DE,構(gòu)造直角三角形,運(yùn)用勾股定理求出DG的長.,5.(2017黑龍江綏化,20,3分)在等腰ABC中,ADBC交直線BC于點(diǎn)D,若AD=BC,則ABC的 頂角的度數(shù)為.,答案30或150或90,解析BC為腰, ADBC于點(diǎn)D,AD=BC, AD=AC, ACD=30, 如圖1,當(dāng)AD在ABC內(nèi)部時,C=30,即頂角的度數(shù)為30; 如圖2,當(dāng)AD在ABC外部時,ACB=180-3

17、0=150,即頂角的度數(shù)為150; BC為底,如圖3, ADBC于點(diǎn)D,AD=BC, AD=BD=CD, B=BAD,C=CAD, BAD+CAD=180=90, BAC=90,即頂角的度數(shù)為90. 綜上所述,等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為30或150或90.,6.(2017吉林,20,7分)圖、圖、圖都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格,每個小等邊三角形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).線段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上. (1)在圖、圖中,以AB為邊各畫一個等腰三角形,且第三個頂點(diǎn)在格點(diǎn)上;(所畫圖形不全等) (2)在圖中,以AB為邊畫一個平行四邊形,且另外兩個頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.,解析(1)每畫對一個得2分.答案不唯一,以

18、下答案供參考. (4分) (2)畫對一個即可.答案不唯一,以下答案供參考. (7分),考點(diǎn)二直角三角形,1.(2018湖北黃岡,5,3分)如圖,在RtABC中,ACB=90,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,AD=2,CE=5,則CD=() A.2B.3C.4D.2,答案C在RtABC中,因?yàn)镃E為AB邊上的中線,所以AB=2CE=25=10,又AD=2,所以BD=8,易證ACDCBD,則CD2=ADDB=28=16,所以CD=4,故選C.,2.(2016廣西百色,6,3分)如圖,ABC中,C=90,A=30,AB=12,則BC=() A.6B.6C.6D.12,答案AC=90,A=3

19、0,AB=12,BC=AB=12=6.故選擇A.,答案BPAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.設(shè)AB的中點(diǎn)為O,則P在以AB為直徑的圓上.當(dāng)點(diǎn)O,P,C三點(diǎn)共線時,線段CP最短,OB=AB=3,BC=4, OC==5,又OP=AB=3,線段CP長的最小值為5-3=2,故選B.,3.(2016安徽,10,4分)如圖,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC內(nèi)部的一個動點(diǎn),且滿足PAB=PBC.則線段CP長的最小值為() A.B.2C.D.,4.(2018湖北黃岡,13,3分)如圖,圓柱形玻璃杯高為14 cm,底面周長為32 cm,在杯內(nèi)壁離杯底5 c

20、m的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿3 cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處,則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為cm(杯壁厚度不計(jì)).,答案20,解析如圖,將圓柱側(cè)面展開,延長AC至A,使AC=AC,連接AB,則線段AB的長為螞蟻到蜂蜜的最短距離.過B作BBAD,垂足為B.在RtABB中,BB=16,AB=14-5+3=12,所以AB===20,即螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為20 cm.,5.(2018天津,18,3分)如圖,在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,ABC的頂點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上. (1)ACB的大小為; (2)在如圖所示的網(wǎng)格中,P是BC邊上任意一點(diǎn),以A為中心

21、,取旋轉(zhuǎn)角等于BAC,把點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為P,當(dāng)CP最短時,請用無刻度的直尺,畫出點(diǎn)P,并簡要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的(不要求證明).,答案(1)90. (2)如圖,取格點(diǎn)D,E,連接DE交AB于點(diǎn)T;取格點(diǎn)M,N,連接MN交BC延長線于點(diǎn)G;取格點(diǎn)F,連接FG交TC延長線于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求.,解析(1)每個小正方形的邊長為1, AC=3,BC=4,AB=5, (3)2+(4)2=50=(5)2, AC2+BC2=AB2, ABC是直角三角形,且ACB=90. (2)在射線AC上取格點(diǎn)F,使AF=AB=5,則點(diǎn)F為點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn),根據(jù)直線BC的位置,取格 點(diǎn)M,N,連接MN交B

