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1、 （福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第8課時 立體幾何中的向量方法隨堂檢測（含解析） 1．(2012·福州質(zhì)檢)如圖，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖所示． (1)求證：BC⊥平面ACD； (2)求BC與平面ABD所成角θ的正弦值． 解：(1)證明：由已知有AC＝BC＝2， 從而AC2＋BC2＝AB2， 故AC⊥BC. 取AC中點O，連結(jié)DO，則DO⊥AC， 又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DO?平面ACD，從而DO

2、⊥平面ABC， ∴DO⊥BC.又AC⊥BC，AC∩DO＝O， ∴BC⊥平面ACD. (2)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，如圖所示，則A(，0,0)， B(－，2，0)，C(－，0,0)，D(0,0，)，＝(－2，2，0)，＝(－，0，)，＝(0，－2，0)． 設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)． 則由得 令x＝1，則n＝(1,1,1)， ∴sinθ＝＝＝. 2．如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝2，D為AC的中點． (1)求證：AB1∥面BDC1； (2)若AA1＝3，求二面角C1－BD－C的余弦值； (3)若在線段

3、AB1上存在點P，使得CP⊥面BDC1，試求AA1的長及點P的位置． 解：(1)證明：連結(jié)B1C，交BC1于點O，連結(jié)OD， 則O為B1C的中點， ∵D為AC的中點，∴OD∥AB1， 又AB1?平面BDC1，OD?平面BDC1， ∴AB1∥平面BDC1. (2)∵AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1， ∴CC1⊥平面ABC，則BC⊥平面AA1C1C，CC1⊥AC. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則C1(3,0,0)，B(0,0,2)，D(0,1,0)，C(0,0,0)． ∴＝(－3,1,0)，＝(－3,0,2)． 設(shè)平面C1DB的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 令x＝2，則n＝(2,6,3)． 又平面BDC的法向量為＝(3,0,0)， ∴二面角C1－BD－C的余弦值為 cos〈，n〉＝＝＝. (3)設(shè)AA1＝a，＝λ， 則＝(λa，－2λ，2λ)，∴＝＋＝(λa,2－2λ，2λ)． 又＝(－a,1,0)，＝(0,1，－2)，CP⊥平面BDC1， ∴ 解得a＝2(－2舍去)，λ＝. 所以AA1＝2，點P在線段AB1上且AP＝AB1.