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1、2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六章 第2課時(shí) 均值不等式課時(shí)闖關(guān)(含解析) 新人教版
一、選擇題
1.(2011·高考陜西卷)設(shè)0<a<b,則下列不等式中正確的是( )
A.a(chǎn)<b<< B.a(chǎn)<<<b
C.a(chǎn)<<b< D.<a<<b
解析:選B.∵0<a<b,∴a<<b,A、C錯(cuò)誤;-a=(-)>0,即>a,故選B.
2.(2012·漢中質(zhì)檢)下列函數(shù)中,最小值為4的函數(shù)是( )
A.y=x+
B.y=sinx+(0
2、;對(duì)于D,也是log3x+logx81≥4或者log3x+logx81≤-4,所以答案為C.
3.已知a>0,b>0,則++2的最小值是( )
A.2 B.2
C.4 D.5
解析:選C.∵++2≥+2≥2=4.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,即a=b=1時(shí),不等式取最小值4.
4.已知x>1,y>1,且lnx,,lny成等比數(shù)列,則xy( )
A.有最大值e B.有最大值
C.有最小值e D.有最小值
解析:選C.∵x>1,y>1,且lnx,,lny成等比數(shù)列,
∴l(xiāng)nx·lny=≤()2,
∴l(xiāng)nx+lny≥1?xy≥e.
5.(2011·高考北京卷)某車間
3、分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品( )
A.60件 B.80件
C.100件 D.120件
解析:選B.設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元,由題意得
y=+≥2 =20.
當(dāng)且僅當(dāng)=(x>0),即x=80時(shí)“=”成立,故選B.
二、填空題
6.函數(shù)y=(x≠0)的最大值為__________,此時(shí)x的值為________.
解析:y==≤=,
當(dāng)且僅當(dāng)x2=,即x=±時(shí)取等號(hào).
答案: ±
7.某公司一年購買某種貨物400
4、噸,每次都購買x噸,運(yùn)費(fèi)為4萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x=________.
解析:每年購買次數(shù)為.
∴總費(fèi)用=·4+4x≥2=160,
當(dāng)且僅當(dāng)=4x,即x=20時(shí)等號(hào)成立,故x=20.
答案:20
8.設(shè)正數(shù)x,y滿足log2(x+y+3)=log2x+log2y,則x+y的取值范圍是________.
解析:原式等價(jià)于x+y+3=xy≤()2(當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)取等號(hào)),所以x+y+3≤,即(x+y)2-4(x+y)-12≥0,所以x+y≥6或x+y ≤-2(舍去),故x+y∈[6,+∞).
答案:[6,+∞)
三、解答題
5、
9.(1)設(shè)00.
∴y=4x·(3-2x)=2[2x(3-2x)]
≤2[]2=.
當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x,即x=時(shí),等號(hào)成立.
∵∈(0,),
∴函數(shù)y=4x(3-2x)(0
6、3x=33y且x+3y-4=0,
即x=2,y=時(shí)取“=”.
∴3x+27y+2的最小值為20.
(3)由x+y-3xy+5=0得x+y+5=3xy.
∴2+5≤x+y+5=3xy.
∴3xy-2-5≥0,∴(+1)(3-5)≥0,
∴≥,即xy≥,等號(hào)成立的條件是x=y(tǒng).
此時(shí)x=y(tǒng)=,故xy的最小值是.
10.若x,y∈R,且滿足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0.
(1)求x2+y2的取值范圍;
(2)求證:xy≤2.
解:(1)由(x2+y2)2+(x2+y2)-20≤0,
得(x2+y2+5)(x2+y2-4)≤0,
因?yàn)閤2+y2+5>0,所以
7、有0≤x2+y2≤4,即x2+y2的取值范圍為[0,4].
(2)證明:由(1)知x2+y2≤4,由均值不等式得xy≤≤=2,所以xy≤2.
11.(探究選做)學(xué)校食堂定期從某糧店以每噸1500元的價(jià)格購買大米,每次購進(jìn)大米需支付運(yùn)輸勞務(wù)費(fèi)100元,已知食堂每天需要大米1噸,貯存大米的費(fèi)用為每噸每天2元,假定食堂每次均在用完大米的當(dāng)天購買.
(1)該食堂每多少天購買一次大米,能使平均每天所支付的費(fèi)用最少?
(2)糧店提出價(jià)格優(yōu)惠條件:一次購買量不少于20噸時(shí),大米價(jià)格可享受九五折優(yōu)惠(即是原價(jià)的95%),問食堂可否接受此優(yōu)惠條件?請(qǐng)說明理由.
解:(1)設(shè)該食堂每x天購買一次大米,則每次購買x噸,設(shè)平均每天所支付的費(fèi)用為y元,則
y=[1500x+100+2(1+2+…+x)]
=x++1501≥1521,
當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=10時(shí)取等號(hào),
故該食堂每10天購買一次大米,能使平均每天所支付的費(fèi)用最少.
(2)y=[1500x·0.95+100+2(1+2+…+x)]
=x++1426(x≥20).函數(shù)y在[20,+∞)上為增函數(shù),所以y≥20++1426=1451.
而1451<1521,故食堂可接受糧店的優(yōu)惠條件.