22、C的延長線于點(diǎn)G,可求得CG=+=,連接GF,CF,易得ACB GCF,則GF所在直線即為BC旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)邊所在直線. 取格點(diǎn)D,E,連接DE交AB于點(diǎn)T,則點(diǎn)T為線段AB的中點(diǎn),作直線CT,所以TC=TA,ACT=CAT,記直線CT交FG于點(diǎn)P,因?yàn)镻CF+PFC=ACT+ABC=90,所以FPC=90,即CPFG,所以點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn).,思路分析(1)由勾股定理求得AC,BC,AB的長,根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出直角三角形;(2)P是BC邊上任意一點(diǎn),把ACB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn),使旋轉(zhuǎn)角等于BAC,那么點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P在邊CB旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)邊上,當(dāng)CP垂直于CB旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)邊時,線段CP最短,確

23、定CB旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)邊的位置,作出垂線,即可確定點(diǎn)P的位置.,C組教師專用題組 考點(diǎn)一等腰三角形,1.(2018河北,8,3分)已知:如圖,點(diǎn)P在線段AB外,且PA=PB.求證:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.在證明該結(jié)論時,需添加輔助線,則作法不正確的是() A.作APB的平分線PC交AB于點(diǎn)C B.過點(diǎn)P作PCAB于點(diǎn)C且AC=BC C.取AB中點(diǎn)C,連接PC D.過點(diǎn)P作PCAB,垂足為C,答案B無論作APB的平分線PC交AB于點(diǎn)C,還是取AB中點(diǎn)C,連接PC或過點(diǎn)P作PCAB,垂足為C,都可以通過等腰三角形三線合一得出結(jié)論,選項(xiàng)A,C,D的作法正確.故選B.,2.(2016湖南湘西,14,

24、4分)一個等腰三角形一邊長為4 cm,另一邊長為5 cm,那么這個等腰三角形的周長是() A.13 cmB.14 cm C.13 cm或14 cmD.以上都不對,答案C當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4 cm時,三角形的三邊長分別是4 cm,4 cm,5 cm,符合三角形的三邊關(guān)系,此時,等腰三角形的周長為13 cm; 當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5 cm時,三角形的三邊長分別是5 cm,5 cm,4 cm,符合三角形的三邊關(guān)系,此時,等腰三角形的周長為14 cm,故選C.,3.(2015淄博,8,4分)如圖,在平行四邊形ABCD中,B=60,將ABC沿對角線AC折疊,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)E處,且點(diǎn)B,A,E在一條

25、直線上,CE交AD于點(diǎn)F,則圖中的等邊三角形共有() A.4個B.3個C.2個D.1個,答案BABC沿對角線AC折疊,點(diǎn)B,A,E在一條直線上,E=B=60,BCE是等邊三角形;ADBC,EAF=B=60,EAF是等邊三角形;BECD, D=EAF=60,E=DCF=60, CDF是等邊三角形.,4.(2016湖北武漢,10,3分)平面直角坐標(biāo)系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C,使ABC為等腰三角形,則滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)是() A.5B.6C.7D.8,答案A如圖,當(dāng)AB=AC時,以點(diǎn)A為圓心,AB長為半徑作圓,與坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn)(點(diǎn)B除外),即O(0,0),C0(0,

26、4),其中點(diǎn)C0與A、B兩點(diǎn)共線,不符合題意;當(dāng)AB=BC時,以點(diǎn)B為圓心,AB長為半徑作圓,與坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn),均符合題意;當(dāng)AC=BC時,作AB的垂直平分線,與坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn),均符合題意.所以滿足條件的點(diǎn)C有5個,故選A.,5.(2017貴州黔西南,18,3分)已知一個等腰三角形的兩邊長分別為3和6,則該等腰三角形的周長是.,答案15,解析當(dāng)腰為3時,3+3=6,3、3、6不能組成三角形; 當(dāng)腰為6時,3+6=96, 3、6、6能組成三角形, 該三角形的周長為=3+6+6=15.,6.(2016黑龍江齊齊哈爾,17,3分)有一面積為5的等腰三角形,它的一個內(nèi)角是30,則以它的 腰長為邊的

27、正方形的面積為.,答案20或20,解析在等腰ABC中,設(shè)AB=AC=x.當(dāng)頂角A=30時,如圖1,作CDAB,垂足為D.sin 30==,CD=x,xx=5,x2=20, 即以它的腰長為邊的正方形的面積為20; 當(dāng)?shù)捉荁=ACB=30時,如圖2,作CDBA,交BA的延長線于D.DAC=B+ACB=60,sin 60==,CD=x,xx=5,x2=20,即以它的腰長為邊的正方形的面積 為20. 綜上,以它的腰長為邊的正方形的面積為20或20.,7.(2017湖北恩施州,18,8分)如圖,ABC、CDE均為等邊三角形,連接BD,AE,BD與AE交于點(diǎn)O,BC與AE交于點(diǎn)P.求證:AOB=60.,證

28、明ABC和ECD都是等邊三角形, AC=BC,CD=CE,ACB=DCE=60, ACB+BCE=DCE+BCE, 即ACE=BCD, 在ACE和BCD中, ACEBCD(SAS), CAE=CBD, BPO=APC, BOP=ACP=60,即AOB=60.,8.(2017內(nèi)蒙古呼和浩特,18,6分)如圖,等腰三角形ABC中,BD,CE分別是兩腰上的中線. (1)求證:BD=CE; (2)設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)O,點(diǎn)M,N分別為線段BO和CO的中點(diǎn).當(dāng)ABC的重心到頂點(diǎn)A的距離與底邊長相等時,判斷四邊形DEMN的形狀,無需說明理由.,解析(1)證明:AB,AC是等腰ABC的兩腰, AB=AC,

29、BD,CE是中線,AD=AC,AE=AB,AD=AE, 又A=A,ABDACE,BD=CE. (2)四邊形DEMN為正方形. 提示:由MN、DE分別是OBC、ABC的中位線可得四邊形DEMN是平行四邊形,由(1)知BD=CE,故可證OE=OD,從而四邊形DEMN是矩形,再由ABC的重心到頂點(diǎn)A的距離與底邊長相等可知四邊形DEMN為正方形.,9.(2017黑龍江哈爾濱,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,連接AE,BD交于點(diǎn)O,AE與DC交于點(diǎn)M,BD與AC交于點(diǎn)N. (1)如圖1,求證:AE=BD; (2)如圖2,若AC=DC,在不添加任何輔助線的情況下,

30、請直接寫出圖2中四對全等的直角三角形.,解析(1)證明:如題圖1,ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC, ACB+ACD=DCE+ACD, BCD=ACE, 在ACE和BCD中, ACEBCD(SAS), AE=BD. (2)ACBDCE,AONDOM,AOBDOE, EMCBNC.,10.(2015重慶A卷,25,12分)如圖1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.點(diǎn)E是BAC角平分線上一點(diǎn).過點(diǎn)E作AE的垂線,過點(diǎn)A作AB的垂線,兩垂線交于點(diǎn)D,連接DB,點(diǎn)F是BD的中點(diǎn).DHAC,垂足為H,連接EF,HF. (1)如圖1,若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn),

31、AC=2,求AB,BD的長; (2)如圖1,求證:HF=EF; (3)如圖2,連接CF,CE.猜想:CEF是不是等邊三角形?若是,請證明;若不是,請說明理由.,圖1,圖2,解析(1)點(diǎn)H是AC的中點(diǎn),AC=2, AH=AC=.(1分) ACB=90,BAC=60, ABC=30,AB=2AC=4.(2分) DAAB,DHAC, DAB=DHA=90. DAH=30,AD=2.(3分) 在RtADB中,DAB=90, BD2=AD2+AB2. BD==2.(4分) (2)證明:連接AF,如圖.,F是BD的中點(diǎn),DAB=90, AF=DF,FDA=FAD.(5分) DEAE,DEA=90. DHA

32、=90,DAH=30, DH=AD. AE平分BAC, CAE=BAC=30.,DAE=60,ADE=30. AE=AD,AE=DH.(6分) FDA=FAD,HDA=EAD=60, FDA-HDA=FAD-EAD, FDH=FAE.(7分) FDHFAE(SAS).FH=FE.(8分) (3)CEF是等邊三角形.(9分) 理由如下:取AB的中點(diǎn)G,連接FG,CG.如圖.,F是BD的中點(diǎn),FGDA,FG=DA. FGA=180-DAG=90, 又AE=AD,AE=FG. 在RtABC中,ACB=90, 點(diǎn)G為AB的中點(diǎn),CG=AG. 又CAB=60, GAC為等邊三角形.(10分) AC=CG

33、,ACG=AGC=60. FGC=30,FGC=EAC. FGCEAC(SAS).(11分) CF=CE,ACE=GCF. ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60, CEF是等邊三角形.(12分),考點(diǎn)二直角三角形,1.(2017浙江紹興,6,4分)如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子斜靠在左側(cè)墻時,梯子底端到左墻角的距離為0.7米,頂端距離地面2.4米,如果保持梯子底端位置不動,將梯子斜靠在右墻時,頂端距離地面2米,則小巷的寬度為() A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米,答案C如圖,由題意得,AC=2.4米,BC=0.7米,在RtABC中,AB==2.5(米),

34、又因?yàn)?AB=BD,所以在RtBDE中,BE===1.5(米),則小巷的寬度CE=BC+BE=0.7+ 1.5=2.2(米).,2.(2017四川南充,7,3分)如圖,等邊OAB的邊長為2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為() A.(1,1)B.(,1)C.(,)D.(1,),答案D如圖,過點(diǎn)B作BCOA于點(diǎn)C,則OC=1,在RtBCO中,BC===, 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,).,3.(2017遼寧大連,8,3分)如圖,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足為D,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),CD=DE=a,則AB的長為() A.2aB.2aC.3aD.a,答案B在RtCDE中,CD=DE=a,CE=CD=a,AB=2CE=

35、2a,故選B.,4.(2018福建,15,4分)把兩個同樣大小的含45角的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A,且另三個銳角頂點(diǎn)B,C,D在同一直線上.若AB=,則CD=.,答案-1,解析由題意知ABC,ADE均為等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=,由勾股定理得BC =AD=2.過A作AFBC于F,則FC=AF=1,在RtAFD中,由勾股定理得FD=,故CD=FD-FC= -1.,5.(2017四川樂山,14,3分)點(diǎn)A、B、C在格點(diǎn)圖中的位置如圖所示,格點(diǎn)小正方形的邊長為1,則點(diǎn)C到線段AB所在直線的距離是.,答案,解析連接AC、BC,過點(diǎn)

36、B作BEAC于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CDAB,交AB的延長線于點(diǎn)D. 則BC=AB==,AC==3, CE=AC=, 在RtBCE中,由勾股定理,得 BE==, SABC=ACBE=ABCD, CD==.,6.(2016福建莆田,16,4分)魏朝時期,劉徽利用如圖“以盈補(bǔ)虛,出入相補(bǔ)”的方法,即“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補(bǔ),各從其類”,證明了勾股定理.若圖中BF=1,CF=2,則AE的長為.,答案3,解析由已知得四邊形ABCD是正方形,BF=1,CF=2, AD=AB=DC=BC=BF+CF=3.RtABF中,AF===,BCAD,EFC EAD,=,即=,解得AE=3AF=3.,7.(2

37、016四川廣安,24,8分)在數(shù)學(xué)活動課上,老師要求學(xué)生在55的正方形ABCD網(wǎng)格中(小正方形的邊長為1)畫直角三角形,要求三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,而且三邊與AB或AD都不平行,畫四種圖形,并直接寫出其周長(所畫圖形相似的只算一種).,解析第一種(四選一): 周長=2+周長=2+2,周長=2+周長=2+ 第二種(二選一):,周長=3+周長=3+,周長=4+2周長=5+周長=5+,8.(2016湖南益陽,20,10分)在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求ABC的面積. 某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流,給出了下面的解題思路,請你按照他們的解題思路完成解答過程. 作ADBC于D, 設(shè)BD=x,用含

38、x 的代數(shù)式表示CD根據(jù)勾股定理,利用 AD作為“橋梁”,建 立方程模型求出x利用勾股定理求 出AD的長,再計(jì) 算三角形面積,解析如圖,在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13, 設(shè)BD=x,則CD=14-x.(2分) 由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2, AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2, 152-x2=132-(14-x)2,解之得x=9.(7分) AD=12.(8分) SABC=BCAD=1412=84.(10分),9.(2017江蘇南京,22,8分)“直角”在初中幾何學(xué)習(xí)中無處不在.如圖,已知AOB ,請仿照小麗的作圖方法,再用兩種不同的方法判斷AOB

39、是不是直角(僅限用直尺和圓規(guī)). 小麗的作圖方法: 如圖,在OA,OB上分別取點(diǎn)C,D,以C為圓心,CD長,為半徑畫弧,交OB的反向延長線于點(diǎn)E,若OE=OD, 則AOB=90.,解析本題答案不唯一,下列方法供參考.例如: 方法1:如圖,在OA,OB上分別截取OC=4,OD=3, 若CD=5,則AOB=90. 方法2:如圖,在OA ,OB上分別取點(diǎn)C ,D ,以CD為直徑畫圓.,若點(diǎn)O在圓上,則AOB=90.,A組20162018年模擬基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一等腰三角形,三年模擬,1.(2016泰安新泰,14)如圖所示的正方形網(wǎng)格中,網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知A、B是兩格點(diǎn),如果C也是圖中的格點(diǎn),且

40、使得ABC為等腰三角形,則點(diǎn)C的個數(shù)是() A.6B.7C.8D.9,答案C如圖,分兩種情況討論: AB為等腰ABC底邊時,符合條件的C點(diǎn)有4個; AB為等腰ABC其中的一條腰時,符合條件的C點(diǎn)有4個. 綜上,符合條件的點(diǎn)C有8個,故選C.,2.(2018淄博高青一模,18)如圖,已知等邊三角形ABC中,D是AC的中點(diǎn),E是BC延長線上的一點(diǎn),且CE=CD,作DMBC,垂足為M,求證:M是BE的中點(diǎn).,證明連接BD,等邊三角形ABC中,D是AC的中點(diǎn), DBC=ABC=60=30,ACB=60, CE=CD,CDE=E, 又ACB=CDE+E,E=30,DBC=E, BD=ED,BDE為等腰

41、三角形, 又DMBC,M是BE的中點(diǎn).,3.(2016聊城莘縣二模,20)如圖,已知ABC是等邊三角形,點(diǎn)D、F分別在線段BC、AB上,EFB=60,DC=EF. (1)求證:四邊形EFCD是平行四邊形; (2)若BF=EF,求證:AE=AD.,證明(1)ABC是等邊三角形,ABC=60, EFB=60,ABC=EFB, EFDC(內(nèi)錯角相等,兩直線平行), 又DC=EF,四邊形EFCD是平行四邊形. (2)連接BE,BF=EF,EFB=60, EFB是等邊三角形,EB=EF,EBF=60. DC=EF,EB=DC,ABC是等邊三角形, ACB=60,AB=AC, EBF=ACB,AEBADC

42、(SAS), AE=AD.,考點(diǎn)二直角三角形,1.(2018青島膠州期末,7)下列各組數(shù):8,15,17;7,12,15;12,15,20;7,24,25.其中能作為直角三角形的三邊長的是() A.B.C.D.,答案A82+152=172;72+122152;122+152202;72+242=252.故可作為直角三角形的三邊長.,2.(2016聊城陽谷一模,10)在ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,則() A.A為直角B.C為直角 C.B為直角D.ABC不是直角三角形,答案A(a+b)(a-b)=c2,a2-b2=c2,即c2+b2=a2,故ABC是直

43、角三角形,且a為直角三角形的斜邊,A為直角.故選A.,一、選擇題(共3分) 1.(2016青島市南區(qū)一模,5)如圖,在ABC中,C=90,AB=5 cm,AC=4 cm,點(diǎn)D在AC上,將BCD沿著BD所在直線翻折,使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處,則DC的長為() A. cmB. cmC.2 cmD. cm,B組 2016-2018年模擬提升題組,(時間:15分鐘分值:20分),答案BC=90,AB=5 cm,AC=4 cm,BC==3 cm, 將BCD沿著BD所在直線翻折,使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處,BEDBCD, BED=C=90,BE=BC=3 cm,AE=AB-BE=2 cm, 設(shè)DC=

44、x cm,則DE=x cm,AD=(4-x)cm, 在RtADE中,由勾股定理得AE2+DE2=AD2,即22+x2=(4-x)2, 解得x=.故選B.,二、填空題(每小題3分,共9分) 2.(2018青島中考樣題二,13)如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的動點(diǎn),以AB為邊作邊長為2的正方形ABCD,則OC的最大值為.,答案+1,解析取AB的中點(diǎn)E,連接OE、CE,則BE=2=1, 在RtBCE中,由勾股定理,得CE==, AOB=90,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),OE=BE=1, 又OCOE+EC=1+,且當(dāng)點(diǎn)O、E、C三點(diǎn)共線時,等號成立,此時OC最大, OC的最大值為+1.,3.

45、(2016泰安泰山,23)如圖,在梯形ABCD中,ADBC,BCD=90,BC=2AD,F、E分別是BA、BC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是.(填序號) ABC是等腰三角形;四邊形EFAM是菱形; SBEF=SACD;DE平分CDF.,答案,解析連接AE, E為BC的中點(diǎn),BE=CE=BC, 又BC=2AD,AD=BE=EC, 又ADBC, 四邊形ABED、四邊形AECD為平行四邊形. 又DCB=90, 四邊形AECD為矩形, AEC=90,即AEBC, AE垂直平分BC, AB=AC,即ABC為等腰三角形,正確;,E為BC的中點(diǎn),F為AB的中點(diǎn), AF=AB,EF為ABC的中位線, EFAC,E

46、F=AC,EF=AF, 又四邊形ABED為平行四邊形, AFME,又EFAC, 四邊形AFEM為平行四邊形, 四邊形AFEM為菱形,正確; 過F作FNBC于N點(diǎn),則FNAE, 又F為AB的中點(diǎn),N為BE的中點(diǎn), FN為ABE的中位線,FN=AE=CD. 又BE=AD,SBEF=BEFN,SACD=ADCD, SBEF=SACD,正確; 根據(jù)已知不能推出DE平分CDF,錯誤.,故答案為.,4.(2016泰安新泰,22)如圖,等邊三角形ABC中,D、E分別為AB、BC邊上的兩動點(diǎn),且總使AD=BE,AE與CD交于點(diǎn)F,AGCD于點(diǎn)G,則=.,答案,解析在等邊ABC中,ECA=B,AC=AB=BC,

47、 AD=BE,BD=CE,CAEBCD, DCB=EAC, AFG=CAF+ACF=DCB+ACF=60, AGCD,FAG=30,=.,三、解答題(共8分) 5.(2016臨沂羅莊一輪模擬,21)如圖,一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合.現(xiàn)正方形ABCD保持不動,將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O(點(diǎn)O也是BD的中點(diǎn))按順時針方向旋轉(zhuǎn). (1)如圖,當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M,GF與BD相交于點(diǎn)N時,通過觀察或測量BM,FN的長度,猜想BM,FN滿足的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想; (2)若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖的位置,線段FE的延長線與AB的延長線相交于點(diǎn)M,線段BD

48、的延長線與GF的延長線相交于點(diǎn)N,此時,(1)中的猜想還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.,解析(1)BM=FN. 證明:GEF是等腰直角三角形,四邊形ABCD是正方形, ABD=F=45.由題意可知OB=OF. 在OBM和OFN中, OBMOFN. BM=FN. (2)BM=FN仍然成立. 證明:GEF是等腰直角三角形, GFE=45,NFO=135. 四邊形ABCD是正方形, OBC=45,CBM=90,OBM=135,由題意知OB=OF. 在OBM和OFN中,,OBMOFN. BM=FN.,C組20162018年模擬探究題組 1.(2018德州齊河二模,24)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上,張

49、老師出示了下框中的問題: 已知:在RtACB中,ACB=90, 點(diǎn)D是斜邊AB上的中點(diǎn),連接CD. 求證:CD=AB.,,問題思考,(1)經(jīng)過獨(dú)立思考,同學(xué)們想出了多種正確的證明思想,其中有位同學(xué)的思路如下:如圖1,過點(diǎn)B作BEAC交CD的延長線于點(diǎn)E,請你根據(jù)這位同學(xué)的思路證明上述框中的問題; 方法遷移 (2)如圖2,在RtACB中,ACB=90,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段AC上一動點(diǎn),連接DE,線段DF始終與DE垂直且交BC于點(diǎn)F.試猜想線段AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明; 拓展延伸 (3)如圖3,在RtACB中,ACB=90,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段AC延長線上一動點(diǎn),

50、連接DE,線段DF始終與DE垂直且交CB延長線于點(diǎn)F.試問第(2)小題中線段AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系會發(fā)生改變嗎?若會,請寫出關(guān)系式;若不會,請說明理由.,解析(1)證明:BEAC,A=DBE,ACD=E, 又點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),AD=DB,ACDBED, AC=BE,CD=ED,又BEAC,ACB+EBC=180, 又ACB=90,EBC=90, BC=CB,ACBEBC, CE=AB,CD=CE=AB. (2)線段AE、EF、BF之間的數(shù)量關(guān)系是AE2+BF2=EF2. 理由如下: 如圖,過B作BGAC交ED的延長線于點(diǎn)G,連接FG, BGAC,A=DBG,AED=DGB, 又點(diǎn)D為

51、AB的中點(diǎn),AD=DB, ADEBDG,AE=BG,GD=ED, 又DEDF,EF=FG,,BGAC,ACB+GBC=180, 又ACB=90,GBC=90, BG2+BF2=FG2,AE2+BF2=EF2. (3)線段AE、EF、FB的數(shù)量關(guān)系不會發(fā)生改變,仍有AE2+BF2=EF2.理由如下: 如圖,過A作AGBC交FD的延長線于點(diǎn)G,連接EG,AGBC,GAD=DBF,AGD=DFB, 又點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),AD=DB,ADGBDF, AG=BF,GD=DF, 又DEDF,EF=EG, AGBC,EAG=ACB=90,AE2+AG2=EG2,,AE2+BF2=EF2.,2.(2017濟(jì)南天

52、橋一模,27)如圖,正方形OABC的邊OA,OC在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-4,4).點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動;點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時出發(fā),以相同的速度沿x軸的正方向運(yùn)動,規(guī)定點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時,點(diǎn)Q也停止運(yùn)動.連接BP,過P點(diǎn)作BP的垂線,與過點(diǎn)Q且平行于y軸的直線l相交于點(diǎn)D.連接BD,與y軸交于點(diǎn)E,連接PE.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t(s). (1)PBD的度數(shù)為 ,點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (用t表示); (2)當(dāng)t為何值時,PBE為等腰三角形? (3)探索POE周長是否隨時間t的變化而變化.若變化,說明理由;若不變,試求這個定值.,解析(1)45;(t,t). 由題意可得AP=O

53、Q=1t=t.AO=PQ. 四邊形OABC是正方形,l平行于y軸, BAP=PQD=90,AO=AB, DPBP,BPD=90,BPA=90-DPQ=PDQ. AO=PQ,AO=AB,AB=PQ. 在BAP和PQD中, BAPPQD(AAS).AP=QD=t,BP=PD. 又OQ=t,BPD=90, 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t,t),PBD=PDB=45. (2)若PB=PE,由PABDQP得PB=PD, 顯然PBPE,這種情況應(yīng)舍去. 若EB=EP,則PBE=BPE=45.,BEP=90.PEO=90-BEC=EBC. 在POE和ECB中, POEECB(AAS).OE=CB=OC, 點(diǎn)E與點(diǎn)C重合(

54、EC=0),點(diǎn)P與點(diǎn)O重合(PO=0). 點(diǎn)B(-4,4),AO=CO=4.此時t=4. 若BP=BE, 在RtBAP和RtBCE中, RtBAPRtBCE(HL).AP=CE. AP=t,CE=t,PO=EO=4-t. POE=90,PE==(4-t). 截取AF,使得AF=CE,連接BF,如圖所示.,在FAB和ECB中, FABECB.FB=EB,FBA=EBC. EBP=45,ABC=90,ABP+EBC=45. FBP=FBA+ABP=EBC+ABP=45. FBP=EBP. 在FBP和EBP中,,FBPEBP(SAS).FP=EP, EP=FP=FA+AP=CE+AP,EP=t+t=2t, (4-t)=2t,解得t=4-4, 當(dāng)t為4或4-4時,PBE為等腰三角形. (3)POE的周長不隨時間t的變化而變化. 將BCE繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90,得到BAH, BE=BH,CE=AH,EBH=90,EBP=45=PBH, BP=BP,PBEPBH.EP=PH=AH+AP=CE+AP, POE的周長=OP+OE+PE=OP+OE+CE+AP=OA+OC=4+4=8.,